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2011届高考数学第一轮复习测试题38


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·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 (十 六 ) 第十六单元 数形结合思想
(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 A=(1,+∞),集合 B=(-∞,2)。则 ? U(A∩B)= A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1]∪(2,+∞) 2.如图,直线 Ax+By+C=0(AB≠0)的右下方有一点(m,n),则 Am+Bn+C 的值 A.与 A 同号,与 B 同号 y B.与 A 同号,与 B 异号 C.与 A 异号,与 B 同号 O x D.与 A 异号,与 B 异号 (m, f(x)=(x+p)(x x 3. 设方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q, 函数 +q)+2,则 n) A.f(2)=f(0)<f(3) B.f(0)<f(2)<f(3) C . f(3)<f(0) = f(2) D.f(0)<f(3)<f(2)

? ?x-2≤0, 4.已知点 P(x,y)在不等式?y-1≤0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范 ?x+2y-2≥0 ?
围是 A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] 5.若定义在区间(―1,0)内的函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 满足 f ( x ) ? 0 , 则 a 的取值范围是 A. ( 0 , )
2 1

B. ( 0 ,

1 2

]

C. ( , ?? )
2

1

D. ( 0 , ?? )

6.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处, 河流的没岸 PQ (曲 线) 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km. 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么 修建这两条公路的总费用最低是 A.(2 7-2)a 万元 B.5a 万元 C.(2 7+1) a 万元 D.(2 3+3) a 万元
1

D A
1

C B
1 1

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 在 A1D 上且 A1E= 2ED,点 F 在 AC 上且 CF=2FA,则 EF 与 BD1 的位置关系是 A.相交不垂直 B.相交垂直
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A

ED F

C

B

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C.平行 D.异面 8.在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为 π π 5π A.( , )∪(π , ) 4 2 4 π 5π C.( , ) 4 4 π B.( ,π ) 4 π 5π 3π D.( ,π )∪( , ) 4 4 2

9.椭圆上一点 A 看两焦点的视角为直角,设 AF1 的延长线交椭圆于 B,又|AB|=|AF2|, 则椭圆的离心率 e= A.-2+2 2 B. 6- 3 C. 2-1 D. 3- 2

10.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 A.y= 3x - 3 x 3 答题卡 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解是 12.设 x,y 满足约束条件:
? x ? 0, ? ? x ? y, ? 2 x ? y ? 1, ?

B.y=- 3x

C.y=

3 x 3

D.y=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

则 z=3x+2y 的最大值是 13.据新华社 2002 年 3 月 12 日电,1985 年到 2000 年间,我国农村人均居住面积如图所示,其中, 从 年到 年的五年间增长最快。 14. 有两个相同的直三棱柱,高为
2 a

,底面三角形的三边长分

别为 3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱 柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是 . 15.给出下列图象

y O ① x

y x

y O ③ ① x

y O ④ x

O ②

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其中可能为函数 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的图象的是_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin (
7? 8 ? x ) ? c o s( x ?

?
8

)

的图象向右平移

?
8

个单位得到函数 g ( x ) 的图象.

⑴求函数 g ( x ) 的表达式; ⑵证明当 x ? (
3? 4 5? , ) 4

时,经过函数 g ( x ) 图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.

17.(本小题满分 12 分) 如图所示,已知四面体 O ? A B C 中, M 为 B C 的中点, N 为 A C 的中点, Q 为 O B 的中点, P 为 O A 的中点,若 A B ? O C ,试用向量方法证明: P M ? Q N . O
P Q A N C M

B

18. (本小题满分 14 分)为了能更好地了解鲸的生活习性,某动物研究所在受伤的鲸身上 安装了电子监测装置,从海岸放归点 A 处(如图所示)把它放归大海,并沿海岸线由 西到东不停地对鲸进行了 40 分钟的跟踪观测,每隔 10 分钟踩点测得数据如下表(设
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鲸沿海面游动)然后又在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观测。 。 已知 AB=15km, 观测站 B 的观测半径为 5km.

观 测 时 刻 t ( 分跟 踪 观 测 点 到 放 归 点 距 离鲸 位 于 跟 踪 观 测 点 正 北 方 向 的 距 离 钟) a(km) b(km) 10 20 30 40 1 2 3 4 1 2 3 2

(I)根据表中数据:(1)计算鲸沿海岸线方向运动的速度,(2)写出 a、b 满足的关 系式,并画出鲸的运动路线简图; (II)若鲸继续以(I)-(2)中的运行路线运动,则鲸经过多少分钟(从放归时计时), 可进入前方观测站 B 的观测范围。( 41≈6.4)

19.(本小题满分 14 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 ,定点 A (1, 0 ) , M 为圆 上一动点,点 P 在 A M 上,点 N 在 C M 上,且满足 A M ? 2 A P , N P ? A M ? 0 , 点 N 的轨 迹为 曲线 E . (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F ( 0 , 2 ) 的直线交曲线 E 于不同的两点 G 、 H (点 G 在点 F 、 H 之间), 且满足 F G
???? ???? ? ? FH

???? ?

??? ??? ???? ? ? ?

,求 ? 的取值范围.

y

M

P N x CO A

20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例 函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数 f(x)的表达式;
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(2) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个不同的实数解.

21.(本小题满分 14 分)
Sn (n ?

已知 a

? 1 ,数列 { a n }

的通项公式是 a n ?

1 a
n?2

,前 n 项和记作

1,2,…),规定 S 0

?0

.函数 f ( x ) 在 S 0 处和每个区间 ( S i , S i ? 1 ) ( i ? 0,1,
( S i ) ? ai ( i ?

2,…)上有定义,且

f (S0 ) ? 0

,f

1,2,…).当 x ? ( S i , S i ? 1 ) 时, f ( x )
f ( S i ?1 )

的图像完全落在连结点 Pi ( S i , f ( S i ) )与点 Pi ? 1 ( S i ? 1 ,
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)的线段上.

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(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 f ( x ) 的图像与坐标轴及直线 l : x 及 lim A n ;
n? ?

? Sn

(n

?

1,2,…)围成的图形面积为 A n , 求 A n

(Ⅲ)若存在正整数 n ,使得 A n ? a 2 ,求 a 的取值范围.

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数形结合思想参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B
15 3

10 C 15.①

二、填空题 11.5 12.(-2,0)∪(2,5] 13.1995,2000_ 14.0<a< ③ 三、解答题 16.
?( 7? 8 ? x) ? (x ?


?
8
? g (x) ? 1 2 sin [ 2 ( x ?


?
8 ) co s( x ?


?
8
sin 2 x

I
)? 1 2 sin ( 2 x ?


)

) ? ? ? f ( x ) ? sin ( x ?

?
4

……3 分

?
8

)?

?
4

]?

1 2

…6 分
x?( 3? 5? , ) 4 4 时是增函数 ? sin 2 x 在

(II)证明一:依题意,只需证明函数 g(x)当
2k? ?

?
2

? 2 x ? 2k? ?

?
2 即 k?
4 4 ?

?
4

? x ? k? ?

?
4

(k ? Z )

的每一个区间上是增函数……9 分
4 4

5 5 当 k ? 1 时, g ( x ) ? sin 2 x 在 ( 3? , ? ) 是增函数……10 分,则当 x ? ( 3? , ? ) 时,经过函数 g(x)图

像上任意两点的直线的斜率恒大于零…12 分 证 明 二 : 设 函 数 g(x) 图 像 上 任 意 两 点
x 1 ? x 2, K A B ? sin 2 x1 ? sin 2 x x1 ? x 2
2

A ( x1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ), x1, x 2 ? (

3? 4

5? , ) 4

不妨设

?

2 c o s( x ? 1 x ) sin ( x ? x 1 ) 2 x1 ? x 2

2

x1, x 2 ? (

3? 4

5? 3? 5 ? ? , ), x1 ? x 2 ? ( , ), x1 ? x 2 ? ( ? ,) 0 4 2 2 2

…11 分 co s( x

1

? x 2 ) ? 0, ( x1 ? x 2 ) ? 0, x1 ? x 2 ? 0, K A B ? 0 sin

5 则当 x ? ( 3? , ? ) 时,经过函数 g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零. 4 4

17. 证明 ∵M 是 BC 的中点,连结 OM, ∴ O M = 1 ( O B + O C ).同理由 N 是 AC 的中点,
2

?????

????

????

得 O N = 1 ( O A + O C ). 2 ∵ P M = P O + O M = 1 ( A O + O B + O C )= 1 ( O B - O A + O C )= 1 ( A B + O C ) Q N = Q O + O N = 1 , 2 2 2 2 ( BO + O A + OC ) = 1 ( O A - O B + O C )= 1 ( B A + O C )= 1 ( O C - A B ).∴ P M · Q N = 1 ( O C + A B ) 1 ( O C ·2 2 2 2 2 - A B )= 1 ( O C - A B ). 2
2

????

??? ?

????

???? ?

????

?????

????

????

????

????

??? ?

????

????

????

????

????

????

????

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

????

????

????

???? ?

????

????

????

????

????

????? ?

?????
2

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????
????

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∵| A B |=| O C |,∴ P M · Q N =0,即 P M

???? ?

????

? QN

.
1 10

18.解:(I)由表中数据知(1)鲸沿海岸线方向运行的速度为 (2) a 、 b 满足的关系式为 b ? .鲸的运动路线图为

(km/分钟)。

a

?
A y

?

(II)以点 A 为坐标原点,海岸线 AB 为 x 轴,建立直角坐标 系,如图,设鲸所在的位置为点 P(x,y),由(I)知 y ?
x

.

B

又 B(15,0),依题意知,观测站 B 的观测区域为
( x ? 1 5) ? y ? 2 5( y ? 0 )
2 2

,又 y ?

x

,∴ ( x ? 1 5)

2

? x ? 25

,即 x

2

? 29 x ? 200 ? 0

.

B

x

∴ 1 1 .3 ? x ? 1 7 .7 .故鲸从 A 点进入前方观测站 B 所用的时间为 1 1 .3 ? 1 1 3 分钟.
1 10

A

答:鲸大约经过 113 分钟进入 B 站的观测范围. 19. 解 : ( I ) ? A M
?| C N | ? | N M |? 2 ????? ??? ???? ????? ? ? 2 AP , N P ? AM ? 0.



NP



AM

的垂直平分线,∴|

NA

|=|

NM

|. 又

2 ,?| C N | ? | A N | ? 2

2 ? 2.

∴动点
2c ? 2

N

) 的 轨 迹 是 以 点 C (? 1 , 0 A,

(1, 0 )

为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为

2a ? 2

2 ,

焦距

.? a ?

2 , c ? 1, b ? 1 .
2

∴曲线 E 的方程为 x

2

? y ? 1.
2

2

( II ) 当 直 线 GH 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 GH 方 程 为
( 1 2 ? k ) x ? 4 kx ? 3 ? 0.
2 2

y ? k x ? 2 ,代 入 椭 圆 方 程

x

2

? y
2

?1 ,



2

由 ? ? 0得 k

2

?

3 2

.


G ( x1 , y 1 ), H ( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? ?4k 1 2 ? k
2

, x1 x 2 ?

3 1 2
( ?4k 1 ? k

???? ???? ? 2 又 ? F G ? ? F H ? ( x1 , y1 ? 2 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2 ) ? x1 ? ? x 2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x 2 , x1 x 2 ? ? x 2 .
2

? k

)
2

2

3 1 ? 2 ? k
2


1

(

x1 ? x 2 1? ?

) ? x2 ?
2 2

x1 x 2

?



2 2 (1 ? ? )

?

,整 理 得 3(

16 1 2k
2

? ? 1)

(1 ? ? )

2

?



k

2

?

3 2



4?

16 3 2k
2

?

16 3



? 3

4?? ?

?

? 2?

16 3

.解 得

1 3

?? ?3

又 ? 0 ? ? ? 1,?

1 3

? ? ?1







线

GH



















???? 1 ???? ? 1 1 1 x ? 0 , F G ? F H , ? ? . ? ? ? ? 1, 即 所 求 ? 的 取 值 范 围 是 [ ,1) 3 3 3 3

20.解:(1)由已知,设 f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x2. 设 f2(x)=
k x
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(k>0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为

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A( k , k )B(- k ,- k ) 由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)=
8 x 8 x

.故 f(x)=x2+ =a2+
8 a

8 x

.………………………………6 分

(2) 【证法一】f(x)=f(a),得 x2+ 即
8 x

,

=-x2+a2+

8 a

.
8 x

在同一坐标系内作出 f2(x)= f3(x)= -x2+a2+
8 a 8 a



的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x) 与的图象是以(0, a2+ )为顶点,开口向下的抛物线.

因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a2+
8 a 8 a

当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a2+

-8>0,

∴当 a>3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. ………………………………14 分 【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ 即(x-a)(x+a- 方程 x+a-
8 ax 8 ax
8 x

=a2+

8 a

,

)=0,得方程的一个解 x1=a.

=0 化为 ax2+a2x-8=0,

由 a>3,△ =a4+32a>0,得 x2=
? a
2

?

a 2a

4

? 32 a

, x3=

? a

2

?

a 2a

4

? 32 a

,

∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且 x2≠ x3. 若 x1= x3,即 a=
? a
2

?

a 2a

4

? 32 a

,则 3a2= a ? 32 a , a4=4a,
4

得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾, ∴x1≠ x3. 故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解.………………………………14 分 21. 解:(1)f(x)的定义域是 { S 0 } ? ( S 0, S 1 ] ? ( S 1, S 2 ] ? ? ? ( S n ?1, S n ] ? ? ? ,由于所有的
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a n 都是正数,故 Sn 是单调递增的.
lim S n ?
n? ?

a1 1? q



?

a 1? 1 a

?

a

2

a ?1



[0, f ( x ) 的定义域是

a

2

a ?1

]
y

P1 ?

P ?
2

(Ⅱ)∵ ∴

kPP

1 i ?1

?

f ( S i ?1 ) ? f ( S 1 ) S i ?1 ? S i

?

a i ?1 ? a i a i ?1

?1? a

( i ? 1,2,…)与 i 无关.
O
? 1 2 a
2

P3 ?

? ? ? S1 S2 S3 x

所有的 P , P , P …共线,该直线过点 P ( a , a ) ,斜率为 1 ? a ∴ A
1 2 3 1

1



当 n ≥2 时, A 是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示).梯形面积是
n

1 2

[ f ( S 1 ) ? f ( S n )]( S n ? S 1 )

?

1 2

(a ? a

1
n?2

a (1 ? )[ 1?

1 a 1 a
n

) ? a]

?

a 2a

2n?2

?1

2n?4

( a ? 1)

. 于 是

An ?

a

2

?

a 2a

n ?2

?1

2

2

2n?4

( a ? 1)



lim A n ?
n? ?

a

2

?

a

2

2

2 ( a ? 1)

?

a

3

2 ( a ? 1)

(Ⅲ)解法一:结合图像,易见 k
a

P1 P2

? 1 ? a ? ?1

即 a ≥2 时, a ≥ lim A
2

n? ?

n

? An

,而 k

P1 P2

? 1 ? a ? ?1

,即

<2 时, lim A
n? ?

n

?

1 2

a ?
2

1 2

a ? a
2

2

故当 1< a <2 时,存在正整数 n ,使得 A

n

? a

2

解 法 二 : 假 设 存 在 正 整 数
a
2

n , 使 得
a
2

An ? a

2

, 则 应 有

?

a 2a

2n?2

?1

2

2n?4

( a ? 1)

? a ? 0
2

a ?

2n?2

(a ? 2 ?

1
2n?2

) ?0 ?

a 2n?4 2a ( a ? 1)
1 a
2n?2

2 ( a ? 1)

(a ? 2 ? a

1
2n?2

)?0

∵ 成立.

a ?1



a

2

2 ( a ? 1)

? 0 ?

a ? 2?

? 0 ?

a ? a

1
2n?2

? 2

∴1< a <2 时, 存在正整数 n , 使得 A

n

? a

2

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2011年高考数学一轮复习精品试题:数列

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2011年高考数学一轮复习精品试题:圆锥曲线

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2011届高考数学第一轮复习综合测试题5

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2011年高考数学一轮复习精品试题:平面向量

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2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第三章 质量检测

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