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2015-2016学年山东省烟台市开发区八年级上学期期中数学试卷.doc


2015-2016 学年山东省烟台市开发区八年级(上)期中数学 试卷(五四学制)
一、选择题(每题 3 分,共 36 分)

1. , , A.6



, B.5





, C .4

中,分式有(

) D.3

2.下列分解因式正确的是( A.2x2﹣xy﹣x=2x(x﹣y﹣1)

) B.﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y(xy﹣2x﹣3) D.x2﹣x﹣3=x(x﹣1)﹣3

C.x(x﹣y)﹣y(x﹣y)=(x﹣y)2

3.甲,乙,丙,丁四位同学本学期都参加了 5 次测试,每人的平均成绩都是 93 分,方差如 下表: 选手 方差 甲 1.6 乙 3.5 ) C.丙 D.丁 丙 2.3 丁 2.5

则这四人中成绩发挥最稳定的是( A.甲 B.乙

4.下列各式中,从左到右的变形正确的是(

)

A.

=

B.

=﹣

C.

=

D.

=

5.如果分式 A.0

的值为 0,那么 x 的值是( B.5

) C.﹣5 D.± 5

6.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( A.m2﹣m+ B.a2+b2

) D.﹣25+a2

C.a2﹣2ab﹣b2

7.某市举行中学生“好书伴我成长”演讲比赛,某同学将所有选手的得分情况进行统计,绘 成如图所示的成绩统计图. 思考下列四个结论:①比赛成绩的众数为 6 分;②成绩的极差是 5 分;③比赛成绩的中位数 是 7.5 分;④共有 25 名学生参加了比赛,其中正确的判断共有( )

A.1 个

B.2 个

C .3 个

D.4 个

8.随着生活水平的提高,小林家购置了私家车,这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学 所需的时间少用了 15 分钟,现已知小林家距学校 8 千米,乘私家车平均速度是乘公交车平 均速度的 2.5 倍,若设乘公交车平均每小时走 x 千米,根据题意可列方程为( A. B. C. D. )

9.关于 x 的分式方程 A.a>2

+

=1 的解为正数,则字母 a 的取值范围为( C.a>2 且 a≠3

)

B.a<2

D.a>3 且 a≠2

10.解关于 x 的分式方程 A.m=1

+1= B.m=﹣1

时会产生增根,则 m 的值( C.m=0

) D.m=± 1

11.丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格

平均数 8.5

中位数 8.3

众数 8.1

方差 0.15 )

如果去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是( A.平均数 B.众数 C.方差

D.中位数

12.在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时 v1 千米,下坡时的速度为每小时 v2 千 米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( )

A.

千米

B.

千米

C.

千米

D.无法确定

二、填空题(每题 3 分,共 24 分)

13.





的最简公分母为__________.

14.计算:﹣

× 19﹣

× 15=__________.

15.一组数据 2,1,6,﹣2,a 的极差是 10,则 a 的值是__________.

16.化简

=__________.

17.已知实数 a,b 满足 ab=3,a2b﹣ab2=6,则 a﹣b 的值是__________.

18. 某学校对学生的学业成绩采取综合评价, 制定标准如下: 作业占 10%, 单元测验占 20%, 期中考试占 30%,期末考试占 40%,上学期小明的各项成绩如下表所示,请你计算一下, 小明的平均成绩应是__________.

类别 成绩

作业 80

单元测验 75

期中考试 85

期末考试 90

19.一组数据 2,5,1,x,3 的平均数是 3,则这组数据的标准差是__________.

20. 对于两个不相等的实数 a, b, 我们规定符号 Max{a, b}表示 a, b 中的较大值, 如: Max{2,

4}=4,按照这个规定,方程 Max{x,﹣x}=

的解为__________.

三、解答题(共 7 道题,满分 60 分) 21.分解因式 (1) (x+2) (x+3)+ (2) (x2﹣1)2+6(1﹣x2)+9.

22.计算:

÷

+ .

23.解方程

(1)

=

﹣2

(2)



=0.

24.先化简: (1+

)÷

,再从绝对值不大于 2 的整数中选取一个作为 x 的值

代入化简后的代数式求值.

25.甲乙两支篮球队进行了 5 场比赛,比赛成绩绘制成了统计图(如图)

(1)分别计算甲乙两队 5 场比赛成绩的平均分. (2)就这 5 场比赛,分别计算两队成绩的极差; (3)就这 5 场比赛,分别计算两队成绩的方差; (4)如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,根据上述统计,从平均分、极差、方差 以及获胜场数这四个方面分别进行简要分析,你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩? 第一场 甲 乙 82 106 第二场 86 90 第三场 95 85 第四场 91 87 第五场 96 82

26.2014 年 12 月 28 日“青烟威荣”城际铁路正式开通,从烟台到北京的高铁里程比普快里 程缩短了 81 千米, 运行时间减少了 9 小时, 已知烟台到北京的普快列车里程约为 1026 千米, 高铁平均时速为普快平均时速的 2.5 倍. (1)求高铁列车的平均时速; (2)某日王老师要去距离烟台大约 630 千米的某市参加 14:00 召开的会议,如果他买到当 日 8:40 从烟台至城市的高铁票,而且从该市火车站到会议地点最多需要 1.5 小时,试问在 高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?

27.观察下面的变形规律: 解答下面的问题:

= ﹣ ;

= ﹣ ;

=

;…

(1)若 n 为正整数,若写成上面式子形式,请你猜想 (2)说明你猜想的正确性;

=__________;

(3)计算:

+

+

+…+

=__________;

(4)解关于 n 的分式方程:

+

+

+…+

=



2015-2016 学年山东省烟台市开发区八年级(上)期中数学试卷(五四学制)

一、选择题(每题 3 分,共 36 分)

1. , , A.6



, B.5





, C .4

中,分式有(

) D.3

【考点】分式的定义. 【分析】根据分式的定义:一般地,如果 A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么 式子 叫做分式可得答案.

【解答】解:根据分式定义可得 , 故选:B.







是分式,

【点评】此题主要考查了分式定义,关键是掌握分式定义.

2.下列分解因式正确的是( A.2x2﹣xy﹣x=2x(x﹣y﹣1)

) B.﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y(xy﹣2x﹣3) D.x2﹣x﹣3=x(x﹣1)﹣3

C.x(x﹣y)﹣y(x﹣y)=(x﹣y)2

【考点】因式分解的意义;因式分解-提公因式法. 【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解. 【解答】解:A、公因式是 x,应为 2x2﹣xy﹣x=x(2x﹣y﹣1) ,错误; B、符号错误,应为﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y(xy﹣2x+3) ,错误; C、提公因式法,正确; D、右边不是积的形式,错误; 故选 C. 【点评】本题考查了多项式的因式分解,符号的变化是学生容易出错的地方,要克服.

3.甲,乙,丙,丁四位同学本学期都参加了 5 次测试,每人的平均成绩都是 93 分,方差如 下表: 选手 方差 甲 1.6 乙 3.5 ) C.丙 D.丁 丙 2.3 丁 2.5

则这四人中成绩发挥最稳定的是( A.甲 【考点】方差. B.乙

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小, 表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 【解答】解:∵S 甲 2=1.6,S 乙 2=3.5,S 丙 2=2.3,S 丁 2=2.5, ∴S 甲 2<S 丙 2<S 丁 2<乙 2, ∴这四人中成绩发挥最稳定的是甲. 故选 A. 【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这 组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布 比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.

4.下列各式中,从左到右的变形正确的是(

)

A.

=

B.

=﹣

C.

=

D.

=

【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的基本性质进行判断.

【解答】解:A、分子、分母同时除以﹣1,则原式=

,故本选项错误;

B、分子、分母同时除以﹣1,则原式=

,故本选项错误;

C、分子、分母同时除以﹣1,则原式=

,故本选项错误;

D、分子、分母同时除以﹣1,则原式= 故选:D. 【点评】本题考查了分式的基本性质.

,故本选项正确.

规律总结: (1)同类分式中的操作可总结成口诀:“一排二添三变”, “一排”即按同一个字母的降幂排列; “二添”是把第一项系数为负号的分子或分母添上带负号的括号; “三变”是按分式变号法则把分子与分母的负号提到分式本身的前边. (2)分式的分子、分母及本身的符号,任意改变其中的两个,分式的值不变.

5.如果分式 A.0

的值为 0,那么 x 的值是( B.5

) C.﹣5 D.± 5

【考点】分式的值为零的条件. 【专题】计算题. 【分析】x 要使分式的值为 0,必须分式分子的值为 0 并且分母的值不为 0. 【解答】解:由分子|x|﹣5=0 解得:x=± 5. 而 x=5 时分母 x2+5x=25+25≠0; x=﹣5 时分母 x2+5x=25﹣25=0,分式没有意义. 即 x=5, 故选 B. 【点评】要注意分母的值一定不能为 0,分母的值是 0 时分式没有意义.

6.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( A.m2﹣m+ B.a2+b2

) D.﹣25+a2

C.a2﹣2ab﹣b2

【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】利用完全平方公式的基本形式进而分析得出答案. 【解答】解:A、m2﹣m+ =(m﹣ )2,故此选项正确; B、a2+b2,无法分解因式,故此选项错误;

C、a2﹣2ab﹣b2,无法分解因式,故此选项错误; D、﹣25+a2=(a+5) (a﹣5) ,故此选项错误; 故选:A. 【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用乘法公式是解题关键.

7.某市举行中学生“好书伴我成长”演讲比赛,某同学将所有选手的得分情况进行统计,绘 成如图所示的成绩统计图. 思考下列四个结论:①比赛成绩的众数为 6 分;②成绩的极差是 5 分;③比赛成绩的中位数 是 7.5 分;④共有 25 名学生参加了比赛,其中正确的判断共有( )

A.1 个

B.2 个

C .3 个

D.4 个

【考点】条形统计图;中位数;众数;极差. 【分析】根据众数、极差、中位数的概念求解. 【解答】解:由图可得,共有 25 人参加比赛, 成绩为 8 分的人数最多,众数为 8, 成绩最高为 10 分,最低为 5 分,故极差为 10﹣5=5, ∵共 25 人参加比赛, ∴第 13 名同学的成绩为中位数, 即中位数为:6, 故正确的为:②④. 故选 B. 【点评】本题考查了众数、中位数、极差的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.

8.随着生活水平的提高,小林家购置了私家车,这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学 所需的时间少用了 15 分钟,现已知小林家距学校 8 千米,乘私家车平均速度是乘公交车平 均速度的 2.5 倍,若设乘公交车平均每小时走 x 千米,根据题意可列方程为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由实际问题抽象出分式方程. 【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍,乘坐私家车上学比乘坐公交 车上学所需的时间少用了 15 分钟,利用时间得出等式方程即可. 【解答】解:设乘公交车平均每小时走 x 千米,根据题意可列方程为: = + ,

故选:D. 【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程, 解题关键是正确找出题目中的相等关 系,用代数式表示出相等关系中的各个部分,把列方程的问题转化为列代数式的问题.

9.关于 x 的分式方程 A.a>2 【考点】分式方程的解.

+

=1 的解为正数,则字母 a 的取值范围为( C.a>2 且 a≠3

)

B.a<2

D.a>3 且 a≠2

【分析】将 a 看做已知数求出分式方程的解得到 x 的值,根据解为正数列出不等式,求出不 等式的解集即可得到 a 的范围. 【解答】解:∵分式方程去分母得:a﹣3=x﹣1, 解得:x=a﹣2, 根据题意得:a﹣2>0 且 a﹣2﹣1≠0, 解得:a>2 且 a≠3. 故选 C. 【点评】 此题考查了分式方程的解, 弄清题意是解本题的关键. 注意分式方程分母不等于 0.

10.解关于 x 的分式方程 A. m=1

+1= B.m=﹣1

时会产生增根,则 m 的值( C.m=0

) D.m=± 1

【考点】分式方程的增根. 【专题】计算题;分式方程及应用.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,得到 x﹣1=0,求出 x 的值, 代入整式方程求出 m 的值即可. 【解答】解:去分母得:1+x﹣1=﹣m, 由分式方程有增根,得到 x﹣1=0,即 x=1, 把 x=1 代入整式方程得:m=﹣1. 故选 B. 【点评】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为 0 确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

11.丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格 平均数 8.5 中位数 8.3 众数 8.1 方差 0.15 )

如果去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是( A.平均数 【考点】统计量的选择. B.众数 C.方差

D.中位数

【分析】 根据中位数的定义: 位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和 一个最低分不影响中位数. 【解答】解:去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响, 故选 D. 【点评】本题考查了统计量的选择,解题的关键是了解中位数的定义,难度不大.

12.在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时 v1 千米,下坡时的速度为每小时 v2 千 米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( )

A.

千米

B.

千米

C.

千米

D.无法确定

【考点】列代数式(分式) . 【专题】行程问题. 【分析】平均速度=总路程÷ 总时间,题中没有单程,可设单程为 1,那么总路程为 2.

【解答】解:依题意得:2÷ ( 故选 C.

+

)=2÷

=

千米.

【点评】解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.当 题中没有一些必须的量时,为了简便,可设其为 1.

二、填空题(每题 3 分,共 24 分)

13.





的最简公分母为 6x2y2.

【考点】最简公分母. 【分析】确定最简公分母的方法是: (1)取各分母系数的最小公倍数; (2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式; (3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.

【解答】解: 故答案为 6x2y2.





的分母分别是 2xy、3x2、6xy2,故最简公分母为 6x2y2.

【点评】 本题考查了最简公分母的定义及确定方法, 通分的关键是准确求出各个分式中分母 的最简公分母,确定最简公分母的方法一定要掌握.

14.计算:﹣

× 19﹣

× 15=﹣26.

【考点】有理数的乘法. 【分析】逆用乘法的分配律进行计算即可. 【解答】解:﹣ = = =﹣26. 故答案为:﹣26. × 19﹣ × 15

【点评】本题主要考查的是有理数的乘法,逆用乘法的分配律是解题的关键.

15.一组数据 2,1,6,﹣2,a 的极差是 10,则 a 的值是﹣4 或 8. 【考点】极差. 【分析】根据极差是 10,判断出 a 或为最大值,或为最小值,据此解答即可. 【解答】解:由于极差为 10,则 a 或为最大值,或为最小值, 则①a 为最大值时,a﹣(﹣2)=10,a=8; ②a 为最小值时,6﹣a=10,a=﹣4; 故答案为﹣4 或 8. 【点评】本题考查了极差,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法是用一组数 据中的最大值减去最小值.

16.化简

=



【考点】分式的加减法. 【专题】计算题.

【分析】 首先将原式化为= 加减运算.

=



, 然后进行分式的

【解答】解:原式=

=



=

=



故答案为:



【点评】此题考查的知识点是粉饰的加减法,关键明确如果是同分母分式,那么分母不变, 把分子直接相加减即可; 如果是异分母分式, 则必须先通分, 把异分母分式化为同分母分式, 然后再相加减.

17.已知实数 a,b 满足 ab=3,a2b﹣ab2=6,则 a﹣b 的值是 2. 【考点】因式分解-提公因式法. 【分析】直接提取公因式 ab,进而将已知代入求出答案. 【解答】解:∵ab=3,a2b﹣ab2=6, ∴a2b﹣ab2=ab(a﹣b)=3(a﹣b)=6, 解得:a﹣b=2. 故答案为:2. 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.

18. 某学校对学生的学业成绩采取综合评价, 制定标准如下: 作业占 10%, 单元测验占 20%, 期中考试占 30%,期末考试占 40%,上学期小明的各项成绩如下表所示,请你计算一下, 小明的平均成绩应是 84.5. 类别 成绩 作业 80 单元测验 75 期中考试 85 期末考试 90

【考点】加权平均数. 【分析】从表格中得出数据,先计算平时平均成绩,再根据加权平均数计算学期总评成绩. 【解答】解:平均成绩为:80× 10%+75× 20%+85× 30%+90× 40%=84.5, 故答案为:84.5. 【点评】本题考查了平均数和加权平均数的概念,牢记公式是解答本题的关键,难度不大.

19.一组数据 2,5,1,x,3 的平均数是 3,则这组数据的标准差是 【考点】标准差;算术平均数.



【分析】根据平均数的计算公式求出 x 的值,根据方差的计算公式求出方差,根据标准差即 方差的算术平方根得到答案. 【解答】解:∵2,5,1,x,3 的平均数是 3, ∴ (2+5+1+x+3)=3, 解得,x=4,

这组数据的方差是 [(2﹣3)2+(5﹣3)2+(1﹣3)2+(4﹣3)2+(3﹣3)2]=2, 则这组数据的标准差是 故答案为: . ,

【点评】本题考查的是标准差的计算,掌握方差的计算公式、标准差即方差的算术平方根是 解题的关键.

20. 对于两个不相等的实数 a, b, 我们规定符号 Max{a, b}表示 a, b 中的较大值, 如: Max{2,

4}=4,按照这个规定,方程 Max{x,﹣x}= 【考点】解分式方程. 【专题】新定义;分式方程及应用.

的解为 x= 或 x=﹣1.

【分析】根据 x 与﹣x 的大小关系化简所求方程,求出解即可.

【解答】解:当 x>﹣x,即 x>0 时,方程化简得:x= 去分母得:x2+4x=x2+2, 解得:x= ;



当 x<﹣x,即 x<0 时,方程化简得:﹣x= 去分母得:﹣x2﹣4x=x2+2,即 x2+2x+1=0, 解得:x1=x2=﹣1, 经检验 x= 和 x=﹣1 都为分式方程的解, 故答案为:x= 或 x=﹣1



【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为 整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

三、解答题(共 7 道题,满分 60 分) 21.分解因式

(1) (x+2) (x+3)+ (2) (x2﹣1)2+6(1﹣x2)+9. 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】 (1)首先去括号,进而合并同类项,利用完全平方公式分解因式得出即可; (2)首先利用完全平方公式分解因式,进而结合平方差公式分解因式得出答案. 【解答】解: (1) (x+2) (x+3)+ =x2+5x+ =(x+ )2;

(2) (x2﹣1)2+6(1﹣x2)+9 =(x2﹣1)2﹣6(x2﹣1)+9 =(x2﹣1﹣3)2 =(x+2)2(x﹣2)2. 【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用乘法公式是解题关键.

22.计算:

÷

+ .

【考点】分式的混合运算. 【分析】按照先算除法,再算加法的运算顺序,先把分子分母分解因式,约分化简后,进一 步通分计算得出答案即可.

【解答】解:原式= = = + .

?

+

【点评】此题考查分式的混合运算,掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键.

23.解方程

(1)

=

﹣2

(2)



=0.

【考点】解分式方程. 【专题】计算题;分式方程及应用. 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得 到分式方程的解. 【解答】解: (1)去分母得:1﹣x=﹣1﹣2x+4, 移项合并得:x=2, 经检验 x=2 是分式方程的解; (2)去分母得:3x﹣6﹣x=0, 解得:x=3, 经检验 x=3 是分式方程的解. 【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为 整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

24.先化简: (1+

)÷

,再从绝对值不大于 2 的整数中选取一个作为 x 的值

代入化简后的代数式求值. 【考点】分式的化简求值. 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简, 再从绝对值不大于 2 的整数中选取合 适的 x 的值代入进行计算即可.

【解答】解:原式=

?

=



当 x=0 时,原式=﹣2. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

25.甲乙两支篮球队进行了 5 场比赛,比赛成绩绘制成了统计图(如图) (1)分别计算甲乙两队 5 场比赛成绩的平均分. (2)就这 5 场比赛,分别计算两队成绩的极差; (3)就这 5 场比赛,分别计算两队成绩的方差; (4)如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,根据上述统计,从平均分、极差、方差 以及获胜场数这四个方面分别进行简要分析,你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩? 第一场 甲 乙 82 106 第二场 86 90 第三场 95 85 第四场 91 87 第五场 96 82

【考点】方差;算术平均数;极差. 【专题】图表型. 【分析】 (1)利用平均数的计算公式直接计算平均分即可; (2)用最大值减去最小值就是该组数据的方差; (3)根据上题计算的平均数利用方差的公式计算二队的方差即可; (4)结合方差、平均数和极差三方面进行分析. 【解答】解: (1)甲两队 5 场比赛成绩的平均分为: =90. 乙两队 5 场比赛成绩的平均分为: =90. (2)甲队极差:96﹣82=14. 乙队极差:106﹣82=24. = =

(3)甲队的方差为: 96)2] =28.4; 乙队的方差为:
2

= [(90﹣82)2+(90﹣86)2+(90﹣95)2+(90﹣91)2+(90﹣

= [(90﹣106)2+(90﹣90)2+(90﹣85)2+(90﹣87)2+(90﹣82)

]

=70.8; (4)从平均分看,两队均为 9(0 分) ,从极差看,甲队的极差小于乙队的极差,说明甲队 成绩比较稳定;从方差看,甲队的方差小于乙队的方差,说明甲队成绩比较稳定;从获胜场 次来看,甲队获胜后 3 场,乙队获胜前 2 场,说明甲队越来越稳定. 综合以上因素,应选派甲队参加篮球锦标赛. 【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用.熟练掌握平均数的计算,理解 极差的概念,能够根据计算的数据进行综合分析.

26.2014 年 12 月 28 日“青烟威荣”城际铁路正式开通,从烟台到北京的高铁里程比普快里 程缩短了 81 千米, 运行时间减少了 9 小时, 已知烟台到北京的普快列车里程约为 1026 千米, 高铁平均时速为普快平均时速的 2.5 倍. (1)求高铁列车的平均时速; (2)某日王老师要去距离烟台大约 630 千米的某市参加 14:00 召开的会议,如果他买到当 日 8:40 从烟台至城市的高铁票,而且从该市火车站到会议地点最多需要 1.5 小时,试问在 高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】 (1)设普快的平均时速为 x 千米/小时,高铁列车的平均时速为 2.5 千米/小时,根 据题意可得,高铁走(1026﹣81)千米比普快走 1026 千米时间减少了 9 小时,据此列方程 求解; (2)求出王老师所用的时间,然后进行判断. 【解答】解: (1)设普快的平均时速为 x 千米/小时,高铁列车的平均时速为 2.5x 千米/小时,

由题意得, 解得:x=72,



=9,

经检验,x=72 是原分式方程的解,且符合题意, 则 2.5x=180, 答:高铁列车的平均时速为 180 千米/小时;

(2)630÷ 180=3.5, 则坐车共需要 3.5+1.5=5(小时) , 王老师到达会议地点的时间为 1 点 40. 故他能在开会之前到达. 【点评】本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适 的等量关系,列方程求解,注意检验.

27.观察下面的变形规律: 解答下面的问题:

= ﹣ ;

= ﹣ ;

=

;…

(1)若 n 为正整数,若写成上面式子形式,请你猜想 (2)说明你猜想的正确性; (3)计算: + + +…+ = ;

= ﹣



(4)解关于 n 的分式方程: 【考点】分式的加减法. 【专题】计算题;规律型.

+

+

+…+

=



【分析】 (1)根据已知等式做出猜想,写出即可; (2)猜想等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算,整理后判断与右边相等,得证; (3)原式利用得出的规律变形,计算即可得到结果; (4)分式方程左边利用拆项法变形,整理后去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得 到 n 的值,经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解: (1)猜想得到

= ﹣



(2) ﹣

=



=

=





= ﹣



(3)原式=1﹣ + ﹣ +…+



=1﹣ =

=

; ,即 = ,

(4)已知方程整理得:1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ 去分母得:n +9n=n +8n+7, 解得:n=7, 经检验 n=7 是分式方程的解. 故答案为: (1) ﹣ ; (3) .
2 2

【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.


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