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数学《3.3.3函数的最大小值与导数》学案(第3课时) 新人教版选修1-1


§3.3.3 函数的最大小值与导数(第 3 课时)
[自学目标]: 1.理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 所 有 点( 包 括 端 点 a, b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; 2.掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤. [重点]: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法 [难点]: 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系 [教材助读]: 一般地,在闭区间 ?a, b ? 上函数 y ? f ( x) 的图像是 y ? f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值. 个区间上 最小值. 如函数 f ( x) ? . ,在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与 ,那么函数

(1)如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 y ? f ( x) 在这 (2)给定函数的区间必须是

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x
,即函数图像 。

(3)在闭区间上的每一点必须

( 4 ) 函 数 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 连 续 , 是 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 有 最 大 值 与 最 小 值 的 条件. [预习自测] 1. 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2. 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.求 f ? x ? ?

)

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值与最小值 3

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与老师和同学探 究解决。

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[合作探究 展示点评] 探究一:最值的概念(最大值与最小值) 观察下面函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y ? f ( x) 有极大值和极小值? (2) 函数 y ? f ( x) 在 ? a , b ? 上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?

探究二:利用导数求函数的最值 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6 在区间 ?1, 5? 内的最大值和最小值
2

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[当堂检测] 1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能

2.函数 y= A.0

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为 4 3 2
B.-2 C.-1 D.

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3.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无盖小 盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少?

[拓展提升] 3 2 1.函数 y=2x -3x -12x+5 在[0,3]上的最小值是___________. 2.函数 f(x)=sinx-x 在[-

? ? , ]上的最大值为_____;最小值为_______. 2 2

3.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成______和___. 4.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大

5.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

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6.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数关系式 为 p ? 25 ?

1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

★7.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为 定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高 h 和下底边 长 b.

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