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高三数学一轮(北师大版)专题4 高考中的立体几何问题


专题四 高考中的立体几何问题 1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥ AB. (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. [解析] (1)∵PA⊥底面 ABCD,CE?平面 ABCD ∴CE⊥PA, 又∵AB⊥AD,CE∥AB.∴CE⊥AD. 又∵PA∩AD=A,∴CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,DE=CD· cos45° =1,CE=CD· sin45° =1. 又∵AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形. 1 ∴S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△CDE=AB· AE+ CE· DE 2 1 5 =1×2+ ×1×1= . 2 2 又 PA⊥底面 ABCD,PA=1 1 1 5 5 所以 V 四棱锥 p-ABCD= S 四边形 ABCD×PA= × ×1= . 3 3 2 6 2.(2015· 潍坊模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. [证明] EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连结 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中 点,所以 BF⊥AD. (1)在△PAD 中,因为 E、F 分别为 AP、AD 的中点,所以 因为平面 PAD⊥平面 ABCD, BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 3. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD、PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. [解析] (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD.所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF, 又因为 CD⊥BE,BE∩EF=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 4.如图,在几何体 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=PA=2. (1)当 AD=2 时,求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)若 PC 与 AD 所成的角为 45° ,求几何求 P-ABCD 的体积. [解析] (1)证明:当 AD=2 时,四边形 ABCD

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