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广东省执信中学2013届高三上学期期中 数学文试题


1

2012-2013 学年度第一学期 高三级数学科文科期中考试试卷
一、选择题

1.

2.

i 的虚部是( ) 1? i i 1 1 i A. B. C. ? D. ? 2 2 2 2 在 ?ABC 中,已知 p : 三内角 A、B、C 成等差数列; q : B ? 60? .则 p 是 q 的(
设 i 是虚数单位,则复数 A. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )



3.已知直线 l 与两个不同的平面 ? , ? ,则下列每题正确的是( A.若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , ? ? ? , 则 l // ?

B.若 l ? ? , l ? ? , 则 ? // ? D.若 l // ? , ? ? ? , 则 l ? ?

4.已知向量 a ? (1, 2), b ? (2,3), 若 (? a ? b) ? (a ? b) ,则 ? =( A. ?

?

?

?

?

? ?

) D.-7

5 3

B.

5 3

C.0

5. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . B. “ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“ ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” “ . D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 6.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3a 没有零点,则实数的取值范围是(
2



A. a ?

1 3

B. a ?

1 3

C. a ?

1 3

D. a ?

1 3

7.有下列四种变换方式:

1 ? ,再将横坐标变为原来的 ; 2 4 1 ? ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 2 4
①向左平移

1 ? ,再向左平移 ; 2 8 1 ? ④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; 2 8
②横坐标变为原来的

其中能将正弦曲线 y ? sin x 的图像变为 y ? sin(2 x ? A.①③ B.①② C.②④

?

4

) 的图像的是(



D.①②④ ) .

8. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是(

①正方体 A.①②

②圆锥 B.①③

③三棱台 C.①④

④正四棱锥 D.②④

2

9.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 ?ABF2 是等腰 直角三角形,则这个椭圆的离心率是( A. )
开始

3 2

B.

2 2

C. 2 ? 1

D. 2
输入 a , b, c 是

10. .已知正项等比数列 ? an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am ,

an 使得 am an ? 4a1 ,则
3 A. 2 5 B. 3

1 4 ? 的最小值为( m n 25 C. D. 不存在 6

) 否

a?b且a?c ?


b?c ?


第二部分非选择题(共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分;第 14、15 题只选其中一题,两 题都做只记前一题得分) 11.在等差数列 ? an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若

输出

a

输出

c

输出b

ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7 ,则 k ?

.
频率 组距

结束

12.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示, 则时速不低于 60km/h 的汽车数量为 辆.
0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

1 4 1 0.2 13. 阅读右上边的流程图:设 a?( ) , b ? log 1 , c ? 2 4 , 4 4

则输出的数(用字母表示)是 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, M (2, 点 15. (几何证明选做题)



时速 30 40 50 60 70 80 km/ h

第 12 题图

?
3

) 到直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 的距离为 _ . k 2

AB 是圆 O 的直径, EF 切圆 O 于 C , AD ? EF 于 D , AD ? 2 AB ? 6 ,则 AC 的长为 .
三、解答题 16. (本小题满分 12 分) (1)求 sin 2? ? cos (2)求函数 f ( x) ?
2

已知 sin(? ? ? ) ?

?
2

4 ? , ? ? (0, ) . 5 2

的值;

5 1 cos ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间. 6 2

3

17. (本小题满分 12 分)为了更好的开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从 “模拟联合国”, “街舞”, “动漫”,“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数 据见下表(单位:人) 社团 模拟联合国 街舞 动漫 话剧 (1)求 a,b,c 的值; (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选 2 人担任指导小组组长, 求这 2 人分别来自这两个社 团的概率. 相关人数 24 18 b 12 抽取人数 a 3 4 c

18. (本小题满分 14 分)如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a , CD 是 AB 边上的高, E , F 分别是 AC ,

BC 的中点。现将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD (如图 2)
(1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C ? DEF 的体积。
A E C A E D B F 图(2) C

D F B 图(1)

4

19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ?的公差大于 0,且 a3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根, 数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 1? (1) 求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (2) 记 c n ? a n ? bn ,求证: c n ?1 ? c n .

1 bn . 2

20.本小题满分 14 分) ( 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A 、 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 B

2 2

的椭圆,其左焦点为 F ,若 P 是圆 O 上一点,连结 PF ,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x ? ?2 于点

Q.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为 (1,1) 求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是, 请证明;若不是,请说明理由. Q y P

A F

O

B x

5

21. (本小题满分 14 分)若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域上的任意实数 x 分 别满足: f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直线” .已知

h( x) ? x 2 , ? ( x) ? 2e ln x (e 为自然对数的底数).
(1)求 F ( x) ? h( x) ? ? ( x) 的极值; (2)函数 h( x ) 和 ? ( x) 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

2012-2013 学年度第一学期

高三级数学科(文科)期期中试题答案
一.选择题 1. B 2. A 3. B 二、填空题 11.22 12.76 4. A 5. D 6. B 7.B 8. D 9. C 10. A

13. c

14.

6 2

15. 2 3

4 4 π 3 16.解:解:(1)∵sin(π-α)= ,∴sinα= ,又∵α∈(0, ),∴cosα= , 5 5 2 5 3 1+ α 1+cosα 4 3 5 4 ∴sin2α-cos2 =2sinαcosα- =2× × - = ,???????6 分 2 2 5 5 2 25 5 3 1 2 π (2)f(x)= × sin2x- cos2x= sin(2x- ),???9 分 6 5 2 2 4 π π π π 3π 令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 8 8 π 3π ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. ????12 分 8 8 1 17 解: 解:(1)由表可知抽取比例为 ,故 a=4,b=24,c=2. 6

???2 分

????????4 分

(2)设“动漫”4 人分别为:A1 ,A2 ,A3 ,A4 ;“话剧”2 人分别为:B1 ,B2 .则从中任选 2 人的所有基本事件为:(A1 ,A2 ),(A1 ,A3 ),(A1 ,A4 ),(A2 ,A3 ),(A2 ,A4 ),(A3 ,A4 ),(A1 ,B1 ), (A1 ,B2 ),(A2 ,B1 ),(A2 ,B2 ),(A3 ,B1 ),(A3 ,B2 ),(A4 ,B1 ),(A4 ,B2 ), (B1 ,B2 )共 15 个, ????????8 分

6

其中 2 人分别来自这两个社团的基本事件为:(A1 ,B1 ),(A1 ,B2 ),(A2 ,B1 ),(A2 ,B2 ),(A3 ,B1 ), (A3 ,B2 ),(A4 ,B1 ),(A4 ,B2 )共 8 个, ???11 分 8 所以这 2 人分别来自这两个社团的概率 P= . ??????????????12 分 15 18.解: (1)判断:AB//平面 DEF………………………………………………..2 分 证明: A 因在 ?ABC 中,E,F 分别是 AC,BC 的中点,有 EF//AB……..5 分 又因 AB ? 平面 DEF, EF 平面 DEF……..6 分 所以 AB//平面 DEF……..7 分 (2)过点 E 作 EM ? DC 于点 M, 面 ACD ? 面 BCD, 面 ACD ? 面 BCD=CD,而 EM 面 ACD 故 EM ? 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高…..9 分 又 ? CDF 的面积为
D F B 图(1) 图(2) E C

A E D B F C

S?CDF ?

1 1 1 1 3 2 S?BCD ? ? CD ? BD ? (2a) 2 ? a 2 ? a ? a 2 2 2 4 4

EM=

1 1 AD ? a …………11 分 2 2

故三棱锥 C-DEF 的体积为

1 1 3 2 1 3 3 VC ? DEF ? VE ?CDF ? ? S?CDF ? EM ? ? a ? a? a ........................14分 3 3 4 2 24
19. 解: (Ⅰ)∵a3 ,a5 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {a n } 的公差 d>0,
2

∴a3 =5,a5 =9,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3
1 2

∴ a n ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1.

??????3 分

又当 n=1 时,有 b1 =S1 =1- b1 ,?b1 ? 当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ? ∴数列{bn}是等比数列, b1 ?

2 . 3

b 1 1 (bn ?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn ?1 3

2 1 2 , q ? . ∴ bn ? b1 q n ?1 ? n . ????7 分 3 3 3 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) , cn?1 ? , ????9 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c n ? a n bn ? n 3 3n?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ? ? ? 0. ???13 分 ∴ cn ?1 ? cn ? 3n?1 3n 3n?1
∴ c n ?1 ? c n . ??????????14 分

7

20.解:(Ⅰ)因为 a ?

2, e ?
2

2 ,所以 c=1,则 b=1, 2

所以椭圆 C 的标准方程为 x ? y 2 ? 1 2 (Ⅱ)∵P(1,1),∴ k PF ?

???5 分

1 ,∴ kOQ ? ?2 ,∴直线 OQ 的方程为 y=-2x, ∴点 Q(-2,4)?7 分 2
??10 分

∴ k PQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,∴ k OP ? k PQ ? ?1 ,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 与圆 O 相切 (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切
2 2 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y0 ? 2 ? x0 ,所以 k ? PF

???11 分
x ?1 , y0 , kOQ ? ? 0 y0 x0 ? 1

所以直线 OQ 的方程为 y ? ?

x0 ? 1 x y0

所以点 Q(-2,

2 x0 ? 2 ) y0

???12 分

所以 k

y0 ?
PQ

?

2 x0 ? 2 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x ? 0 ? ? ? 0 ,又 kOP x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0

?

y0 x0

??13 分

所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP⊥PQ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切. 21.解(1) ? F ( x) ? h( x) ? ? ( x) ? x 2 ? 2e ln x ( x ? 0) ,

???14 分

? F ?( x) ? 2 x ?
当x?

2e 2( x ? e )( x ? e ) . ? x x

??????????2 分

e 时, F ?( x) ? 0 .

??????????3 分

?当 0 ? x ? e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递减;
当x? ∴当 x ?

e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递增; e 时, F ( x) 取极小值,其极小值为 0 .
??????????6 分

(2)解法一:由(1)可知函数 h(x ) 和 ? (x) 的图象在 x ? 直线,则该直线过这个公共点.

e 处有公共点,因此若存在 h(x) 和 ? (x) 的隔离

??????????7 分

设隔离直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? e ? k ( x ? e ) ,即

y ? kx ? e ? k e .
2

??????????8 分

由 h( x) ? kx ? e ? k e ( x ? R) ,可得 x ? kx ? e ? k e ? 0 当 x ? R 时恒成立.

? ? ? (k ? 2 e ) 2 ,

?由 ? ? 0 ,得 k ? 2 e .

??????????10 分

8

下面证明 ? ( x) ? 2 e x ? e 当 x ? 0 时恒成立.令 G ( x) ? ? ( x) ? 2 ex ? e ? 2e ln x ? 2 e x ? e ,则

G ?( x) ?
当x?

2e 2 e ( e ? x) , ?2 e ? x x

???????11 分

e 时, G?( x) ? 0 .

?当 0 ? x ? e 时, G?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递增;当 x ? e 时, G?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递减;
∴当 x ?

e 时, G ( x) 取极大值,其极大值为 0 .

从而 G ( x) ? 2e ln x ? 2 ex ? e ? 0 ,即 ? ( x) ? 2 e x ? e( x ? 0) 恒成立.???13 分 ∴函数 h( x ) 和 ? ( x) 存在唯一的隔离直线 y ? 2 ex ? e . 解法二: 由(Ⅰ)可知当 x ? 0 时, h( x) ? ? ( x) (当且当 x ? 若存在 h( x ) 和 ? ( x) 的隔离直线,则存在实常数 k 和 b ,使得 ?????????14 分

e 时取等号) .??7 分

h( x) ? kx ? b ( x ? R) 和 ? ( x) ? kx ? b ( x ? 0) 恒成立,
令x?

e ,则 e ? k e ? b 且 e ? k e ? b
???????8 分

? k e ? b ? e ,即 b ? e ? k e .
后面解题步骤同解法一.


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