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高中数学解题基本方法之配方法


配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已 知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与 “添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未 知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺 xy 项的二 次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,将这个 公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;

a +ab+b =(a+b) -ab=(a-b) +3ab=(a+

2

2

2

2

3 b 2 2 ) +( b) ; 2 2

2 2 2 a +b +c +ab+bc+ca=

1 [(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] 2

a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) 2 ;
2 x +

1 1 2 1 ) -2=(x- ) 2 +2 ;…… 等等。 2 =(x+ x x x

Ⅰ、再现性题组: 再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n }中,a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 3 a 7 =25,则 a 3 +a 5 =_______。 2. 方程 x 2 +y 2 -4kx-2y+5k=0 表示圆的充要条件是_____。 A.
1 4

<k<1

B. k< 1 或 k>1 4

C. k∈R

D. k= 1 或 k=1 4

3. 已知 sin 4 α+cos 4 α=1,则 sinα+cosα的值为______。 A. 1
2

B. -1

C. 1 或-1

D. 0

4. 函数 y=log 1 (-2x 2 +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞,
5 4

]

B. [ 5 ,+∞) 4

C.

(- 1 , 5 ] 2 4

D. [ 5 ,3) 4

5. 已知方程 x 2 +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 1 、x 2 ,则点 P(x 1 ,x 2 )在圆 x 2 +y 2 =4 上,则 实数 a=_____。

【简解】 1 小题:利用等比数列性质 a m? p a m+ p =a m ,将已知等式左边后配方(a 3 + a 5 ) 2 易求。答案是:5。 2 小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ,解 r 2 >0 即可,选 B。 3 小题:已知等式经配方成(sin α+cos α) -2sin αcos α=1,求出 sinαcos α,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选 C。 4 小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。 5 小题:答案 3- 11 。 Ⅱ、示范性题组: 示范性题组 例 1. 已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对 角线长为_____。 A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 【 分 析 】 先 转 换 为 数 学 表 达 式 : 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z , 则
2 2 2 2 2

2

? 2 ( xy + yz + xz ) = 11 ,而欲求对角线长 ? ? 4 ( x + y + z ) = 24

将其配凑成两已知式的组合形式 x2 + y2 + z2 ,

可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z,由已知“长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长 度之和为 24”而得: ?

? 2 ( xy + yz + xz ) = 11 。 ? 4 ( x + y + z ) = 24

长方体所求对角线长为:

x 2 + y 2 + z 2 = ( x + y + z ) 2 ? 2( xy + yz + xz ) =

6 2 ? 11 =5
所以选 B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析 三个数学式, 容易发现使用配方法将三个数学式进行联系, 即联系了已知和未知, 从而求解。 这也是我们使用配方法的一种解题模式。
2 例 2. 设方程 x +kx+2=0 的两实根为 p、q,若(

p 2 q 2 ) +( ) ≤7 成立,求实数 k 的 q p

取值范围。 【解】方程 x 2 +kx+2=0 的两实根为 p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,

(

( p 2 + q 2 )2 ? 2 p 2 q 2 [( p + q ) 2 ? 2 pq]2 ? 2 p 2 q 2 p 2 q p4 + q4 ) +( ) 2 = = = = q p ( pq ) 2 ( pq ) 2 ( pq ) 2

( k 2 ? 4)2 ? 8 ≤7, 解得 k≤- 10 或 k≥ 10 。 4

又 ∵p、 为方程 x 2 +kx+2=0 的两实根,∴ △=k 2 -8≥0 即 k≥2 2 或 k≤-2 2 q 综合起来,k 的取值范围是:- 10 ≤k≤- 2 2 或者 2 2 ≤k≤ 10 。 【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两 根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p+q、pq 后,观察已知不等式,从其 结构特征联想到先通分后配方,表示成 p+q 与 pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论,结 果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的, 这一点我们要尤为注意和重视。 例 3. 设非零复数 a、b 满足 a +ab+b =0,求(

b a 1998 1998 ) +( ) 。 a+b a+b a 2 a a 【分析】 对已知式可以联想:变形为( ) +( )+1=0,则 =ω (ω为 1 的立方 b b b
2 2

虚根);或配方为(a+b) 2 =ab 。则代入所求式即得。 【解】由 a 2 +ab+b 2 =0 变形得:( 设ω=

a 2 a ) +( )+1=0 , b b

a 1 b ,则ω 2 +ω+1=0,可知ω为 1 的立方虚根,所以: = ,ω 3 = ω 3 =1。 b ω a

又由 a 2 +ab+b 2 =0 变形得:(a+b) 2 =ab ,

b a a 2 999 b 2 999 a b 1998 1998 ) +( ) =( ) +( ) =( ) 999 +( ) 999 =ω 999 所以 ( a+b ab ab b a a+b
+ω
999

=2 。

【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用 1 的立方虚根,活用ω的性质,计 算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。 【另解】由 a 2 +ab+b 2 =0 变形得:(

a 2 a b ? 1 ± 3i ) +( )+1=0 ,解出 = 后, b b a 2

化成三角形式,代入所求表达式的变形式(

a 999 b ) +( ) 999 后,完成后面的运算。此方法用 b a

于只是未

? 1 ± 3i 联想到ω时进行解题。 2

假 如本题 没有想 到以上一 系列变 换过程 时,还可由 a 2 + ab+ b 2 =0 解出: a=

? 1 ± 3i b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛 2
定理完成最后的计算。 巩固性题组: Ⅲ、巩固性题组:
2 2 1. 函数 y=(x-a) +(x-b)

(a、b 为常数)的最小值为_____。

A.

8

2 B. ( a ? b)

2 2 C. a + b

D.最小值不存在

2

2

2 则(α-1) 2 +(β-1) 2 的最小值是_____。 2. α、 β是方程 x -2ax+a+6=0 的两实根,

A.

- 49 4

B. 8
+

C. 18

D.不存在
x y

3. 已知 x、y∈R ,且满足 x+3y-1=0,则函数 t=2 +8 有_____。 A.最大值 2 2 B.最大值 2
2

C.最小值 2 2

B.最小值 2
2

2 2 2 4. 椭圆 x -2ax+3y +a -6=0 的一个焦点在直线 x+y+4=0 上,则 a=_____。

A. 2 B. -6 C. -2 或-6 D. 5. 化简:2 1 ? sin 8 + 2 + 2 cos 8 的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4
2

2或6 D. 4cos4-2sin4

2 点 6. 设 F 1 和 F 2 为双曲线 x -y =1 的两个焦点, P 在双曲线上且满足∠F 1 PF 2 =90°,

4

则△F 1 PF 2 的面积是_________。 7. 若 x>-1,则 f(x)=x 2 +2x+ 1 的最小值为___________。
x +1

8. 已知 π 〈β<α〈 3 π,cos(α-β)= 12 ,sin(α+β)=- 3 ,求 sin2α的值。(92
2
4
13

5

年高考题) 9. 设二次函数 f(x)=Ax 2 +Bx+C,给定 m、n(m<n),且满足 A 2 [(m+n) 2 + m 2 n 2 ]+ 2A[B(m+n)-Cmn]+B 2 +C 2 =0 。 ① 解不等式 f(x)>0; ② 是否存在一个实数 t,使当 t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存 在,指出 t 的取值范围。 10. 设 s>1, t>1, m∈R, x=log s t+log t s, y=log s 4 t+log t 4 s+m(log s 2 t+log t 2 s), ① 将 y 表示为 x 的函数 y=f(x),并求出 f(x)的定义域; 若关于 x 的方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 m 的取值范围。


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