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2011届高考数学第一轮复习测试题43


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·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 (七 ) 第三单元 直线与圆

(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 θ∈R,则直线 x sin ? ? A.[0° ,30° ] C.[0° ,30° ]∪[150° ,180° )
3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是

B.[150° ,180° ) D.[30° ,150° ]

2.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 满足 PM ? PN =12,则点 P 的轨迹方程为 x2 A. +y2=1 16 C.y2-x2=8 B.x2+y2=16 D.x2+y2=8

3.已知两点 P(4,-9),Q(-2,3),则直线 PQ 与 y 轴的交点分 PQ 所成的比为 1 A. 3
2

1 B. 2
2 2

C.2

D.3
2

4.M( x 0 , y 0 ) 为圆 x ? y ? a ( a ? 0 ) 内异于圆心的一点,则直线 x 0 x ? y 0 y ? a 与该圆 的位置关系为 A.相切 B.相交
x

C.相离
2

D.相切或相交

5.已知实数 x,y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 , 那么 A. 5 B. 10

? y

2

的最小值为 D.2 10

C.2 5

6.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A.x-y+1=0
2

B.x-y=0
?
4

C.x+y+1=0
2

D.x+y=0
? 4

7.已知 a ? b,且 a sin ? +acos ? -

=0 ,b sin ? +bcos ? -

=0,则连接(a,

a2),(b,b2)两点的直线与单位圆的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
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8.直线 l1:x+3y-7=0、l2:kx- y-2=0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接 圆,则 k 的值等于 A.-3 B.3 C.-6 D.6

9.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边 界)内,目标函数 z ? 2 x ? ay 取得最大值的最优解有无 数个,则 a 为 A.-2 则直线 BC 的方程是 A.y=2x+5 B.y=2x+3 C.y=3x+5 答题卡 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为
2 2 2

B.2

C.-6

D.6

10.设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1),∠B,∠C 的平分线方程分别是 x=0,y=x,
x 2 5 2

D. y ? ?

?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


2

12.已知圆 C 的方程为 x ? y ? r , 定点 M(x0,y0),直线 l : x 0 x ? y 0 y ? r 有如下两组 论断: 第Ⅰ组 (a) 点 M 在圆 C 内且 M 不为圆心 (b) 点 M 在圆 C 上 (c )点 M 在圆 C 外 (将命题用序号写成形如 p ? q 的形式)
?x ? 3y ? 3 ? 0 y?2 ? 13.已知 x、y 满足 ? x ? 0 , ,则 z= 的取值范围是 x ?1 ?y ? 0 ?

第Ⅱ组 (1) 直线 l 与圆 C 相切 (2) 直线 l 与圆 C 相交 (3) 直线 l 与圆 C 相离 .

由第Ⅰ组论断作为条件,第Ⅱ组论断作为结论,写出所有可能成立的命题



14.已知 A(-4,0),B(2,0)以 AB 为直径的圆与 y 轴的负半轴交于 C,则过 C 点 的圆的切线方程为
2


2

15.过直线 x ? 2 上一点 M 向圆 ? x ? 5 ? ? ? y ? 1? ? 1 作切线,则 M 到切点的最小距离为 _ ____.
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆
x
2

? y

2

? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直线方程.

17.(本小题满分 12 分) 某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千元,2 千元。甲、乙产 品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 时、2 时,加工一件乙产品所需工时分别为 2 时、1 时,A,B 两种设备每月有效 使用台时数分别为 400 和 500。如何安排生产可使收入最大?

18.(本小题满分 14 分) 设有半径为 3km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直行,A 先向
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东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与 B 相遇.设 A、B 两人速度一定,其速度比为 3:1,问两人在何处相遇?

19.(本小题满分 14 分) 已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2,一动圆与 这两个圆都外切. ⑴求动圆圆心 P 的轨迹方程; ⑵若过点 M2 的直线与⑴中所求轨迹有两个交点 A、 求|AM1|· B, |BM1|的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴上给定 A、B 两点,在 x 轴正半轴上求一点 C, 使∠ACB 取得最大值.
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21.(本小题满分 14 分) 如图 9-3,已知:射线 OA 为 y=kx(k>0,x>0),射线 OB 为 y= -kx(x>0), 动点 P(x,y)在∠AOx 的内部,PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N,四边形 ONPM 的面 积恰为 k. (1)当 k 为定值时,动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数,求这个函数 y=f(x)的解 析式;
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(2)根据 k 的取值范围,确定 y=f(x)的定义域.

直线与圆参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分): 题号 答案 1 2 3 4 5 6 A 7 A 8 B 9 A 10 A C B C C A 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

11.36; 12. ( a ) ? ( 2 ), ( b ) ? (1), ( c ) ? ( 3 ) 9 ; 14.
2x ? 4y ? 8 2 ? 0

13. z≤-2或 z≥1;

15. 4 3

三、解答题(共 80 分,按步骤得分) 16.解:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1, 它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。 设光线 L 所在直线方程是:y-3=k(x+3)。 由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d ?
| 5k ? 5 | 1? k
2

?1.

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整理得 12 k ? 25 k ? 12 ? 0 ,
2

解得 k ? ?
3 4

3 4

或k ? ?

4 3


4 3 ( x ? 3) ,

故所求的直线方程是 y ? 3 ? ?

( x ? 3 ) ,或 y ? 3 ? ?

即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0.
? x ? 2 y ? 400 ? 17. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y 件,约束条件是 ? 2 x ? y ? 5 0 0 ? x ? 0, y ? 0, ?

目标函数是 f ? 3 x ? 2 y ,要求出适当的 x,y,使 f ? 3 x ? 2 y 取得最大值。 作出可行域,如图。 设 3 x ? 2 y ? a , a 是参数, 将它变形为 y ? ? 这是斜率为 ?
3 2 3 2 x? a 2

y 500 20 0O (200, 250 400 100)




,随 a 变化的一族直线。
a 2

当直线与可行域相交且截距

最大时,
? x ? 2 y ? 400 ?2 x ? y ? 500

x

目标函数 f 取得最大值。由 ?

得?

? x ? 200 ? y ? 100

因此,甲、乙两种产品的每月产品分别为 200,100 件时,可得最大 收入 800 千元。 18. 解:如图建立平面直角坐标系,由题意可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时 ,v 千米/小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变方向,又经 过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇. 则 P、Q 两点坐标为(3vx0, 0),(0,vx0+vy0). 由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2 知,………………3 分 (3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2, 即 ( x 0 ? y 0 )( 5 x 0 ? 4 y 0 ) ? 0 .
? x 0 ? y 0 ? 0, ? 5 x 0 ? 4 y 0 ……①

将①代入 k PQ ? ?

x0 ? y0 3x0

, 得 k PQ ? ?

3 4

.

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线 y ? ? 则有
| 4b | 3 ?4
2 2

3 4

x ? b 与圆 O : x ? y
2

2

? 9 相切,

? 3,

?b ?

15 4

.

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答:A、B 相遇点在离村中心正北 3

3 4

千米处

19.解:(1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1| - |PM2|=4 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支。 c=4,a=2,b2=12, 故所求轨迹方程为
x
2



y

2

=1(x≥2)。
?
2

4

12

(2)当过 M2 的直线倾斜角不等于

时,设其斜率为 k,

直线方程为 y=k(x-4) 与双曲线 3x2-y2-12=0 联立,消去 y 化简得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 又设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0
2 ? 8k x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? k ?3 ? 2 ? 16 k ? 12 由 ? x1 x 2 ? 解得 ? 0 2 k ?3 ? ? △ ? 64 k 4 ? 16 ( 3 ? k 2 )( 4 k 2 ? 3 ) ? 0 ? ?

k2>3。

由双曲线左准线方程 4[x1x2+(x1+x2)+1] =4(
16 k k
2 2

x=-1 且 e=2,有|AM1|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|=
2

? 12 ?3


k

8k
2

?3

+1)=100+
k

336
2

?3

∵k2-3>0,∴|AM1|×|BM1|>100 ? 又当直线倾斜角等于 时,A(4,y1),B(4,y2),|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10
2

|AM1|·|BM1|=100



|AM1|·|BM1|≥100。

20.解:设 ? ACB ? ? , ? BCO ? ? ,再设 A ( 0 , a ) 、B(0,b)、C(x,0). 则 tan( ? ? ? ) ?
a x
tan ? ? tan[( ? ? ? ) ? ? ]

,

t an ? ?

b x



a ? tan( ? ? ? ) ? tan ? 1 ? tan( ? ? ? ) ? tan ?
a?b x? ab x a?b 2 x? ab x

?

b

? x 1?
?

x ab x
2

?

?

a?b 2 ab



图1

图2

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当且仅当 x ?

ab x

,∵x

2

? ab , ,∴ x ?

ab 时 , tan ? 有最大值,最大值为

a?b 2 ab



∴ y ? tan x 在 ( 0 ,

?
2

) 内为增函数.

∴ 角α 的最大值为 arctan

a?b 2 ab

.此时 C 点的做标为 ( ab , 0 ).

21. 解:(1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0)。 则|OM|=a 1 ? k ,|ON|=b 1 ? k 。
2 2

由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<kx。 ∴|PM|=
| kx ? y | 1? k
2



kx ? y 1? k
2

,|PN |=
1

| kx ? y | 1? k
2



kx ? y 1? k
2

∴S 四边形 ONPM=S△ONP+S△OPM= =
1 2

(|OM|·|PM|+|ON|·|PN|) [k(a+b)x - (a-b)y]=k ①
1 k y ? kb x?b

[a(kx-y)+b(kx+y)]=
y ? ka

2 1

2
1

∴k(a+b)x-(a-b)y=2k 又由 kPM= - 分别解得 a=
k x?a x ? ky x ? ky
2



, kPN=





1? k

,b=
2

1? k

2

,代入①式消 a、b,并化简得 x2-y2=k2+1。

∵y>0,∴y= x ? k ? 1
2

(2)由 0<y<kx,得 0<
? ?x ? k ? ? ?x2 ? k ?
2 2

x ?k
2

2

? 1 <kx

?1 ? 0 ?1? k x
2 2

2

?x ? k 2 ? 1 ? ? ? ? (1 ? k 2 ) x 2 ? k ?

2

? 1   ②

(*)

当 k=1 时,不等式②为 0<2 恒成立,∴(*) ? x> 2 。 当 (*) ? 0<k<1
k
2

时 , 由 不 等 式 ② 得
1? k 1? k
2 4

x <

2

k

2

?1
2

1? k

, x<

1? k 1? k
2

4

, ∴

? 1 <x<


2

当 k>1 时,由不等式②得 x >

k

2

?1
2

1? k

,且

k

2

?1
2

1? k

<0,∴(*) ? x> k ? 1
2

但垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形,所以还必须满 足条件:y< 解得
1 k

x,将它代入函数解析式,得 x ? k ? 1 <
2 2

1 k

x

k

2

? 1 <x<

k k

k
2

4

?1

?1

(k>1),或 x∈k(0<k≤1).

综上:当 k=1 时,定义域为{x|x> 2 };
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当 0<k<1 时,定义域为{x| k ? 1 <x<
2

1? k 1? k
k
4

4

2

};

当 k>1 时,定义域为{x| k ? 1 <x<
2

k k

?1

2

?1

}.

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