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高中数学解题基本方法之反正法


七、反证法 与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题 的证明方法, 肯定题设而否定结论, 即: 从而导出矛盾推理而得。 法国数学家阿达玛(Hadamard) 对反证法的实质作过概括: “若肯定定理的假设而否定其结论, 就会导致矛盾” 。具体地讲, 反证法就是从否定命题的结论入手, 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件, 进行正确 的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相 矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两 个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”; 两个互相矛盾的判断不能同时都假, 简单地说 或者非 A”, “A 这就是逻辑思维中的 “排中律” 。 反证法在其证明过程中, 得到矛盾的判断,根据“矛盾律”, 这些矛盾的判断不能同时为真, 必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以 “否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的 判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基 本规律和理论为依据的,反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经 过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之 否定”。应用反证法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具 体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证 题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反 证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒, 才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过: “反证法是数学家最精当的武器之一”。 一般来讲,反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、 “至少”或“至多”、 “唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接 证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干 脆。 再现性题组: Ⅰ、再现性题组: 1. 已知函数 f(x)在其定义域内是减函数,则方程 f(x)=0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2 2. 已知 a<0,-1<b<0,那么 a、ab、ab 之间的大小关系是_____。

A.

a>ab> ab 2

B. ab 2 >ab>a

C. ab>a> ab 2

D. ab> ab 2 >a

3. 已知α∩β=l,a α,b β,若 a、b 为异面直线,则_____。 A. a、b 都与 l 相交 B. a、b 中至少一条与 l 相交 C. a、b 中至多有一条与 l 相交 D. a、b 都与 l 相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共 10 个, 在其中取 4 个不共面的点, 不同的取法有_____。 (97 年全国理) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种

【简解】1 小题:从结论入手,假设四个选择项逐一成立,导出其中三个与特例矛盾, 选 A; 2 小题:采用“特殊值法”,取 a=-1、b=-0.5,选 D; 3 小题:从逐一假设选择项成立着手分析,选 B; 4 小题:分析清楚结论的几种情况,列式是:C 10 -C 6 ×4-3-6,选 D。 Ⅱ、示范性题组: 示范性题组: S 例 1. 如图,设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面 圆心,C 是 SB 上一点。求证:AC 与平面 SOB 不垂直。 C 【分析】结论是“不垂直”,呈“否定性”,考虑使用 反证法, 即假设 “垂直” 后再导出矛盾后, 再肯定 “不垂直” 。 A O 【证明】 假设 AC⊥平面 SOB, B ∵ 直线 SO 在平面 SOB 内, ∴ AC⊥SO, ∵ SO⊥底面圆 O, ∴ SO⊥AB, ∴ SO⊥平面 SAB, ∴平面 SAB∥底面圆 O, 这显然出现矛盾,所以假设不成立。 即 AC 与平面 SOB 不垂直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已 知条件推导出矛盾。 例 2. 若下列方程:x 2 +4ax-4a+3=0, x 2 +(a-1)x+a 2 =0, x 2 +2ax-2a=0 至 少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种:三个方程均没有实根。 先求出反面情况时 a 的范围,再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根,则有:
4 4

1 ? 3 ? <a< ? 2 2 ?△ 1 = 16a 2 ? 4( ?4a + 3) < 0 ? ? 1 3 ? 2 2 ,解得 ?a < ?1或a > ,即- <a<-1。 ?△ 2 = ( a ? 1) ? 4a < 0 3 2 ? ? 2 ?△ 2 = 4a ? 4( ?2a ) < 0 ?2< a<0 ? ? ?
所以当 a≥-1 或 a≤-

3 时,三个方程至少有一个方程有实根。 2

【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单。本题还用到 了“判别式法”、“补集法”(全集 R),也可以从正面直接求解,即分别求出三个方程有 实根时(△≥0)a 的取值范围,再将三个范围并起来,即求集合的并集。两种解法,要求 对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 例 3. 给定实数 a,a≠0 且 a≠1,设函数 y=

1 x ?1 (其中 x∈R 且 x≠ ),证明:①. ax ? 1 a

经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴; ②.这个函数的图像关于直线 y=x 成轴对称图像。(88 年全国理)。 【分析】“不平行”的否定是“平行”,假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。

【证明】 ① 设 M 1 (x 1 ,y 1 )、M 2 (x 2 ,y 2 )是函数图像上任意两个不同的点,则 x 1 ≠x 2 , 假设直线 M 1 M 2 平行于 x 轴,则必有 y 1 =y 2 ,即 =x 1 -x 2 ∵x 1 ≠x 2 ∴ a=1, 这与已知“a≠1”矛盾,

x1 ? 1 x2 ?1 = ,整理得 a(x 1 -x 2 ) ax1 ? 1 ax 2 ? 1

因此假设不对,即直线 M 1 M 2 不平行于 x 轴。 ② 由 y=

y ?1 x ?1 得 axy-y=x-1,即(ay-1)x=y-1,所以 x= , ax ? 1 ay ? 1 x ?1 x ?1 的反函数为 y= ,图像一致。 ax ? 1 ax ? 1

即原函数 y=

由互为反函数的两个图像关于直线 y=x 对称可以得到,函数 y=

x ?1 的图像关于直 ax ? 1

线 y=x 成轴对称图像。 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法,在假设“平行”的情况下,容易得到 一些性质,经过正确无误的推理,导出与已知 a≠1 互相矛盾。第②问中,对称问题使用反 函数对称性进行研究,方法比较巧妙,要求对反函数求法和性质运用熟练。 巩固性题组: Ⅲ、巩固性题组: 1. 已知 f(x)= x ,求证:当 x 1 ≠x 2 时,f(x 1 )≠f(x 2 )。
1+| x|

2. 已知非零实数 a、b、c 成等差数列,a≠c,求证: 1 、 1 、 1 不可能成等差数列。
a b c 2

3. 已知 f(x)=x 2 +px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1 。 4. 求证:抛物线 y= x -1 上不存在关于直线 x+y=0 对称的两点。
2
2

5. 已知 a、b∈R,且|a|+|b|<1,求证:方程 x 2 +ax+b=0 的两个根的绝对值均小于 1。 A 6. 两个互相垂直的正方形如图所示,M、N 在 相应对角线上,且有 EM=CN,求证:MN 不 可能垂直 CF。 B M N E C

F

D


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