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选修2-2 2.3《数学归纳法(一)》教学设计


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》教学设计 选修 2-2 2.3《数学归纳法(一) 教学设计 《数学归纳法( 》
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作者: 徐敏蓉 (无锡市市北高级中学) 来源: 时间:2009-9-4 16:18:50 阅读 465 次 【大 中 小】

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一、教材分析 数学归纳法是一种重要的数学证明方法,在高中数学内容中占有重要的地位,其中体现的 数学思想方法对学生进一步学习数学、 领悟数学思想至关重要。 数学归纳法的证明过程中展 现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范。 学习数学归纳法后学生对等差等比数 列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法。首先,我们需要初步掌 握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法,这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段。但是,由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确,这种 推理方法不能作为一种论证方法。因此,在不完全归纳法的基础上,必须进一步学习严谨的 科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌 握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、 训练抽象思维能力、 体验数学内在美的好 素材。 二、教学目标 1. 知识目标 (1) 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确,初步理解数学归纳法 原理。 (2) (3) 2. 能力目标 (1) 通过对数学归纳法的学习,使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和 严密的逻辑推理能力。 (2) 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体 会类比的数学思想. 能以递推思想为指导,理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。 初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。

(3)

在学习中培养学生大胆猜想,小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出 问题的意识和数学交流的能力。

3. 情感目标 (1) 通过对数学归纳法原理的探究,亲历知识的构建过程,领悟其中所蕴含的数 学思想和辨正唯物主义观点。 (2) 体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐,感悟数学的内在美,激发学生学习热 情,使学生喜欢数学。 (3) 学生通过置疑与探究,初步形成正确的数学观,创新意识和严谨的科学精神。

三、教学重点与难点 1.教学重点 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整 数有关的简单恒等式,特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用。 2.教学难点 (1) 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。

(2) 递推步骤中如何利用归纳假设,即如何利用假设证明当

时结论正确。

四、教学方法 本节课采用类比启发探究式教学方法,以学生及其发展为本,一切从学生出发。在教师 组织启发下,通过创设问题情境,激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌 倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、 步骤; 培养学生归纳、 类比推理的能力,进而应用数学归纳法,证明一些与正整数 有关的简单数学命题;提高学 生的应用能力,分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考,又提倡团结合作;既重视教 师的组织引导,又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。 五、教学过程 (一)创设情境,提出问题

情境一:根据观察某学校第一个到校的是女同学,第二个到校的也是女同学,第三个到 校的还是女同学,于是得出:这所学校的学生全部是女同学。

情境二:平面内三角形内角和是

,四边形内角和是

,五边形内角和是 。

,于是得出:凸 边形内角和是

情境三: 数列

的通项公式为 ,于是猜想出数列

, 可以求得 的通项公式为 。







结论:运用有限多个特殊事例得出的一般性结论,即不完全归纳法不一定正确。因此它不 能作为一种论证的方法。 提出问题: 提出问题:如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢?我们本节课所要学习的数 学归纳法就是解决这一问题的方法之一。 (二)实验演示,探索解决问题的方法 1.几何画板演示动画多米诺骨牌游戏,师生共同探讨:要让这些骨牌全部倒下,必 须具备那些条件呢? ①第一块骨牌必须倒下。 ②两块连续的骨牌,当前一块倒下,后面一块必须倒下。

演示小结:当第 块倒下,则第

块必须倒下,数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样。

2. 数学归纳法公理:

(1)

(递推基础)当 取第一个值 递推基础)

(例如

等)结论正确;

(2)

(递推归纳)假设当 递推归纳)

时结论正确; 归纳假设) (归纳假设)

证明当

时结论也正确。 归纳证明) (归纳证明)

那么,命题对于从

开始的所有正整数 都成立。

步骤(1)是数学归纳法的基础,步骤(2)建立了递推过程,两者缺一不可,这就是数学归 纳法。 (三)迁移应用,理解升华

例 1:用数学归纳法证明:等差数列 . ①

中,

为首项,

为公差,则通项公式为

选题意图: 选题意图:让学生注意:①数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适用于与正整数有关 的问题; ②两个步骤,一个结论缺一不可,否则结论不成立; ③在证明递推步骤时,必须使用归纳假设,必须进行恒等变换。 此时学生心中已有一个初步的证明模式,教师应该规范板书,给学生提供一个示范。

证明:①当

时,左边

,右边

,等式①成立.

②假设当

时等式①成立,即有





时,有

.

所以当

时等式①也成立。

由 ①、②可知,对任何

,等式①都成立。

例 2:用数学归纳法证明:当

时,

.

选题意图: 选题意图: ①进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性, 从而从感性认识上升为理性 认识;

②掌握从 等。



时等式左边的变化情况,合理的进行添项、拆项、合并项

证明:①

时:左边

,右边

,左边=右边,等式成立。

② 假设当

时有:





时:左边

右边

∴当

时等式也成立。

由 ①、②可知,对一切

,原等式均成立

(四)反馈练习,巩固提高

课堂练习: (1)用数学归纳法证明:当

时,

.

(2)设





,…

。用数学归纳法证明: 边 _____________________________________

。当

时,等式左

选题意图:让学生明确当

时等式左边比

时应增加哪些式子,如何通过恰当

的恒等变化去利用

时的归纳假设。

利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时,要注意以下三句话: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。 (五)反思总结 1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全 归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明; 2.数学归纳法作为一种证明方法,用于证明一些与正整数 有关数学命题,它的基本思想 是递推思想,它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;

3.递推归纳时从 明等式时第一步中 中证明



,必须用到归纳假设,并进行适当的恒等变换。注意证 时左右两边的形式,第二步中 时应增加的式子;第二步 时的形式 (这

命题成立是全局的主体, 主要注意两个“凑”: 一是“凑”

样才好利用归纳假设) ,二是“凑”目标式。


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