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湖北省宜昌市葛洲坝中学高中数学必修三:3.1.3 概率的基本性质 学案

学习目标

§3.1.3 概率的基本性质

(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立 事件的概念;

(2)概率的几个基本性质: 1)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式: P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+P(B)=1,于是有

P(A)=1—P(B).
(3)正确理解和事件与交事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 重点难点 重点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的概念,以及互斥事件的加法公式. 难点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的区别与联系.

学法指导 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养类比与归纳的数 学思想。
知识链接
1. 集合之间包含与相等关系、集合的交、并、补运算
问题探究

【提出问题】

1.两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、 等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗?

2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必然事 件对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应空集,从而可以类比集合的关系与运算, 分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识.
【探究新知】(一):事件的关系与运算 在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件:

C1={出现 1 点},C2={出现 2 点}, C3={出现 3 点},C4={出现 4 点}, C5={出现 5 点},C6={出现 6 点}, D1={出现的点数不大于 1}, D2={出现的点数大于 4}, D3={出现的点数小于 6}, E={出现的点数小于 7}, F={出现的点数大于 6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等.

思考 1:上述事件中,是必然事件的有

,是随机事件的有



是不可能事件的有

.

思考 2:如果事件 C1 发生,则一定有 的关系怎样描述?

发生。在集合中,集合 C1 与这些集合之间

思 考 3 : 一 般 地 , 对 于 事 件 A 与 事 件 B, 如 果 事 件 A 发 生 , 则 事 件 B 一 定 发 生 , 这 时





(或称

),记作

(或___ _ ).与集合类比,不可能事件记作___ .可知, ___

都包含不可能

事件.

思考 4:分析事件 C1 与事件 D1 之间的包含关系,按集合观点,这两个事件之间的关系应怎 样描述?

思考 5:一般地,当两个事件 A、B 满足___

___

___

___

___ ,称事件 A 与事件 B 相等?

思考 6:如果事件 C5 发生或 C6 发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗?

思考 7:若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的

并事件(或

),记作

(或

).

思考 8:类似地,当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生时,事件 C 发生,则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件),记作 C=A∩B(或 AB).
如: 在上述掷骰子试验中, ? ___=___.

思考 9:两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即 A∩B=Ф , 此时,称事件 A 与事件 B 互斥,那么在一次试验中,事件 A 与事件 B 互斥的含义怎样理解? 在上述事件中能找出这样的例子吗?

思考 10:若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,则称事件 A 与事件 B 互为对立事件, 那么在一次试验中,事件 A 与事件 B 互为对立事件的含义怎样理解?
例如: 在掷骰子试验中, G ? H 为不可能事件, G ? H 为必然事件,所以 G 与 H 互为对立事件.
思考 11:若事件 A 与事件 B 相互对立,那么事件 A 与事件 B 互斥吗?反之,若事件 A 与事 件 B 互斥,那么事件 A 与事件 B 相互对立吗?

【探究新知】(二):概率的几个基本性质

性质一:概率的取值范围是___ ,必然事件、不可能事件的概率分别是

.

思考 1: 如果事件 A 与事件 B 互斥,则事件 A∪B 发生的频数与事件 A、B 发生的频数有什么
关系? fn ( A ? B) 与 fn ( A) 、 fn (B) 有什么关系?进一步得到 P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么

关系?由此可得 性质二:概率的加法公式

性质三:如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为___
么 P(A∪B)= ___ 则 P(A B) ? P(A) ? P(B) =1.

事件, 那

P(B) ?

; P( A) ?

.

例 1: 在掷骰子试验中,G 和 H 互为对立事件,因此 P(G) ?1 ? P(H ).
思考 2: 如果事件 A 与事件 B 互斥, 那么 P(A) ? P(B) ___ 1.(填大小关系) 思考 3: 对于任意两个事件 A、B, P(A∪B)一定比 P(A)或 P(B)大吗? P(A∩B)一 定比 P(A)或 P(B)小吗?

【例题讲评】 例 1 某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.

例 2 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率

是 1 ,取到方片(事件 B)的概率是 1 ,问:

4

4

(l)取到红色牌(事件 C)的概率是多少?

(2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少?

例 3 经统计,在某高中食堂某些窗口等候打饭的人数及相应概率如下:

排队 0 1

2

3

4

5人

人数

及5

人以



概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04

(1) 至少 2 人排队等候的概率是多少?

(2) 至少 3 人排队等候的概率是多少?

例 4 一箱新产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件产品,给出事件: (1)恰有一件次品与恰有两件次品 (2)至少有一件次品与全是次品 (3)至少有一件正品与至少有一件 次品 (4)至少有一件次品与全是正品. 判断以上各事件哪些是互斥事件,哪些是对立事件,哪些既不是互斥事件也不是对立事件 .

目标检测 1、 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是( )

A. ① B.

②④ C.③ D.①③

2、甲、乙两人下棋,两个人下成和棋的概率为 1 ,乙获胜的概率为 1 ,则乙输的概率为( )

2

3

A. 1 2

B. 1 6

C. 5 6

D. 1 3

3、从装有 2 个红球和 2 个白球的中袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )

A. 至少有 1 个白球, 都是白球.

B.至少有 1 个白球, 至少有 1 个红球.

C. 恰有 1 个白球, 恰有 2 个白球.

D.至少有 1 个白球,都是红球.

4、抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)

= 1 ,P(B)= 1 ,则出现奇数点或 2 点的概率是__

.

2

6

5、某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,

0.28,则该射手在一次射击中,射中 10 环或 9 环的概率是__ ;少于 7 环的概率是__

.

6、一批产品共有 100 件,其中 5 件是次品,95 件是合格品,从这批产品中任意抽 5 件,现给以

下四个事件:A.恰有 1 件次品;B.至少有 2 件次品;C.至少有 1 件次品;D.至多有 1 件次品;

并给出以下结论:①A+B=C;②B+D 是必然事件;③A+C=B;④A+D=C;其中正确的结论为

(写出序号即可).

7、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4,求: ⑴他乘火车或乘飞机去的概 率; ⑵他不乘轮船去的概率; ⑶如果他去的概率为 0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?