kl800.com省心范文网

2011届高考数学第一轮复习精练测试题3


3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

高三数学一轮复习精练: 高三数学一轮复习精练:函数
一、选择题(60 分,每小题 5 分)
x ) 1.若函数 y = f ( x) 是函数 y = a(a > 0,且a ≠ 1 的反函数,且 f (2) = 1 ,则 f ( x) =

A. log 2 x

1 x B. 2

log 1 x
C.
2

D.2

x?2

2.函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( D ) (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x ) = f ( x + 2) 3.对于正实数 α ,记 有 (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x + 3) 是奇函数



?x , x ∈ R 且 x2 > x1 , 为满足下述条件的函数 f ( x ) 构成的集合: 1 2
)

?α ( x2 ? x1 ) < f ( x2 ) ? f ( x1 ) < α ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是 (
f ( x) ∈ M α 1


A.若

g ( x) ∈ M α 2

,则

f ( x) ? g ( x) ∈ M α 1?α 2

f ( x) ∈ M α1 f ( x) ∈ M α 1 g ( x) ∈ M α 2 g ( x) ≠ 0 ,则 g ( x) α2 B.若 , ,且
C.若 D.若

f ( x) ∈ M α 1 f ( x) ∈ M α 1

, ,

g ( x) ∈ M α 2 g ( x) ∈ M α 2

,则 ,且

f ( x) + g ( x) ∈ M α 1+α 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

α1 > α 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ∈ M α 1?α 2

4.为了得到函数

y = lg

x+3 10 的图像, 只需把函数 y = lg x 的图像上所有的点





A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0

,则 f(2009)的值为

( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 6.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为 确的是

v甲和v乙

(如图 2 所示).那么对于图中给定的

t0和t1

,下列判断中一定正

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

A. 在 1 时刻,甲车在乙车前面 B.

t

t1

时刻后,甲车在乙车后面

C. 在 D.

t0

时刻,两车的位置相同

t0

时刻后,乙车在甲车前面 变, 其在 x

速度大小不 7.如图所示, 一质点 P ( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V = V (t ) 的图象大致为
y

P ( x, y )

O

Q( x, 0)

x

V (t )

V (t )

V (t )

V (t )

O O
A
8.设函数 f ( x ) =

t

O

t O

t

t
B
C D

ax 2 + bx + c (a < 0) 的定义域为 D ,若所有点 ( s, f (t ))( s, t ∈ D ) 构成一
B. ?4 C. ?8

个正方形区域,则 a 的值为 A. ?2 D.不能确定 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? x 2 ? 4 x + 6, x ≥ 0 f ( x) = ? ? x + 6, x < 0 9.设函数 则不等式 f ( x ) > f (1) 的解集是( )
A

(?3,1) ∪ (3,+∞)

B ( ?3,1) ∪ ( 2,+∞) D (?∞,?3) ∪ (1,3)

C (?1,1) ∪ (3,+∞)

10.设球的半径为时间 t 的函数 速度与球半径 A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C

R (t )

。 若球的体积以均匀速度 c 增长, 则球的表面积的增长 B. 成正比,比例系数为 2C D. 成反比,比例系数为 2C

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

11.已知函数 f (x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

xf ( x + 1) = (1 + x) f ( x) ,则

5 f( ) 2 的值是 5 D. 2

A. 0

1 B. 2

C. 1

12.如图 1, 当参数 图 [ B] A C 像 分 别

λ = λ2 时,连续函数
对 应 曲 线

y=

x ( x ≥ 0) 1+ λ x 的

C1



C2

,



0 < λ1 < λ

B D

0 < λ < λ1

λ1 < λ2 < 0

λ2 < λ1 < 0

二、填空题(20 分,每小题 5 分)

13.若

f ( x) =

1 +a 2 ?1 是奇函数,则 a =
x



?3x , x ≤ 1, f ( x) = ? ? ? x, x > 1, 若 f ( x) = 2 ,则 x = 14.已知函数
x

. .

15.若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ≠ 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 16. 记

f ( x) = log 3 ( x + 1) 的 反 函 数 为 y = f ?1 ( x) , 则 方 程 f ?1 ( x) = 8 的 解

. 三、解答题(共 70 分,共 6 小题) 17.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 y = g (x) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行,且 y = g (x) 在 x =-1 处取得最

x=

小值 m-1(m ≠ 0 ).设函数

f ( x) =

g ( x) x

(1)若曲线 y = f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k ( k ∈ R ) 如何取值时,函数 y = f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

18. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) = 2 x 2 + ( x ? a) | x ? a | .

f (0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值; h(x) = f (x), x ∈(a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 的解

(3)设函数 集.

19.(本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃

圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为 城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和 城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离 的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比 例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

20.(本小题满分 10 分)

1 2 已知函数 f(x)= 2 x -ax+(a-1) ln x , a > 1 。
(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > ?1 x1 ? x2 a < 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ∈ (0, +∞) ,x 1 ≠ x 2 ,有 (2)证明:若 。

21.(本小题满分 12 分)

已知函数

f ( x) = ln(ax + 1) +

1? x ,x≥0 1+ x ,其中 a > 0

( Ι ) 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( ΙΙ ) 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x + 2bx + cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y = 5 x ? 10 。
3 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式;

1 g ( x) = f ( x) + mx 3 ,若 g ( x ) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 (II)设函数 g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.

23.(本小题满分 12 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 (2 +

x ) x 万元。 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素,

记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

一、选择题(60 分,每小题 5 分) 1.答案:A
x f ( x) = log a x ) 【 解 析 】 函 数 y = a(a > 0,且a ≠ 1 的 反 函 数 是 , 又 f (2) = 1 , 即

log a 2 = 1

,

所以, a = 2 ,故 2.答案:D

f ( x) = log 2 x

,选 A.

解: ∵ f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,∴ f ( ? x + 1) = ? f ( x + 1), f ( ? x ? 1) = ? f ( x ? 1) ,

∴ 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) ,及点 (?1, 0) 对称,函数 f ( x) 是周期 T = 2[1 ? (?1)] = 4 的周期
函数.∴ f ( ? x ? 1 + 4) = ? f ( x ? 1 + 4) , f ( ? x + 3) = ? f ( x + 3) ,即 f ( x + 3) 是奇函数。故 选D 3.答案:C

【解析】对于

?α ( x2 ? x1 ) < f ( x2 ) ? f ( x1 ) < α ( x2 ? x1 )

?α <
,即有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) <α x2 ? x1 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) =k f ( x) ∈ M α 1 g ( x) ∈ M α 2 x2 ? x1 令 , 有 ?α < k < α , 不 妨 设 , ,即有
?α1 < k f < α1 , ?α 2 < k g < α 2 f ( x) + g ( x) ∈ M α 1+α 2
. , 因 此 有

?α1 ? α 2 < k f + k g < α1 + α 2

, 因 此 有

4.答案:C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A. B.

y = lg ( x + 3) + 1 = lg10 ( x + 3)




y = lg ( x ? 3) + 1 = lg10 ( x ? 3)
y = lg ( x + 3) ? 1 = lg x+3 10 ,

C.

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

D.

y = lg ( x ? 3) ? 1 = lg

x?3 10 .

故应选 C. 5.答案:C. 【解析】:由已知得

f (?1) = log 2 2 = 1 f (0) = 0 f (1) = f (0) ? f (?1) = ?1 , , ,

f (2) = f (1) ? f (0) = ?1 , f (3) = f (2) ? f (1) = ?1 ? (?1) = 0 , f (4) = f (3) ? f (2) = 0 ? (?1) = 1 , f (5) = f (4) ? f (3) = 1 , f (6) = f (5) ? f (4) = 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.答案:A 【解析】由图像可知,曲线

v甲



v乙

在 0~

t0

、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,则在

t0



t1

时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 7.答案:B 【解析】由图可知,当质点 P ( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先由 正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;质点 P ( x, y ) 在终点的速度是由大到小接近 0, 故 D 错误;质点 P ( x, y ) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数,因此 C 是 错误的,故选 B . 8.答案:B

b 2 ? 4ac 4ac ? b 2 = | x ? x2 |= f max ( x) a2 4a , | a |= 2 ? a , a = ?4 ,选 B 【解析】 1 ,
9.答案:A 【解析】由已知,函数先增后减再增 当 x ≥ 0 , f ( x ) ≥ 2 f (1) = 3 令 f ( x ) = 3, 解得 x = 1, x = 3 。 当 x < 0 , x + 6 = 3, x = ?3 故 f ( x ) > f (1) = 3 ,解得 ? 3 < x < 1或x > 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 10 答案:D

4 V (t ) = π R 3 (t ) ' 2 ' 3 ,则 c = V (t ) = 4π R (t ) R (t ) ,由此可得 【解析】由题意可知球的体积为
3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

c = 4π R(t ) 2 R(t ) R ' (t ) ,而球的表面积为 S (t ) = 4π R (t ) ,
所以

v表=S ' (t ) = 4π R 2 (t ) = 8π R(t ) R ' (t )



v表=8π R(t ) R ' (t )=2 × 4π R(t ) R ' (t )=
即 11.答案:A

2c 2c R ' (t )= ' R(t ) R (t ) R(t ) ,故选 D

【解析】若 x ≠0,则有

f ( x + 1) =

1+ x 1 f ( x) x=? x 2 ,则有: ,取

1 1 1 2 f (? 1 ) = ? f (? 1 ) = ? f ( 1 ) f ( ) = f (? + 1) = 1 2 2 2 2 2 ? 2 ( ∵ f (x ) 是 偶 函 数 , 则 1? 1 1 1 f (? ) = f ( ) f( )=0 2 2 )由此得 2
于 是 ,

5 3 f ( ) = f ( + 1) = 2 2
12.答案:B

1+

3 1 1+ 2 f ( 3 ) = 5 f ( 3 ) = 5 f ( 1 + 1) = 5 [ 2 ] f ( 1 ) = 5 f ( 1 ) = 0 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2

【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数,先由函数在 (0, +∞ ) 是连续的,可知参数

λ1 > 0, λ2 > 0 ,即排除 C,D 项,又取 x = 1 ,知对应函数值
由图可知

y1 =

1 1 , y2 = 1 + λ1 1 + λ2



y1 < y2 ,

所以

λ1 > λ2 ,即选 B 项。

二、填空题(20 分,每小题 5 分)

1 13.答案 2 f (? x) = 1 2x +a = + a, f (? x) = ? f ( x) 2? x ? 1 1 ? 2x

【解析】解法 1

?

2x 1 1 2x 1 + a = ?( x + a ) ? 2a = ? = 1故a = x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2 log 3 2

14.5 答案

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

.w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基 本运算的考查.

?x ≤ 1 ?x > 1 ? x = log 3 2 ? ? x 3 =2 ? x = 2 ? x = ?2 无解,故应填 log 3 2 . 由? ,?
15. 答案: a > 1
x 【解析】: 设函数 y = a ( a > 0, 且 a ≠ 1} 和函数 y = x + a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且
x x a ≠ 1)有两个零点, 就是函数 y = a ( a > 0, 且 a ≠ 1} 与函数 y = x + a 有两个交点,由图象

可知当 0 < a < 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a > 1 时,因为函数 y = a ( a > 1) 的图象
x

过点(0,1),而直线 y = x + a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数 a 的取值范围是 a > 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 16.答案 2 【解法 1】由 解得 x = 2

y = f ( x) = log 3 ( x + 1)

,得 x = 3

y ?1

?1 ,即 f ( x ) = 3 x ? 1 ,于是由 3 x ? 1 = 8 ,

x = f (8) = log 3 (8 + 1) = 2 【解法 2】因为 f ? 1( x ) = 8 ,所以
三、解答题(共 70 分,共 6 小题) 17.解:(1)设 又

g ( x ) = ax 2 + bx + c

,则

g ′ ( x ) = 2ax + b



g′ ( x)

的图像与直线 y = 2 x 平行

∴ 2a = 2

a =1



g ( x)

在 x = ?1 取极小值,

?

b = ?1 2




b=2

∴ g ( ?1) = a ? b + c = 1 ? 2 + c = m ? 1
f ( x) =
2

c = m;

g ( x) x
2 0

= x+

m +2 x ,
2 2 0



P ( xo , yo )
2

PQ = x + ( y0 ? 2 )


? m? m2 2 = x + ? x0 + ? = 2 x0 + 2 + 2 ≥ 2 2m 2 + 2 x0 ? x0 ?
m=± 2 2 ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴ 2 2m + 2 = 4
2

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

(2)由 得

y = f ( x ) ? kx = (1 ? k ) x +

m +2=0 x ,

(1 ? k ) x 2 + 2 x + m = 0
x=?

( *)
m m x=? 2 ,函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 2;
k > 1? 1 m,

(*) 有一解 当 k = 1 时,方程
当 k ≠ 1 时,方程

( *)

有二解

? ? = 4 ? 4m (1 ? k ) > 0
x= ?2 ± 4 ? 4m (1 ? k ) 2 (1 ? k )

,若 m > 0 ,
=

函数

y = f ( x ) ? kx

1 ± 1 ? m (1 ? k ) k ?1

有两个零点

;若 m < 0 ,

k < 1?

?2 ± 4 ? 4m (1 ? k ) 1 ± 1 ? m (1 ? k ) 1 x= = 2 (1 ? k ) k ?1 m ,函数 y = f ( x ) ? kx 有两个零点 ;

当 k ≠1 时,方程

( *)

有一解

? ? = 4 ? 4m (1 ? k ) = 0

,

k = 1?

1 m , 函数

y = f ( x ) ? kx

有一零点

x=

1 k ? 1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

18.解:本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活 运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分

?a < 0 ? a | a |≥ 1 ? ? 2 ? a ≤ ?1 f (0) ≥ 1 ,则 ?a ≥ 1 (1)若
f ( x) min
2 ? f (a ), a ≥ 0 ?2a , a ≥ 0 ? ? 2 =? a = ? 2a ,a < 0 ? f ( 3 ), a < 0 ? ? ? 3

(2)当 x ≥ a 时, f ( x) = 3 x ? 2ax + a ,
2 2

2 2 当 x ≤ a 时, f ( x) = x + 2ax ? a ,

f ( x) min

2 ? f (? a ), a ≥ 0 ??2a , a ≥ 0 ? =? =? 2 ?2a , a < 0 ? f (a ), a < 0 ?

f ( x) min
综上 (3)

??2a 2 , a ≥ 0 ? = ? 2a 2 ,a < 0 ? ? 3

x ∈ (a, +∞) 时,h( x) ≥ 1 得 3x 2 ? 2ax + a 2 ? 1 ≥ 0 ,? = 4a 2 ? 12(a 2 ? 1) = 12 ? 8a 2
6 6 或a ≥ 2 2 时, ? ≤ 0, x ∈ (a, +∞) ;



a≤?

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!



?

6 6 <a< 2 2 时,△>0,得: a∈(

? a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 ?( x ? )( x ? )≥0 ? 3 3 ?x > a ?

讨论得:当

2 6 , ) 2 2 时,解集为 (a, +∞) ;

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 a ∈ (? ,? ) ( a, ]∪[ , +∞) 2 2 时,解集为 3 3 当 ; a ∈ [? 2 2 a + 3 ? 2a 2 , ] [ , +∞) 2 2 时,解集为 3 .



19.解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC = 400 ? x ,
2 2

y=

4 k + (0 < x < 20) 2 x 400 ? x 2

其中当 x = 10 2 时,y=0.065,所以 k=9

C x A B

所以 y 表示成 x 的函数为

y=

4 9 + (0 < x < 20) 2 x 400 ? x 2

8 9 × ( ?2 x ) 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 4 9 y' = ? 3 ? = y= 2+ x (400 ? x 2 ) 2 x 3 (400 ? x 2 ) 2 , x 400 ? x 2 , (2)
4 2 2 2 令 y ' = 0 得 18 x = 8(400 ? x ) , 所 以 x = 160 , 即 x = 4 10 , 当 0 < x < 4 10 时 ,

18 x 4 < 8(400 ? x 2 ) 2 , 即 y ' < 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 < x < 20 时 , 18 x 4 > 8(400 ? x 2 )2 ,即 y ' > 0 所以函数为单调增函数.所以当 x = 4 10 时, 即当 C 点到城 y= 4 9 + (0 < x < 20) 2 x 400 ? x 2 有最小值.

A 的距离为 4 10 时, 函数 解法二: (1)同上.

2 2 (2)设 m = x , n = 400 ? x ,

则 m + n = 400 ,

y=

4 9 + m n ,所以

y=

4 9 4 9 m+n 1 4 n 9m 1 1 + =( + ) = [13 + ( + )] ≥ (13 + 12) = m n m n 400 400 m n 400 16 当 且 仅 当

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

4n 9m ? n = 240 ? = m n 即 ?m = 160 时取”=”.

下面证明函数

y=

4 9 + m 400 ? m 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
y1 ? y2 = 4 9 4 9 + ?( + ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

设 0<m1<m2<160,则

=(

4 4 9 9 4(m2 ? m1 ) 9(m1 ? m2 ) ? )+( ? )= + m1 m2 400 ? m1 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? ] = (m2 ? m1 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) , (400 ? m1 )(400 ? m2 )
>4×240×240

= (m2 ? m1 )[

因为 0<m1<m2<160,所以 4

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 >0 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) , 9 m1m2<9×160×160 所以 (m2 ? m1 )
所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 >0 y= + y > y2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m 400 ? m 在 即 1 函数

(0,160)上为减函数.

同 理 , 函 数

y=

4 9 + m 400 ? m 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则

y1 ? y2 =

4 9 4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 + ?( + ) = (m2 ? m1 ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) (400 ? m1 )(400 ? m2 )
<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160

因为 1600<m1<m2<400,所以 4

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 <0 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 所以 , (m2 ? m1 )
所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 <0 y= + y1 < y2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m 400 ? m 在 即 函数

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x = 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 小.
3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

上存在一点, x = 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最 当

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 20.解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) 。

a ? 1 x 2 ? ax + a ? 1 ( x ? 1)( x + 1 ? a ) f ( x) = x ? a + = = x x x 2分
'

(i)若 a ? 1 = 1 即 a = 2 ,则

( x ? 1) 2 f ( x) = x
'

故 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 单调增加。
' (ii)若 a ? 1 < 1 ,而 a > 1 ,故 1 < a < 2 ,则当 x ∈ ( a ? 1,1) 时, f ( x ) < 0 ; ' 当 x ∈ (0, a ? 1) 及 x ∈ (1, +∞) 时, f ( x ) > 0

故 f ( x ) 在 ( a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, +∞) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 > 1 ,即 a > 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少, (0,1), ( a ? 1, +∞) 单调增 在 加. (II)考虑函数 g ( x ) = f ( x ) + x

=

1 2 x ? ax + (a ? 1) ln x + x 2

g ′( x) = x ? (a ? 1) +


a ?1 a ?1 ≥ 2 xg ? (a ? 1) = 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

x > x2 > 0 ′ 由 于 1<a<5, 故 g ( x ) > 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 1 时有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > ?1 g ( x1 ) ? g ( x2 ) > 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) + x1 ? x2 > 0 0 < x1 < x2 x1 ? x2 ,即 ,故 ,当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) = > ?1 x1 ? x2 x2 ? x1 时,有 ·········12 分

f '( x) =
21.解(Ⅰ)

a 2 ax 2 + a ? 2 ? = , ax + 1 (1 + x)2 (ax + 1)(1 + x) 2

2 ∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) = 0, 即a i1 + a ? 2 = 0, 解得 a = 1.

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

f '( x) =
(Ⅱ) ∵ x ≥ 0, a > 0,

ax 2 + a ? 2 , (ax + 1)(1 + x)2
∴ ax + 1 > 0.

①当 a ≥ 2 时,在区间 (0, +∞)上,f '( x) > 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, +∞ ). ②当 0 < a < 2 时,

f '( x) > 0解得x >


2?a 2?a ,由f '( x) < 0解得x < , a a
2-a 2-a , ∞). ), 单调增区间为( + a a

f ( x)的单调减区间为(0,


(Ⅲ)当 a ≥ 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) = 1;

当 0 < a < 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x ) 在

x=

2?a 2?a f( ) < f (0) = 1, a 处取得最小值 a

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, +∞). 22.解:(I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) = 0 ,即 4b + c + 3 = 0 ……①
2 ′ ′ 又 f ( x) = 3 x + 4bx + c ,由已知 f (2) = 12 + 8b + c = 5 得 8b + c + 7 = 0 ……②

联立①②,解得 b = ?1, c = 1 .
3 2 所以函数的解析式为 f ( x) = x ? 2 x + x ? 2

…………………………………4 分

1 g ( x) = x 3 ? 2 x 2 + x ? 2 + mx 3 (II)因为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 g ′( x) = 3 x 2 ? 4 x + 1 + m = 0 3 令 1 3x 2 ? 4 x + 1 + m = 0 3 当函数有极值时,则 ? ≥ 0 ,方程 有实数解,
由 ? = 4(1 ? m) ≥ 0 ,得 m ≤ 1 .

′ ①当 m = 1 时, g ( x ) = 0 有实数

x=

2 2 x= 3 ,在 3 左右两侧均有 g ′( x) > 0 ,故函数 g ( x) 无

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

极值

g′ ②当 m < 1 时, ( x ) = 0 有两个实数根
情况如下表:

1 1 x1 = (2 ? 1 ? m ), x2 = (2 + 1 ? m ), g ′( x), g ( x) 3 3

x
g ′( x) g ( x)

(?∞, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 + ∞)
+ ↗

所以在 m ∈ ( ?∞,1) 时,函数 g ( x) 有极值;

1 1 x = (2 ? 1 ? m ) x = (2 + 1 ? m ) 3 3 当 时, g ( x) 有极大值;当 时, g ( x) 有极小值;
…………………………………12 分

23.解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩,

(n + 1) x = m,即n=

m ?1 x

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256(
所以

m m -1)+ (2 + x ) x x x

=

256 x + m x + 2m ? 256. x
f '( x) = ? 256m x
2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,
3

3 1 3 m + mx 2 = 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

2 令 f '( x ) = 0 ,得 x = 512 ,所以 x =64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当 0< x <64 时 f '( x ) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 < x < 640 时, f '( x ) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数,

所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。

n=

m 640 ?1 = ? 1 = 9. x 64

3eud 教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


赞助商链接

2011届高考数学第一轮复习讲义检测试题3

2011届高考数学第一轮复习讲义检测试题3_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。...∴≤sin? ?θ+3?≤1,∴ 2≤f′(1)≤2. 2 答案 D 二、填空题(每小...

2011届高考数学第一轮复习测试题3

2011届高考数学第一轮复习测试题3 届高考数学第一轮复习测试题届高考数学第一轮复习测试题隐藏>> 北京高考门户网站 www.beijinggaokao.com 电话:010-62754468 2011...

2011届高三高考【数学】一轮复习精选精练:2010年新课标...

2011届高三高考【数学】一轮复习精选精练:2010年新课标省市高三数学模拟题分类(8...(cos 3 x ? sin 3 x) 的图像适当迹换就可以得 2 第 1 页共 10 页 ...

2011届高考数学第一轮复习精练检测试题7 立体几何

2011届高考数学第一轮复习精练检测试题7 立体几何 一轮复习一轮复习隐藏>> 3e...高三数学一轮复习精练: 高三数学一轮复习精练:立体几何一、选择题 1.在三棱柱...

2011届高考数学第一轮基础复习训练题3

2011届高考数学第一轮基础复习训练题3_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。备考 2011 高考数学基础知识训练(5) 班级___ 姓名___ 学号___ 得分___ 一、填...

2011届高考数学第一轮复习专题训练3

2011届高考数学第一轮复习专题训练3 2011届高考数学第一轮复习专题训练2011届高考数学第一轮复习专题训练隐藏>> 3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源...

2011届高考数学第一轮复习测试题8

北京高考门户网站 www.beijinggaokao.com 电话:010-62754468 2011 届高三数学一轮复习测试题 (导数及其应用) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分...

2011届高考数学第一轮复习精练检测试题5 函数

2011届高考数学第一轮复习精练检测试题5 函数 一轮复习一轮复习隐藏>> 3eud ...(1) 的解集是( ) A (3,1) ∪ (3,+∞) B ( 3,1) ∪ ( 2,+∞...

2011届高三数学一轮复习精练:圆锥曲线

2011届高三数学一轮复习精练:圆锥曲线_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮...到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 二、填空题 B.3 C....

2011届高考数学第一轮复习综合测试题5

2011届高考数学第一轮复习综合测试题5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。很好...1.己知全集 U = {1,2,3,4,5} , A = {1,2,3} , B = {3,4}...