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高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:2.3等比数列 第4课时


2.3 等比数列 第 4 课时

一、选择题 1.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a+b +c 的值为( ) 1 1 2 2 1 a b c A.1 C.3 [答案] A 1 5 3 [解析] 由题意知 a= ,b= ,c= ,故 a+b+c=1. 2 16 16 2.若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,但也是等比数列 D.既不是等差数列,又不是等比数列 [答案] B [解析] Sn=n2,Sn-1=(n-1)2(n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1(n≥2), 又 a1=S1=1 满足上式,∴an=2n-1(n∈N*) ∴an+1-an=2(常数) ∴{an}是等差数列,但不是等比数列,故应选 B. 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.6 C.8 [答案] A [解析] 设等差数列的公差为 d,由由 a4+a6=-6 得 2a5=-6, ∴a5=-3.又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2, n?n-1? ∴Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6 时 Sn 取最小值,故选 A. 2 B.7 D.9 ) ) B.2 D.4

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=( A.7 C.15 [答案] C [解析] 设等比数列的公比为 q,则由 4a1,2a2,a3 成等差数列,得 4a2=4a1+a3, ∴4a1q=4a1+a1q2,又∵a1=1, ∴q2-4q+4=0,q=2. a1?1-q4? ∴S4= =15. 1-q 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 C.49 [答案] C [解析] ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14, 7?a1+a7? ∴S7= =49. 2 B.35 D.63 ) B.8 D.16

)

6.在数列{an}中,a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3,a4,a5 的倒数成等差数列,则 a1,a3,a5( ) B.成等比数列 D.不确定

A.成等差数列 C.倒数成等差数列 [答案] B [解析] 由题意,得 2a2=a1+a3, a2 a4, 3=a2· 2 1 1 = + . a4 a3 a5 a1+a3 2a2 3 ∴a2= ,代入①得,a4= 2 a1+a3

① ② ③

a1+a3 1 1 a1 1 1 1 ③代入②得, 2 = + ,∴ 2+ = + , a3 a3 a5 a3 a3 a3 a5 ∴a2 3=a1a5. 二、填空题 7.(2014· 天津理,11)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成 等比数列,则 a1 的值为________. 1 [答案] - 2 [解析] 本题考查等差数列等比数列综合应用,由条件:

S1=a1, S2=a1+a2=a1+a1+d=2a1-1, S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=4a1-6, ∴(2a1-1)2=a1· (4a1-6),
2 即 4a2 1+1-4a1=4a1-6a1,

1 ∴a1=- . 2 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=72,则 a2+a4+a9=________. [答案] 24 [解析] 设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 则 a2+a4+a9=3a1+12d,又 S9=72, 1 ∴S9=9a1+ ×9×8×d=9a1+36d=72, 2 ∴a1+4d=8, ∴a2+a4+a9=3(a1+4d)=24. 三、解答题 9. (2013~2014 学年度贵州遵义四中高二期中测试)已知等差数列{an}的公差不为 0, a1=25, 且 a1, a11, a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+a10+…+a3n-2. [解析] (1)设公差为 d,由题意,得 a2 a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d), 11=a1· 又 a1=25,解得 d=-2 或 d=0(舍去). ∴an=a1+(n-1)d=25+(-2)×(n-1)=27-2n. (2)由(1)知 a3n-2=31-6n, ∴数列 a1,a4,a7,a10,…,是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2 =

n?25+31-6n?
2

=-3n +28n.

2

一、选择题 1.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 Sn = n · (21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( 90 A.5 月、6 月 B.6 月、7 月 )

C.7 月、8 月 [答案] C

D.8 月、9 月

n-1 n [解析] 设第 n 个月份的需求量超过 1.5 万件.则 Sn-Sn-1= (21n-n2-5)- [21(n-1)-(n-1)2 90 90 -5]>1.5, 化简整理,得 n2-15n+54<0,即 6<n<9.∴应选 C. 2.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5· a2n-5=22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+… +log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n2 [答案] C [解析] 由已知,得 an=2n,log2a2n-1=2n-1, ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2. 3.等比数列{an}共有 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an+1 等于( 6 A. 5 C.20 [答案] B [解析] 由题意知:S 奇=a1· a3· …· a2n+1=100, S 偶=a2· a4· …· a2n=120, ∴ S奇 a3· a5· …· a2n+1 = · a =a1· qn=an+1, S偶 a2· a4· …· a2n 1 5 B. 6 D.110 ) ) B.(n+1)2 D.(n-1)2

100 5 ∴an+1= = . 120 6 4.已知数列{an}的首项 a1=2,且 an=4an-1+1(n≥2),则 a4 为( A.148 C.150 [答案] B [解析] ∵a1=2,an=4an-1+1(n≥2),∴a2=4a1+1=4×2+1=9,a3=4a2+1=4×9+1=37,a4=4a3 +1=4×37+1=149. 二、填空题 a c 5.已知 a,b,c 成等比数列,a,x,b 成等差数列,b,y,c 也成等差数列,则 + 的值__________. x y [答案] 2 [解析] b2=ac,2x=a+b,2y=b+c, B.149 D.151 )

a c 2a 2c ∴ + = + x y a+b b+c = 2ab+4b2+2bc 2b?a+2b+c? = =2. ?a+b??b+c? b?a+2b+c?

6.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 7 5 6 8 9 …… 按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________. n2-n+6 [答案] 2 n2-n [解析] 前 n-1 行共有正整数 1+2+…+(n-1)个,即 个,因此第 n 行从左向右的第 3 个数是全 2 n2-n n2-n+6 体正整数中第 +3 个,即为 . 2 2 三、解答题 7.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)设公比为 q(q>0), ∵a1=2,a3=a2+4, ∴a1q2-a1q-4=0, 即 q2-q-2=0,解得 q=2, ∴an=2n. (2)由已知得 bn=2n-1, ∴an+bn=2n+(2n-1), ∴Sn=(2+22+23+…+2n)+(1+3+5+…+2n-1) = 2?1-2n? [1+?2n-1?]n + 2 1-2


10

=2n 1-2+n2. 8.(2013~2014 学年度安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1.证明:数列{bn}是等差数列. 2 (2)求数列{an}的前 n 项和. [解析] (1)∵an+1=2an+2n,



an+1 an = +1,即 bn+1=bn+1, 2n 2n-1

∴bn+1-bn=1. 故数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)由(1)知 bn=n,∴an=n· 2n 1.


Sn=1×20+2×21+3×22+…+n· 2 n 1,


2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)· 2n 1+n· 2n,


两式相减得-Sn=1+21+22+…+2n 1-n· 2n




1-2n -n· 2n 1-2

=2n-1-n· 2n, ∴Sn=(n-1)2n+1. 2 2an 9.已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n=1,2,…. 3 an+1
?1 ? (1)证明:数列?a -1?是等比数列; ?
n

?

?n? (2)求数列?a ?的前 n 项和 Sn. ? n?

[解析] (1)∵an+1= ∴ ∴ 1

2an , an+1

an+1 1 1 1 = = + ·, 2 2 an an+1 2an 1 1 1 -1?, -1= ? 2?an ? an+1

2 1 1 又 a1= ,∴ -1= , 3 a1 2
?1 ? 1 1 ∴数列?a -1?是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 ? n ?

1 1 1 1 (2)由(1)知 -1= · n-1= n, an 22 2 1 1 n n 即 = n+1,∴ = n+n. an 2 an 2 1 2 3 n 设 Tn= + 2+ 3+…+ n, 2 2 2 2 n-1 1 1 2 n 则 Tn= 2+ 3+…+ n + n+1, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得 Tn= + 2+…+ n- n+1 2 2 2 2 2 ① ②

1 1? 1- n? 2? 2 ? n 1 n = - n+1=1- n- n+1, 1 2 2 2 1- 2 n?n+1? 1 n ∴Tn=2- n-1- n.又 1+2+3+…+n= . 2 2 2
?n? ∴数列?a ?的前 n 项和 ? n?

2+n n?n+1? n2+n+4 n+2 Sn=2- n + = - n . 2 2 2 2


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