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3.1.1.两角和与差的余弦公式(1课时)(公开课)


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安徽省阜南一中陈 辉

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第三章 三角恒等变换 3.1.1.两角和与差的余弦公式

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?
? ? ? ?

【学习目标】
(1)了解两角和的余弦公式的推导过程; (2)能从两角和的余弦公式推导出两角和与差的 正弦、余弦公式。 (3)能熟练的运用公式解决问题

? ?

【学习重点】
掌握两角和与差的余弦、正弦公式.

?
?

【学习难点】
两角和与差的正、余弦公式的运用.

(一)导入:我们在初中时就知道 2 , ? cos 30? ? cos 45 ?
2

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3 2

由此我们能否得到 ? ? ? cos15 ? cos 45 ? 30 ? ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45 ? cos30 呢?
? ?

?

?

根据我们在第一章所学的知识可知 我们的猜想是错误的! 下面我们就一起探讨两角差的余弦公式

cos ?? ? ? ? ? ?

(二)探讨过程:

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在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设 cos? 等于 角 ? 的终边与单位圆的交点为P 1 , 角? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角? 的 余弦线来表示,大家思考:怎样构造角 ? 和

? ? ? 角?
(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.)

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
证明:如图所示
在平面直角坐标系xOy内,作单位圆,并作 α 、 β 和–β角,使α角的始边为Ox,交圆O于P1, 终边交圆O于P2;β角的始边为OP2,终边交圆O于 P3; – β角的始边为OP1,终边交圆O于P4;
y

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P

3

P

2

此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为P1(1,0) , P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β) ), P4(cos(–β), sin(–β)).

O

P1
X

P 4
由︱P1P3 ︱= ︱P2P4︱及两点间距离公式, 得: [cos(α+β)–1]? +sin? (α+β)=[cos(–β)–cosα]? +[sin(–β)–sinα] ?. 整理得: cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.

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cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
C(? ? ? ) 简记:
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β 的余弦积与正弦积的差. 将 ? 替换为 ? ?

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos( ? ? ? ) ? cos(? ? (? ? )) ? cos? cos(?? ) ? sin ? sin(?? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

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cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
简记:C(? ? ? )
公式的结构特征: 左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β 的余弦积 与正弦积的和.

两角和与差的余弦公式:

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

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思考:我们在第二章学习用向量的知识解 决相关的几何问题,两角差余弦公式我们 能否用向量的知识来证明? 提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个 向量,它们是怎样表示的? 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公 式得到探索结果? 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不 同之处,体会向量方法的作用与便利之处.

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应用举例
例1.不查表,求cos(–435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ?cos30 ° –sin45 ° ?sin30 °

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2
? 6? 2 4

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练习
不查表,求cos105 °和cos15 °的值.
2? 6 答案:cos105°= 4 2? 6 cos15 °= 4

2 ? 3 例2、已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , 3 2 4 3? ? ? (? , ), 求 cos(? ? ? ), cos(? ? ? ) 22 ? 解: ? sin ? ? , ? ? ( , ? ) 3 2

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? cos ? ? ? , ? ? (? , ) 4 2 7 2 ? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 4 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 3 5 ? 2 7 12 3 5 ?2 7 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 12

5 ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 3 3 3?
2

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例3.已知cos(α–30 °)=
锐角,求cos α的值.

15 17

, α为大于30 °的

分析: α=(α– 30 °)+ 30 °

解:∵ 30 °< α <90 ° , ∴ 0 ° < α – 30 ° <60 °, 8 15 由cos(α – 30 ° )= ,得sin (α – 30 ° 17 )= 17 ∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °] = cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 15 3 8 1 15 3 - 8 ° 17 2 17 2 34 = × – × =

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例4.在△ABC中,cosA=3/5,cosB=5/13,
则cosC的值为(
33/65 ).

分析: ∵C=180 °–(A+B) ∴cosC=–cos(A+B)= – cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=3/5 ,cosB=5/13,尚需求 sinA,sinB的值. ∵sinA= 4/5 , sinB=12/13, ∴cosC=–3/5 × 5/13 + 4/5 × 12/ 13=33/65.

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例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 °
的值等于(
(A) 0 (B) 1/2

).
(D)–1/2

(C) √3/2

解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 ° =cos(25 ° +35 °) =cos60 ° =1/2. 故选: ( B )

练习
3 1、已知sin ? ? ? , ?是第四象限角 ,求 5 sin(

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?

? ? ), cos( ? ? )的值. 4 4

?

2、求 cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? 的 值.
25 11 11 5 3、求 cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin 12 6 12 6 ?的值.

1.已知cosθ=–5/13, θ∈(π,3π/2)求 cos(θ+π/6)的值.

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课 堂 练 习
答案:

2.cos ? 15 °–sin? 15 °= ----------。 3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则 △ABC是 ( ).

(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.

1.( (12–5√3) /26 ) ; 2. ( √3 /2 ) ; 3. ( A ).

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(四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式, ? ? 首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过 程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过 程中注意角 、 的象限,也就是符号问题,学 会灵活运用.

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小结
? 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin

β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β ? 2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值, 化简三角函数式和证明三角恒等式。使用 公式时要灵活使用,并要注意公式的逆向 使用.

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作 业
P140 1, 3.


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