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参数方程与普通方程的互化(1课时)


课题:参数方程与普通方程互化 教学目的: 知识目标:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 能力目标:选取适当的参数化普通方程为参数方程 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 课 时 数:1 课时 教学过程: 一、复习引入: (1)圆的参数方程 (2)椭圆的参数方程 二、讲解新课: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一 致性,必须根据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程 ? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ( ? 为参数) ? y ? r sin ?
? x ? x 0 ? r cos? (2)圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y 0 ) 2 ? r 2 参数方程为: ? ? y ? y 0 ? r sin ? 2 2 s ?x ? a c o ? x y (3)椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 ? ( ? 为参数) ? a b ?y ? bs i n

( ? 为参数)

c ?x ? a s e ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? b t a n ? x ? 2 Pt 2 (5)抛物线 y 2 ? 2 Px 参数方程 ? (t 为参数) ? y ? 2 Pt (6)过定点 P( x0 , y 0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

x2 y2 (4)双曲线 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b

s ? x ? x0 ? t c o ? ? ? ? y ? y0 ? t s i n

( t 为参数)

典型例题 1、将下列参数方程化为普通方程 2 ? ? x ? sin ? ? cos? ? x ? t ? 2t (1) ? ( 2 ) ? 2 ? ? y ? sin 2? ?y ? t ? 2
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t ?1 ? x? ? ? t?2 (3) ? ? y ? 2t ? t?2 ?

2 ? x? ? ? 1? t2 (4) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

1 ? x ? 2(t ? ) ? ? t (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?

变式训练 1
1 ? ?x ? t ? 2、 (1)方程 ? t ? ?y ? 2

表示的曲线

A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分 2 (2)下列方程中,当方程 y ? x 表示同一曲线的点
1 ? xos2t ? ?x ? D、 ? 1 ? cos 2t ? ? y ? tan t 例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。 ? ?x ? 1 ? 2 t (1) ? (t 是参数) ? ?y ? 3 ? 4 t x ? 2c o ? s (2) ( ? 是参数) y?co2 s? t x? 1 ? 2t 2 (3) (t 是参数) 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2
?x ? t A、 ? 2 ?y ? t
2 ? ? x ? sin t B、 ? ? ? y ? sin t

?x ? 1 ? 1 C、 ? ?y ? t

? x ? 4 sin ? 变式训练 2。P 是双曲线 ? (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: ? y ? 3 tan? 求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。

例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点, 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 变式训练 3: 已知 P( x, y ) 为圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。

三、巩固与练习
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四、小

结:本节课学习了以下内容: 熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。 2.3.4.5

五、课后作业:见教材 53 页

六、课后反思:把参数方程化为普通方程是学生必须掌握的基本方法。从第一节课情况 来看,学生的观察能力还需提高。

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课题:参数方程的应用 教学目的: 知识目标:利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题 能力目标:选择适当的参数方程求最值。 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:选择适当的参数方程求最值。 教学难点:正确使用参数式来求解最值问题 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题, 从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问题。 二、讲解新课: 例 1.求椭圆的内接矩形面积的最大值

变式训练 1 x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P,使 a b OP⊥AP, (O 为原点) ,求离心率 e 的范围。

例 2.AB 为过椭圆

x2 y2 ? ? 1 中心的弦, F1 , F2 为焦点,求△ABF1 面积的最大值。 25 16

例 3.抛物线 y 2 ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求内 接三角形的周长。

例4 、过 P(0,1)到双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 最小距离

变式训练 2: 设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1 ,F2 为两个焦点, 证明 F1 P ? F2 P ? OP
2

例 5,在抛物线 y 2 ? 4ax (a ? 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求顶点 O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。 三、巩固与练习
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四、小

结:本节课学习了以下内容: 适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题 五、课后作业:见练习卷 六、课后反思:参数的引入学生好理解,也能领会参数方程的好处。但离开这个背景恐 怕会出现参数的盲目性或没有利用参数的意识。

课题:圆的渐开线与摆线 教学目的: 知识目标:了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 能力目标:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点: 教学难点: 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 启发引导 自学指导 发现教学法 偿试指导法 启发、诱 导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 复习: (1) (2) (3) 2 引课: 问题:观察下列两组集合,说出集合 A 与集合 B 的关系(共性) (1) (2) (3) 二、讲解新课: 1、以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的参 ? x ? r (cos? ? ? sin ? ) 数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? r (sin ? ? ? cos? ) 2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为 x 轴,定点 M 滚动时落在直线上的一 个位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为 r,可得摆线的参数方程为。 ? x ? r (? ? sin ? ) ( ? 为参数) ? ? y ? r (1 ? cos? ) 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程

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? x ? cos? ? ? sin ? , ? 时,求圆渐开线 ? 2 ? y ? sin ? ? ? cos? 并求出 A、B 间的距离。

变式训练 1

当? ?

?

上对应点 A、B 坐标

变式训练 2

? ? ? x ? 2 (cos t ? t sin t ) 求圆的渐开线 ? 上当 t ? 对应的点的直角坐标。 4 ? ? y ? 2 (sin t ? t cost )

例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程

变式训练 3
? x ? t ? sin t 求摆线 ? ? y ? 1 ? cost

0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标

例 3、设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动点为 M 它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相应曲线,求 此曲线上纵坐标 y 的最大值,说明该曲线的对称轴。
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三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1. 2. 3. 五、课后作业:见教材 P.57/16

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