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高中数学错题分析第6-10章修改稿


第六章 立体几何初步
§6.1 两条直线之间的位置关系 一、知识导学 1. 平面的基本性质.公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的 点都在这个平面内.公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理 3: 经过不在同一条直线上的三 点,有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,,有且只有一个平 面.推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论 3:经过两条平行直线,有且 只有一个平面. 2. 空间两条直线的位置关系,包括:相交、平行、异面. 3. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理 4:如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交 直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 4. 异面直线.异面直线所成的角;两条异面直线互相垂直的概念;异面直线的公垂线及距 离. 5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题. 二、疑难知识导析 1.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点.强调任何一个平面. 2.异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成 的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围. 3.异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交, 4. 异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是 找到它们的公垂线. 5.异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法:如图,如果 b ? ? ,A ?? 且 A ? b ,a ? ? ? A ,则 a 与 b 异面. 三、经典例题导讲 [例 1]在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别是棱 DD 1 、 D 1 C 1 的中点,则直线 OM( ).

A .是 AC 和 MN 的公垂线. B .垂直于 AC 但不垂直于 MN. C .垂直于 MN,但不垂直于 AC. D .与 AC、MN 都不垂直. 错解:B. 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A. [例 2]如图,已知在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别是 BC,CD 上的点,且 GC
BG

?

DH HC

? 2 ,求证:直线 EG,FH,AC 相交于一

点. 错解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF ∥BD,EF= 2

1

BD,

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又 GC

BG

?

DH HC

? 2 ,?

GH∥BD,GH=

1 3 BD,

?
?

四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T,
DH HC

? 2 ,F 分别是 AD.? AC 与 FH 交于一点.

? 直线 EG,FH,AC 相交于一点
正解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF
又 GC
BG

∥BD,EF=

1 2 BD,

?

DH HC

? 2,
1 3 BD,

?

GH∥BD,GH=

? 四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T, ? EG ? 平面 ABC,FH ? 平面 ACD, ? T ? 面 ABC,且 T ? 面 ACD,又平面 ABC ? 平面 ACD=AC, ? T ? AC ,? 直线 EG,FH,AC 相交于一点 T.
[例 3]判断: a,b 是两条异面直线, 为空间任意一点, 若 P 则过 P 点有且仅有一个平面与 a,b 都平行. 错解:认为正确. 错因:空间想像力不够.忽略 P 在其中一条线上,或 a 与 P 确定平面恰好与 b 平行,此时就 不能过 P 作平面与 a 平行. 正解:假命题. [例 4] 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥ CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平面 α 相交于点 E,G,H,F.求证:E,F,G,H 四点必定共线(在同一条直线上) . 分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线. 证明 ∵ AB//CD, AB,CD 确定一个平面 β. 又∵AB ∩α=E,AB β ,? E ? α,E ? β, 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点. 同理可证 F,G,H 均为平面 α 与 β 的公共点. ∵ 两个平面有公共点, 它们有且只有一条通过公共点的公共直 线, ∴ E,F,G,H 四点必定共线. 点 评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点, 而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.

[例 5]如图, 已知平面 α , , α ∩β = . β 且 设梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB 且 CD β ,求证:AB,CD, 共点(相交于一点).

l

α ,

l

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分析:AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰,必定相交于一点 M,只要证明 M 在 l 上,而 l 是两个平面 α ,β 的交线,因此,只要证明 M∈α ,且 M∈β 即可. 证明: ∵ 梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰. ∴ AB,CD 必定相交于一点, 设 AB ∩CD=M. 又∵ AB α ,CD β ,∴ M∈α ,且 M∈β . ∴ M∈α ∩β . 又∵ α ∩β = ,∴ M∈ , 即 AB,CD, 共点. 点 评:证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的. [例 6]已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共 面. 分析:弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条 直线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上,根据平面的性 质,确定一个平面,再证明所有的直线都在这个平面内. 证明 1? 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A ∴ 直线 d 和 A 确定一个平面 α . 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α . ∵ A,E∈α ,A,E∈a, ∴ a α . 同理可证 b α ,c α . ∴ a,b,c,d 在同一平面 α 内. 2? 当四条直线中任何三条都不共点时,如图. ∵ 这四条直线两两相交, 则设相交直线 a,b 确定一个平面 α . 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K, 则 H,K∈α . 又∵ H,K∈c,∴ c α . 同理可证 d α . ∴ a,b,c,d 四条直线在同一平面 α 内. 点 评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先由题给条件中的部分线(或点)确 定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一 种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的 含义. [例 7] 在立方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)找出平面 AC 的斜线 BD1 在平面 AC 内的射影; (2)直线 BD1 和直线 AC 的位置关系如何?

l

l

l

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(3)直线 BD1 和直线 AC 所成的角是多少度? 解:(1)连结 BD, 交 AC 于点 O ? DD1 ? 平面AC,? BD就是斜线BD1在平面AC上的射影 . (2)BD1 和 AC 是异面直线. (3)过 O 作 BD1 的平行线交 DD1 于点 M,连结 MA、MC,则∠ MOA 或其补角即为异面直线 AC 和 BD1 所成的角. 不难得到 MA=MC,而 O 为 AC 的中点,因此 MO⊥ AC,即∠ MOA=90° , ∴异面直线 BD1 与 AC 所成的角为 90° . [例 8] 已知:在直角三角形 ABC 中, ? A 为直角,PA⊥平面 ABC,BD⊥PC,垂足为 D,求证:AD⊥PC 证明:∵ PA ⊥平面 ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面 PAC ∴ AD 是 BD 在平面 PAC 内的射影 又∵ BD⊥PC ∴ AD⊥PC.(三垂线定理的逆定理) 四、典型习题导练 1.如图, P 是△ABC 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC 后,在包括 AB、 BC、CA 的六条棱所在的直线中,异面直线的对数为( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.6 对 2. 两个正方形 ABCD、ABEF 所在的平面互相垂直,则异面直线 AC 和 BF 所成角的大小为 . 3. 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,体对角线 DB1 与面对角线 BC1 所成的角是 ,它们的距离是 .
BC ? ,CD ? ,DD1 ? 5, 2 2 4.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 2 14

则 A1C和B1 D1 所成角的大小为_ ___. 5.关于直角 AOB 在定平面α 内的射影有如下判断:①可能是 0°的角; ②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是 180°的角. 其中正确判断的序号是_____.(注:把你认为正确的序号都填上). 6.在空间四边形 ABCD 中,AB⊥CD,AH⊥平面 BCD, 求证:BH⊥CD 7.如图正四面体中,D、E 是棱 PC 上不重合的两点;F、H 分别是棱 PA、PB 上的点,且与 P 点不重合. 求证:EF 和 DH 是异面直线.

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§6.2 直线与平面之间的位置关系 一、知识导学 1. 掌握空间直线与平面的三种位置关系(直线在平面内、相交、平行). 2. 直线和平面所成的角, 当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 0 , 当直线与平面垂 直时所成的角是 9 0 ,当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的 3. 锐角. 掌握直线与平面平行判定定理(如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和平面平行)和性质定理(如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行). 直线与平面垂直的定义是:如果一条直线和一个平面内所有直线垂直,那么这条直线和 这个平面垂直;掌握直线与平面垂直的判定定理(如果一条直线和平面内的两条相交直 线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面)和性质定理(如果两条直线同垂直于一个平 面,那么这两条直线平行). 直线与平面的距离(一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距 离,叫做这条直线和这个平面的距离). 三垂线定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直)、逆定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直). 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:①射影相等的两条斜线段相等,射 影较长的斜线段也较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;③ 垂线段比任何一条斜线段都短.
? ?

4.

5. 6.

7.

二、疑难知识导析 1.斜线与平面所成的角关键在于找射影, 斜线与平面所成的角, 是这条斜线和这个平面内的 直线所成的一切角中最小的角. 2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用. 3.在证明垂直时注意线线垂直、 线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用, 同时 还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的 “两条相交直线” , 如果用“无数”或“两条”都是错误的. 4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点 到平面的距离(大于 0)相等,则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、 “距离相等”. 三、经典例题导讲 [例 1]已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 l ? 平面 ? ,点 P ? 直线 l ,平面 ? 、 ? 间的距离为 8,则 在 ? 内到点 P 的距离为 10,且到 l 的距离为 9 的点的轨迹是( ) A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点

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错解:A. 错因:学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢. 正解:B. [例 2] a 和 b 为异面直线,则过 a 与 b 垂直的平面( ). A.有且只有一个 B.一个面或无数个 C.可能不存在 D.可能有无数个 错解:A. 错因:过 a 与 b 垂直的平面条件不清. 正解:C. [例 3]由平面 ? 外一点 P 引平面的三条相等的斜线段, 斜 足分别为 A,B,C,O 为⊿ABC 的外心,求证: OP

?? .

错解:因为 O 为⊿ABC 的外心,所以 OA=OB=OC,又因为 PA=PB=PC, 公用, PO 所以⊿POA, ⊿POB, ⊿POC 都全等,

? ,所以 OP ? ? . 2 错因:上述解法中 ? POA= ? POB= ? POC=RT ? ,是对的,但它们为什么是直角呢?这里 缺少必要的证明. 正解:取 BC 的中点 D,连 PD、OD,
所以 ? POA= ? POB= ? POC=

? PB ? PC , OB ? OC ,? BC ? PD, BC ? OD,? BC ? 面POD,? BC ? PO, 同理AB ? PO, PO ? ? . ?
[例 4]如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点, P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 点的最短路线长为

29 ,设这条最短路线与 C1C 的交点为 N,
求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长; (3)平面 NMP 和平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角 函数表示) 错因: (1)不知道利用侧面 BCC1 B1 展开图求解,不会找 29 的线段 在哪里;(2)不会找二面角的平面角. 正解:(1)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角线长为

92 ? 42 ? 97
(2)如图,将侧面 BC1 旋转 120 使其与侧面 AC1 在同一平面 上,点 P 运动到点 P1 的位置,连接 MP1 ,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过 CC1 到点 M 的最短路线. 设 PC=
?

x ,则 P C= x ,
1

3 在 Rt?MAP中,( +x) 1

2

? 2 2 ? 29, x ? 2

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?

NC P1C 2 4 ? ? ,? NC ? MA P1 A 5 5

(3)连接 PP1(如图) ,则 PP1 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交 线,作 NH ? PP 于 H,又 CC1 ? 平面 ABC,连结 CH,由三垂 1 线定理的逆定理得, CH ? PP . 1

? ?NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角。
在Rt ?PHC 中, ?PCH ? ? 1 ?PCP1 ? 60 ? ,? CH ? 1 2

在Rt ?NCH中, ?NHC ? tan

NC 4 ? CH 5

[例 5] P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点,求证:PC∥ 平面 BDQ . 分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只 要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 证明:如图所示,连结 AC ,交 BD 于点 O , ∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AO=CO ,连结 OQ ,则 OQ 在平面 BDQ 内,且 OQ 是 ?APC 的中位线,∴PC∥OQ . ∵PC 在平面 BDQ 外,∴PC∥平面 BDQ . 点 评:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线 平行. [例 6] 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中, F 分别是棱 AB、 的中点, 是底面 ABCD 的中点. E、 BC O 求 证:EF 垂直平面 BB1O. 证明 : 如图,连接 AC、BD,则 O 为 AC 和 BD 的交点. ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF∥AC. ∵B1B⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD ∴AC⊥B1B,由正方形 ABCD 知:AC⊥BO, 又 BO 与 BB1 是平面 BB1O 上的两条相交直线,

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∴AC⊥平面 BB1O(线面垂直判定定理) ∵AC∥EF, ∴ EF⊥平面 BB1O. [例 7]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心, 求证:OE ? 平面 ACD1 . 分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明 OE ? 平面 ACD1 ,只要在平面 ACD1 内找两条相交直线与 OE 垂直. 证明:连结 B1D 、A!D 、BD ,在△B1BD 中, ∵E,O 分别是 B1B 和 DB 的中点, ∴EO∥B1D . ∵B1A1 ? 面 AA1D1D , ∴DA1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影. 又∵AD1 ? A1D , ∴AD1 ? DB1 . 同理可证 B1D ? D1C . 又∵AD1 ?CD1 ? D1 ,AD1,D1C ? 面 ACD1 , ∴B1D ? 平面 ACD1 . ∵B1D∥OE , ∴OE ? 平面 ACD1 . 点 评: 要证线面垂直可找线线垂直, 这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法. 在 证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用, 也要注意有时是从数量关系方面找 垂直,即勾股定理或余弦定理的应用. [例 8].如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上, 点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN∥平面 AA1B1B. 证明: 证法一.如图,作 ME∥BC,交 BB1 于 E,作 NF∥AD,交 AB 于 F,连 EF 则 EF ? 平面 AA1B1B.

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? ?

ME BC

?

B1M B1C

,

NF AD
NF AD

?

BN BD

,

ME BC

?

BN BD

?

, ? ME=NF

又 ME∥BC∥AD∥NF,? MEFN 为平行四边形,

? MN∥EF. ? MN∥平面 AA1B1B.
证法二.如图,连接并延长 CN 交 BA 延长线于点 P,连 B1P,则 B1P ? 平面 AA1B1B.

?

?NDC ∽ ?NBP ,

? DN ? NB

CN NP

.

又 CM=DN,B1C=BD,

? CM1 ? MB

DN NB

? CN . NP

? MN ∥B1P.
? B1P ? 平面 AA1B1B, ? MN∥平面 AA1B1B.
证法三.如图,作 MP∥BB1,交 BC 于点 P,连 NP.
CM ? MP∥BB1,? MB1 ? CP . PB

? ?
CM MB1

BD=B1C,DN=CM,? B1M ? BN.

?

DN NB

,? CP ? PB

DN NB

.

? NP∥CD∥AB.? 面 MNP∥面 AA1B1B. ? MN∥平面 AA1B1B.
四、典型习题导练 1.设 a ,b 是空间两条垂直的直线,且 b∥平面 ? .则在“a∥平面 ? ”、 ? ? ”、 “a “a 与 ? 相交”这三种情况中,能够出现的情况有( ). A.0 个 B.1 C.2 个 D.3 个

2.一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截 面平行,那么此四个交点围成的四边形是( ). A.梯形 B.任意四边形 C.平行四边形 D.菱形

3.若一直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段的位置 关系是( ).

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A.平行

B.相交

C.异面

D.平行、相交或异面

4.空间四边形的边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是 E 、F 、G 、H ,若两条对角线 BD 、 2 2 AC 的长分别为 2 和 4,则 EG +HF 的值( ). A.5 B.10 C.20 D.40

5.点 P 、Q 、R 、S 分别是空间四边形 ABCD 四边的中点,则:当 AC ? BD 时,四边形 PQRS 是______形;当 AC=BD 时,四边形 PQRS 是____形. 6.已知两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,M 、 N 分别在它们的对角线 AC ,BF 上,且 CM=BN , 求证:MN∥ 平面 BCE . 7.如图, 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, 且 ?C1CB (1) (2)

? ?C1CD ? ?BCD ? 60?.

证明 C1C ? BD ; 当 CC1 的值为多少时, 能使 A1C ? 平面 C1BD?请给 出证明.

CD

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§6.3 平面与平面之间的位置关系 一、基础知识导学 1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行). 2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理(如果一个平面 内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行)和性质定理(如果两个平行 平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行). 3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义(一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两个平面垂直);判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直)和性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面). 4. 二面角的有关概念 (从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角) 与运算; 二 面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角),二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线 定理及逆定理法、垂面法等). 二、疑难知识导析 1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2.面面平行也是推导线面平行的重要手段;还要注意平行与垂直的相互联系,如:如果两 个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两 条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反 复运用. 3. 对于命题 “三个平面两两相交, 有三条交线, 则这三条交线互相平行或者相交于同一点.” 要会证明. 4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5.注意二面角的范围是 [0, ? ] ,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线,这往往是二 面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式 cos?=S ,用的时候要进行交代.在二 S
/

面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一:补充棱;方法二:利用“如果 ;方法三:公式 cos?=S 等,求二面角中解三角形 ? ? ?=l, 且? ? ?,? ? ?,则l ? ? ” S
/

时注意垂直(直角) 、数据在不同的面上转换. 三、经典例题导讲 [例 1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α ,β ,则α +β 满足( 0 0 0 0 A.α +β <90 B.α +β ≤90 C.α +β >90 D.α +β ≥90 错解:A. 错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况. 正解:B. [例 2].如图,△ABC 是简易遮阳棚,A,B 是南北方向上两个定点, 正东方向射出的太阳光线与地面成 40°角,为了使遮阴影面 ABD 面 积最大,遮阳棚 ABC 与地面所成的角应为( ). A.90° B.60° C.50° D.45° 错解:A. 正解:C

).

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[例 3]已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 底面边长是 10, 高是 12, 过底面一边 AB, 作与底面 ABC 成 60 角的截面面积是_____. 错解: 50 3 .用面积射影公式求解:S 底= 4
3

0

?100 ? 25 3, S 截= cos底 ? ? 50 3 . 60
S

错因:没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形. 正解: 48 3 . [例 4]点 O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心,点 E , F 分别是 AD , BC 的 中点. 沿对角线 AC 把正方形 ABCD 折 成直二面角 D-AC-B. (1)求 ?EOF 的大小; (2)求二面角 E ? OF

? A 的大小.

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角. 正解: (1)如图,过点 E 作 EG⊥AC,垂足为 G ,过点 F 作 FH⊥AC,垂足为 H ,则

EG ? FH ? 2 , GH ? 2 2
D H E M O G A B E F C

. D

H M O F B G

C

A

因为二面角 D-AC-B 为直二面角,

? EF 2 ? GH 2 ? EG 2 ? FH 2 ? 2EG ? FH cos90?
? (2 2)2 ? ( 2)2 ? ( 2)2 ? 0 ? 12.
又在 ?EOF 中, OE ? OF ? 2 ,

OE 2 ? OF 2 ? EF 2 22 ? 22 ? (2 3)2 1 ? cos ?EOF ? ? ?? . 2OE ? OF 2? 2? 2 2
??EOF ? 120? .
(2)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M,连 EM. ∵二面角 D-AC-B 为直二面角,∴平面 DAC⊥平面 BAC,交线为 AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥ 平面 BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得 EM⊥OF. ∴ ?EMG 就是二面角 E ? OF ? A 的平面角.

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在 Rt ? EGM 中, ?EGM ∴ tan ?EMG

? 90? , EG ? 2 , GM ? OE ? 1 ,

1 2

?

EG ? 2 .∴ ?EMG ? arctan 2 . GM

所以,二面角 E ? OF

? A 的大小为 arctan 2

[例 5]如图,平面 α ∥平面 β ∥平面 γ ,且 β 在 α 、γ 之间,若 α 和 β 的距离是 5, β 和 γ 的距离是 3,直线 l 和 α 、β 、γ 分别交于 A、B、C,AC =12,则 AB= ,BC= . 解 :作 l ′ ⊥ α , ∵ α ∥β ∥γ ,∴

l′与β 、γ 也垂直,

l ′ 与 α 、 β 、 γ 分 别 交 于 A1、 B1、 C1.
因 此 , A1B1 是 α 与 β 平 面 间 的 距 离 , B1C1 是 β 与 γ 平 面 间 的 距 离 , A1C1 是 α 与 γ 之 间 的 距 离 . ∴ A1B1= 5, B1C1= 3, A1C1= 8, 又 知 AC= 12

AB ? AC

?

A B1 1 A C1 1

,

5?12 ?A B = 8

?

15 2

AB BC ,

?

A1B1 B1C1

, BC=

15 ?3 2

5

?

9 2

.

15 答 : AB= 2

, BC= 2

9

.

[例 6] 如图,线段 PQ 分别交两个平行平面α 、β 于 A、B 两 点,线段 PD 分别交α 、β 于 C、D 两点,线段 QF 分别交α 、 β 于 F、E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12,△ACF 的面 积为 72,求△BDE 的面积. 解:∵平面 QAF∩α =AF,平面 QAF∩β =BE 又∵α ∥β ,∴ AF∥BE 同理可证:AC∥BD.∴∠FAC 与∠EBD 相等成互补 由 FA∥BE,得:BE:AF=QB:QA=12:24=1:2,∴BE= 2 由 BD∥AC,得:AC:BD=PA:PB=9:21=3:7,∴BD= 3 又∵△ACF 的面积为 72,即
1 2

1

AF AC

7

AF ? AC ? sin ?FAC

=72

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S ?DBE = 1 BE ? BD ? sin EBD ? 2 =
7 6

1 2

? 1 ? AF ? 7 AC ? sin ?FAC 2 3

? 1 AF ? AC ? sin ?FAC ? 7 ? 72 ? 84, 2 6

答:△BDE 的面积为 84 平方单位. [例 7]如图,B 为 ? ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为 ? ABC、 ? ABD、 ? BCD 的重心. (1)求证:平面 MNG∥平面 ACD (2)求 S ?MNG :S ?ADC 解:(1)连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、 H ∵ M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,
BM

则有: MP

?

BN NF

?

BG GH

?2

连结 PF、FH、PH 有 MN∥PF 又 PF ? 平面 ACD ∴ MN∥平面 ACD

同理:MG∥平面 ACD,MG∩MN=M ∴ 平面 MNG∥平面 ACD.

MG (2)由(1)可知: PH
∴MG= 3 ∴MG= 3
1
2

?

BG BH

?

2 3

PH ,又 PH= 1 AD 2

AD
1

, ,

同理:NG= 3 ∴

AC, MN ? 1 CD 3

△MNG∽△ACD,其相似比为 1:3
=

∴S ?MNG :S ?ADC

1:9

[例 8]如图,平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上,且 CD=a,AB=b,CD⊥AB. (1)求证:EFGH 是矩形. (2)求当点 E 在什么位置时,EFGH 的面积最大. (1)证明:∵CD∥面 EFGH,而面 EFGH∩面 BCD=EF.∴CD∥EF 同理 HG∥CD.∴EF∥HG 同理 HE∥GF.∴四边形 EFGH 为平行四边形
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由 CD∥EF,HE∥AB ∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角或其补角, 又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形 EFGH 为矩形. (2)解:由(1)可知在△BCD 中 EF∥CD,其中 DE=m,EB=n ∴

EF BE n ? ,? EF ? a CD DB m?n HE DE m ? , HE ? b AB DB m?n
m n mn ?b? a= ab m?n m?n ( m ? n) 2
2

由 HE∥AB ∴

又∵四边形 EFGH 为矩形 ∴S 矩形 EFGH=HE?EF=

∵m+n≥2 m n ,∴(m+n) ≥4mn ∴

1 mn ≤ ,当且仅当 m=n 时取等号,即 E 为 BD 的中点时, 2 4 ( m ? n) 1 mn ab≤ ab, 2 4 ( m ? n)

S 矩形 EFGH=

?

矩形 EFGH 的面积最大为

1 ab. 4

点评:求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等. 四、典型习题导练 1. 山坡面α 与水平面成 30°的角, 坡面上有一条公路 AB 与坡角线 BC 成 45°的角, 沿公路 向上去 1 公里时,路基升高_____米. 2. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成 二面角(小于或等于 90°)的度数是_____.

3. 在 60°二面角的棱上,有两个点 A、B,AC、BD 分别是在这个 二面角的两个面内垂直于 AB 的线段.已知:AB=4cm,AC=6cm,BD =8cm,求 CD 长.

4.如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC, 且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.

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求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

5. 已知:如图,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分 别交 AC、SC 于 D、E,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 E-BD-C 的 度数.

§6.4 空间角和距离
一、知识导学 1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角,掌握上述三类空间角的作 法及运算. 2.掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线(或平面)的距离、直线与平面的距 离及两平行平面间距离的求法. 二、疑难知识导析 1.求空间角的大小时,一般将其转化为平面上的角来求,具体地将其转化为某三角形的一 个内角. 2.求二面角大小时,关键是找二面角的平面角,可充分利用定义法或垂面法等. 3. 空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时, 可先找出点在平面内 的射影(可用两个平面垂直的性质) ,也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球 心到截面圆心的距离由勾股定理得 d ?

R2 ? r 2

4.球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长,关键在于画出经过两点的 大圆以及小圆. 5.要注意距离和角在空间求值中的相互作用,以及在求面积和体积中的作用. 三、经典例题导讲 [例 1] 平面 ? 外有两点 A,B,它们与平面 ? 的距离分别为 a,b,线段 AB 上有一点 P,且 AP:PB=m:n,则点 P 到平面 ? 的距离为_________________. 错解:

na ? mb . m?n na ? mb mb ? na 或| | . m?n m?n

错因:只考虑 AB 在平面同侧的情形,忽略 AB 在平面两测的情况. 正解:

[例 2]与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个. 错解:4 个. 错因:只分 1 个点与 3 个点在平面两侧.没有考虑 2 个点与 2 个点在平面两侧. 正解:7 个. [例 3]一个盛满水的三棱锥形容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、E、F,且知 SD: DA=SE:EB=CF:FS=2:1,若仍用这个容器盛水,则最多 可盛原来水的( ) A.

23 29

B.

19 27

C.

30 31

D.

23 27

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错解:A、B、C.由过 D 或 E 作面 ABC 的平行面,所截体计算而得. 正解:D. 当平面 EFD 处于水平位置时,容器盛水最多

?

VF ? SDE VC ? SAB

1 1 S ?SDE ? h1 ? SD ? SE ? sin ?DSE ? h1 3 3 ? ? 1 1 S ?SAB ? h2 ? SA ? SB ? sin ?ASB ? h2 3 3
SD SE h1 2 2 1 4 ? ? ? ? ? ? SA SB h2 3 3 3 27
4 23 ? 27 27

?

最多可盛原来水得 1-

[例 4]斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形, 侧棱长等 0 于 b,一条侧棱 AA1 与底面相邻两边 AB、AC 都成 45 角,求这个三棱 柱的侧面积. 错解:一是不给出任何证明,直接计算得结果;二是作直截面的方法 不当, “过 BC 作平面与 AA1 垂直于 M” 三是由条件 即 ; “∠A1AB=∠A1AC ? ∠AA1 在底面 ABC 上的射影是∠BAC 的平分线”不给出论证. 正解: 过点 B 作 BM⊥AA1 于 M, 连结 CM, 在△ABM 和△ACM 中, ∵AB=AC, ∠MAB= 0 0 ∠MAC=45 ,MA 为公共边, ∴△ABM≌△ACM, ∴∠AMC=∠AMB=90 , ∴AA1⊥面 BHC, 即平面 BMC 为直截面,又 BM=CM=ABsin450= 且棱长为 b,∴S 侧=(1+ 2 )ab [例 5]已知 CA⊥平面α ,垂足为 A;AB AB=a.求 C,D 两点间的距离. 解 : 本题应分两种情况讨论: α ,BD⊥AB,且 BD 与α 成 30°角;AC=BD=b,

2 2 a,∴BMC 周长为 2x a+a=(1+ 2 )a, 2 2

(1)如下左图.C,D 在α 同侧:过 D 作 DF⊥α ,垂足为 F.连 BF,则 ?DBF ? 30 , 于是
?

DF ? 1 BD ? 2

b 2 .

根据三垂线定理 BD⊥AB 得 BF⊥AB.

在 Rt△ABF 中, AF=

AB 2 ? BF 2 ? a ? 3 b 2 4
b
b

过 D 作 DE ? AC 于 E,则 DE=AF,AE=DF= 2 .所以 EC=AC-AE= b- 2 = 2 .故

b

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CD=

EC 2 ? DE ? EC 2 ? AF 2 ? ( b ) 2 ? a 2 ? 3 b 2 ? a 2 ? b 2 2 4

(2)如上右图.C,D 在α 两侧时:同法可求得 CD=

a2 ? 3b2

点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中,应用勾股定理来求 解. [例 6] (06 年湖北卷)如图,在棱长为 1 的正方体

ABCD? A1 B1C1 D1 中, p 是侧棱 CC1 上的一点,
CP ? m .
(1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1 B1 所 成角的正切值为 3 2 ; (2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得对 任意的 m , D1Q 在平面 APD 上的射影垂直于 AP . 1 并证明你的结论. 解:解法一(1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 BDD1B1 相交于点,,连结 OG,因为 PC∥平面 BDD1B1 ,平面 BDD1B1 ∩平面 APC=OG,
D1

C1 B1
G O P

1 m 故 OG∥PC,所以,OG= PC= . 2 2
又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角.

A1

D

C

A

B

2 1 OA 在 Rt△AOG 中,tan ? AGO= ? 2 ? 3 2 ,即 m= . m 3 GO 2
所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3

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(2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。 解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1, m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1) 所 以
1
z

? B ?(

? D

?1
A1

D1

C1
j

?

,?

O1 B1 D

P

又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0 知, AC 为平 面 BB1D1D 的一个法向量。
x

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ?

C

y

A

B

设 AP 与 平 面 BB1D1D 所 成 的 角 为 ? , 则

??? ???? ? AP ? AC 2 3 2 ? 2 ? , 。 依题意有 s i n? ? c o s ( ? ? ? ??? ???? ? ) ? 2 2 AP ? AC 2 ? 2 ? m2 2 ? 2 ? m2 1 ? (3 2)
解得 m ?

1 1 。故当 m ? 时,直线 AP 与平面 BB1D1D 所成的角的正切值为 3 2 。 3 3

(2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x ,则 Q(x,1- x ,1), ???? ? D1Q ? ( x,1 ? x,0) 。依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP, 等价于 D1Q⊥AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x ) ? 0 ? x ? 时,满足题设要求。 [例 7]在梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,AB∥DC,AB=1,DC=2, AD ? 外一点,PAD 是正三角形,且 PA⊥AB, 求: (1)平面 PBC 和平面 PAD 所成二面角的大小; (2)D 点到平面 PBC 的距离. 解: (1)设 AD∩BC=E,可知 PE 是平面 PBC 和平面 PAD 的交线,依题设条件得 PA=AD=AE,则∠ EPD=90°,PD⊥PE 又 PA⊥AB,DA⊥AB,故 AB⊥平面 PAD.

??? ???? ? ?

1 . 即 Q 为 A1C1 的中点 2

2 ,P 为平面 ABCD

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∵ DC∥AB,∴ DC⊥平面 PAD. 由 PE⊥PC 得 PE⊥PD, ∠DPC 是平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的平面角.PD ? tan ?DPC ? DC=2, 2,

DC ? 2 , ?DPC ? arctan 2 . PD

(2)由于 PE⊥PD,PE⊥PC,故 PE⊥平面 PDC, 因此平面 PDC⊥平面 PBC, 作 DH⊥PC,H 是垂足,则 DH 是 D 到平面 PBC 的距离. 在 Rt△PDC 中, PD ?

2 ,DC=2, PC ? 6 , DH ?

PD ? DC 2 3 . ? PC 3 2 3 . 3

平面 PBC 与平面 PAD 成二面角的大小为 arctan 2 ,D 到平面 PBC 的距离为 [例 8] 半径为 1 的球面上有 A、B、C 三点,A 与 B 和 A 与 C 的

? ? 球面距离都是 2 ,B 与 C 的球面距离是 3 ,求过 A、B、C 三点的截面到
球心 O 距离.

分析 : 转化为以球心 O 为顶点,△ABC 为底面的三棱锥问题解决.

由题设知△OBC 是边长为 1 的正三角形,△AOB 和△AOC 是腰长为 1 的全等的 等腰三角形.

取 BC 中点 D,连 AD、OD,易得 BC⊥面 AOD,进而得面 AOD⊥面 ABC,过 O 作 OH⊥AD 于 H,则 OH⊥面 ABC,OH 的长即为

所求,在 Rt ?ADB 中,AD=

7 2

,故在 Rt ?AOD ,OH=

AO?OD AD

?

21 7

点评: 本题若注意到 H 是△ABC 的外心,可通过解△ABC 和△AHO 得 OH.或利用体积法.

四、典型习题导练 0 1.在平面角为 60 的二面角 ? ? l ? ? 内有一点 P,P 到α 、β 的距离分别为 PC=2cm,
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PD=3cm,则 P 到棱 l 的距离为____________. 2.异面直线 a , b 所成的角为 60 ? ,过空间一定点 P,作直线 l ,使 l 与 a ,b 所成的角均 为 60 ? ,这样的直线 l 有 条. 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, F 分别是 AB 和 AD 的中点, E, 则点 A1 到平面 EFB1D1 的距离为 4.二面角 ? - l - ? 内一点 P,分别作两个面的垂线 PA、PB,A、B 为垂 足.已知 PA=3,PB=2,∠APB=60°求 ? - l - ? 的大小及 P 到 l 的距离. 5.ABCD 是边长为 4 的正方形,CG⊥面 ABCD,CG = 2.E、F 分别是 AD、 AB 的中点.求点 B 到面 EFG 的距离. 6.如图: 二面角 α - l -β 为锐角, 为二面角内一点, 到 α 的 距 P P 离为 2 2 ,到面β 的距离为 4,到棱 l 的距离为 4 2 ,求二面角 α - l -β 的大小. 7.如图,已知三棱柱 A1B1C1-ABC 的底面是边长为 2 的正三角形, 侧棱 A1A 与 AB、AC 均成 45°角,且 A1E⊥B1B 于 E,A1F⊥CC1 于 F. (1)求点 A 到平面 B1BCC1 的距离; (2)当 AA1 多长时,点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等.

§6.5 空间几何体及投影 一、知识导学 1. 了解投影(投影线通过物体,向选定的面透射,并在该面上得到图形的方法)、中心投 影(投射线交于一点的投影称为中心投影)、平行投影(投影线互相平行的投影称为平 行投影)、斜投影(平行投影投射方向不是正对着投影面的投影)、正投影(平行投影 投射方向正对着投影面的投影)的概念. 2. 了解三视图的有关概念(视图是指将物体按正投影向投影面投 射所得到的图形.光线 自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图,自上而下的称为俯视图, 自左向右的称为左视图,用这三种视图刻画空间物体的结构,称之为三视图);了解三 视图画法规则,能作出物体的三视图. 3. 注意投影和射影的关系,以及在解题中的作用. 二、疑难知识导析 1.三视图间基本投影关系的三条规律:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐, 俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正,高平齐,宽相等”;看不见的画虚线. 2.主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右;俯视图的上、下、左、右对应物 体的后、前、左、右;左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前. 三、经典例题导讲 [例 1]如图,该物体的俯视图是( ).

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错解:B. 错因:投影方向不对. 正解:C. [例 2] 如图所示的正方体中,E、F 分别是 AA1,D1C1 的中点,G 是正方形 BDB1D1 的中心,则空间 四边形 AGEF 在该正方体面上的投影不可能是( )

C1 A1

F B1

D1

G E C D

A

B

A 错解:C. 正解:D

B

C

D

[例 3]水平放置的△ABC 有一边在水平线上,它的直观图是正△A1B1C1,则△ABC 是( A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 错解:B. 错因:不熟悉斜二侧画法的规则. 正解:C. [例 4] 正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( ).
2



?a 2 A. 3
错解:A.

?a 2 B. 2

C. 2?a

2

D. 3?a

2

错因:对正方体和球的关系理解不清.

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正解:B.正方体的对角线就是球的直径.
A [例 5](06 年江西卷)如图,在四面体 ABCD 中, 截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切 的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果 O 截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 D A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, 2, S F 则必有( ) A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大 B E 小关系不能确定 C 解:连 OA、OB、OC、OD 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的 内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AEF 公共,故选 C

[例 6]正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45°角,求侧棱与底 面所成角的正切值. 解:解法一 如图,设 O1,O 为上下底面正三角形的中心,连 接 O1O,A1O1 交 A1B1 于 D1,AO 交 AB 于 D.连接 D1D.易证 A1O1⊥B1C1, AD⊥BC, 1D⊥BC, A1, 1 分别作 A1E⊥底面 ABC, 1F⊥底面 ABC, D 过 D D 易证 E、F 在 AD 上. 因为正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45°的二面角,所以∠D1DA=45°.因此 A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为 a,b,则 AD= 2 b,A1D1= 2 a.
1 所以 A1E=O1O=D1F=FD= 3 (b-a).
2
3 3

?

3 3 1 2 b- 3 ? 2

a

= 6

3

AE= 3

?

3 2

b? 2? 3
A1 E

3 2

a?
1 2 .

3 3 (b-a).

所以 tan∠A1AE= AE

?

解法二 如图,延长 AA1,BB1,CC1,则 AA1,BB1,CC1 相 交于一点 S.显然点 S 在 DD1 的延长线上.由解法一得知, ∠SDA 为二面角 S-BC-A 的平面角,故∠SDA=45°. 所以 在 RtΔ SOD 中,SO=OD,

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因为 AO=2?OD,所以 tan∠SAO= AO

SO

?

OD AO

?

1 2.

点评:由此例可以看出,在解决棱台的问题时,“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问 题是一种快捷方便的方法. [例 7] 粉碎机的下料斗是正四棱台形,如图所示,它的两底 面边长分别是 80 mm 和 440 mm,高是 200 mm,计算: (1)这个下料斗的体积; (2)制造这样一个下料斗所需铁板的面积(保留两个有效数 字)? 分析:要求下料斗所需铁板的面积,就是求正四棱台的侧面 积.正四棱台的侧面积公式是 S 侧=
2 2

1 (c+c' )h'. 2
2 2

解: (1)因为 S 上=440 mm ,S 下=80 mm ,h=200 mm

1 所以V正四棱台= (S上+S下+ S上S下 )h 3 1 = (4402+802+440 ? 80) 200 ? 3 47040000 = ? 1.6 ?107 m 3 (m ) 3
(2)下底面周长 c'=4?80=320mm, 下底面周长 c=4?440=1760mm,

440-80 2 2002+( ) ? 269 m ) (m 2 斜高 h'= 1 1 5 2 S 正棱台侧= 2 (c+c' )h'= 2 (1760+320)?269≈2.8?10 (mm )
答:这个下料斗的体积约为 1.6?10 mm ,制造这样一个下料斗需铁板约 2.8?10 mm . 点评:对于实际问题,须分清是求几何体的表面积,还是求侧面积,还是求侧面积与一个底 面面积的和,还是求体积. 四、典型习题导练 1.一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为( ) A.长方形、圆、矩形 B.矩形、长方形、圆 C.圆、长方形、矩形 D.长方形、矩形、圆 2.直角三角形绕它最长边(即斜边)旋转一周得到的几何体为( )
7 3 5 2

3.下列平面图中不能围成立方体的是( ).

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4.从七边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把七边形分成_____ 个三角形. 5. 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2,求球 的表面积.

第七章

平面解析几何初步

§7.1 直线和圆的方程 一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2)在坐标平面上什么位置,都有
2 2 d=|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=| x 2- x 1|或

|AB|=| y 2- y 1|. 2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2),P( x , y ) 之间数量关系的一个公式,其中λ 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比. 这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ 的值也就随之确定了.若以

? ?x ? ? A 为起点,B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是 ? ?y ? ? ? x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 λ =1,此时中点坐标公式是 ? . y1 ? y 2 ?y ? ? 2 ?

x1 ? ?x2 1? ? .当 P 点为 AB 的中点时, y1 ? ?y 2 1? ?

3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率 k 与倾斜角α 之间的关系是 k =tanα . 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 形式的直线方程的适用范围. 名称 斜截式 方程 说明 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式

y ? kx ? b

k 为直线的斜率
b 为直线的纵截距 ( x0 , y0 ) 为直线上的

点斜式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1

已知点, k 为直线的斜率 两点式 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 )是直 线上两个已知点

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截距式

x y + =1 a b

a 为直线的横截距
b 为直线的纵截距

过(0,0)及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式 A、B 不全为零

一般式

Ax ? By ? C ? 0

?

A C C , ? , ? 分别 B A B

为斜率、横截距和纵截距 5. 两条直线的夹角。 当两直线的斜率 k 1 , k 2 都存在且 k 1 ? 2 ≠ -1 时, tanθ = k

k 2 ? k1 , 1 ? k1 k 2

当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到: “到角”公式与“夹角”公式的 区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率 都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件 来判断. (1) 斜率存在且不重合的两条直线 l 1∶ y ? k1 x ? b1 , l 2∶ y ? k 2 x ? b2 , 有以下结论: ① l 1∥ l 2 ? k 1 = k 2 ,且b1=b2 ② l 1⊥ l 2 ? k 1 ? k 2 = -1 (2)对于直线 l 1∶ A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2


A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,当 A 1, A 2, B 1,

B 2 都不为零时,有以下结论:
① l 1∥ l 2 ?

A1 B1 C = ≠ 1 A2 B 2 C 2
2

② l 1⊥ l 2 ? A 1 A 2+ B 1 B ③ l 1 与 l 2 相交 ?

= 0

A1 B ≠ 1 A2 B2 A1 B1 C1 = = A2 B 2 C 2

④ l 1 与 l 2 重合 ?

7.点到直线的距离公式. (1)已知一点 P( x0 , y0 )及一条直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离

d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



( 2 ) 两 平 行 直 线 l 1: Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2: Ax ? By ? C2 ? 0 之 间 的 距 离 d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

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8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之 间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,其中( a ,b)是圆心坐标, r 是圆的 半径; (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F >0) ,圆心坐标

为(-

D E D 2 ? E 2 ? 4F ,- ) ,半径为 r = . 2 2 2

二、疑难知识导析 1.直线与圆的位置关系的判定方法. (1)方法一 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

? Ax ? By ? C ? 0 ? ? ?消元 一元二次方程 ?判别式 ? ?? ? ? 2 △?b 2 ? 4 ac x ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?

?△? 0 ? 相交 ? ?△? 0 ? 相切 ?△? 0 ? 相离 ?

(2)方法二 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心( a ,b)到 直线的距离为 d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

?d ? r ? 相离 ? ?d ? r ? 相切 ?? ? ?d ? r ? 相交 ?

2.两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r 1, r 2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|> r 1+ r 2 ? 两圆外离; |O1O2|= r 1+ r 2 ? 两圆外切; | r 1- r 2|<|O1O2|< r 1+ r 2 ? 两圆相交; | O1O2 |=| r 1- r 2| ? 两圆内切; 0<| O1O2|<| r 1- r 2| ? 两圆内含. 三、经典例题导讲 [例 1]直线 l 经过 P(2,3),且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解:设直线方程为:

x y 2 3 ? ? 1 ,又过 P(2,3),∴ ? ? 1 ,求得 a=5 a b a b x y ? ? 1 的条件是: a ≠0 且 b≠0,本题忽略了 a ? b ? 0 这一情 a b 3?0 3 ? , 2?0 2

∴直线方程为 x+y-5=0. 错因: 直线方程的截距式: 形. 正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为: k ?

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∴直线方程为 y=

3 x 2 3 x . 2

综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0 或 y=

[例 2]已知动点 P 到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方,求动点 P 的轨迹 方程. 错解:设动点 P 坐标为(x,y).由已知 3 x ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 , 化简 3 x =x -2x+1+y -6y+9 . 当 x≥0 时得 x -5x+y -6y+10=0 . ① 2 2 当 x<0 时得 x + x+y -6y+10=0 . ② 错因:上述过程清楚点到 y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方 程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 5 2 21 2 (x- ) +(y-3) = ① 2 4 和 1 2 3 2 (x+ ) +(y-3) = 2 4 ②
2 2 2 2

两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 5 2 21 1 2 2 2 正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x- ) +(y-3) = ,方程②化为(x+ ) +(y-3) = 2 4 2 3 5 2 21 2 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点 P 的轨迹方程为: (x- ) +(y-3) = 4 2 4 (x≥0) 2 2 2 2 [例 3]m 是什么数时,关于 x,y 的方程(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图象表示一个 圆? 2 2 错解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 ∴当 m=1 或 m=-3 时,x 和 y 项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆 2 2 错因:A=C,是 Ax +Cy +F=0 表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是: F A=C≠0 且 <0. A 正解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 (1) 当 m=1 时,方程为 2x +2y =-3 不合题意,舍去.
2 2 2 2 1 (2) 当 m=-3 时,方程为 14x +14y =1,即 x +y = ,原方程的图形表示圆. 14 2 2

[例 4]自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线方程. 错解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3),于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

2k ? 2 ? 3k ? 3


k2 ?1

?

5k ? 5 k2 ?1

?1

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整理得 12k -25k+12=0 解得 k=

2

4 3

L′的方程为 y+3=

4 (x+3) 3

即 4x-3y+3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0. 错因:漏解 正解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3), 于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

2k ? 2 ? 3k ? 3 k2 ?1

?

5k ? 5 k2 ?1

?1

即 2 整理得 12k -25k+12=0 解得 k=

4 3 或 k= 3 4
4 3 (x+3);或 y+3= (x+3)。 3 4

L′的方程为 y+3=

即 4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. [例 5] 求过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点, 且满足下列条件之 一的圆的方程: (1) 过原点; (2)有最小面积. 解:设所求圆的方程是: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? ? ?x ? 2 y ? 4? ? 0 即: x 2 ? y 2 ? ?2 ? ? ?x ? 2?2 ? ? ?y ? 1 ? 4? ? 0 (1)因为圆过原点,所以 1 ? 4? ? 0 ,即 ? ? ? 故所求圆的方程为: x ? y ?
2 2

1 4

7 7 x? y ?0. 4 2
2

(2) 将圆系方程化为标准式,有:

2??? 5? 2? 4 ? 2 ?x ? ? ? ?y ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4? 5? 5 ?
2

当其半径最小时,圆的面积最小,此时 ? ? ?
2

2 为所求. 5
2

4? ? 8? 4 ? 故满足条件的圆的方程是 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 5? ? 5? 5 ?
点评: (1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待 定系数法。 (2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面 积最小.
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[例 6]06 年辽宁理科) ( 已知点 A( x1 , y1 ), x2 , y2 ) x1 x2 ≠0) B( ( 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点,O 是坐标原点,向量 OA, OB 满足| OA ? OB |=| OA ? OB |.设圆 C 的 方程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (1)证明线段 AB 是圆 C 的直径; (2)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时,求 p 的值. 5
2 2

解: (1)证明 ∵| OA ? OB |=| OA ? OB |,∴( OA ? OB ) =( OA ? OB ) , 整理得: OA? OB =0 ∴ x1 x2 + y1 y 2 =0

设 M( x, y )是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA? MB =0 即

( x ? x1 )(x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y 2 ) =0

整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径. (2)设圆 C 的圆心为 C( x, y ) ,则

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
∵ y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ( p ? 0)
2 2

y y2 ∴ x1 x 2 ? 1 2 4p

2

2

又∵ x1 x2 + y1 y 2 =0 , x1 x2 =- y1 y 2 ∴- y1 y 2 ?

y1 y 2 4 p2

2

2

∵ x1 x2 ≠0,∴ y1 y 2 ≠0 ∴ y1 y 2 =-4 p
2

x?

x1 ? x2 1 1 1 2 2 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ? y1 y 2 2 4p 4p 4p
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1 (y2 ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为d,则



| x ? 2y | 5

| ?

1 2 (y ? 2 p2 ) ? 2y | p 5
p 5

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p 5


当 y = p 时,d有最小值 ∴ p =2. 四、典型习题导练

,由题设得

2 5 5

y y=2x+b

1. 直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的 圆心角为 A. ( )
O B

A

π π π π B. C. D. 6 4 3 2 2 2 2.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1) +y =4 相切 ,那么 a 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数 x、y 满足等式(x-2) +y =3,则
2 2

1

x

y 的最大值 x

为: . 2 2 4.设正方形 ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为 x +y -6x+a=0(a<9) ,C、D 点 所在直线 l 的斜率为

1 . 3

(1)求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率; (2)如果在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线 l 的方程; (3)如果 ABCD 的外接圆半径为 2 5 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以 x 轴为对称轴 的抛物线上,求此抛物线的方程及直线 l 的方程. 2 2 5.如图,已知圆 C: (x+4) +y =4。圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切。圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,点 P 为(-3,0). (1)若点 D 坐标为(0,3) ,求∠APB 的正切值; (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的正切值的最大值; (3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求 出点 Q 坐标;如果不存在,说明理由.

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§7.2 圆锥曲线 一、知识导学 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹
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x2 y2 y2 x2 2.椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b a b
3 椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数
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e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 4.椭圆的准线方程 对于

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x2 y2 a2 a2 ? 2 ? 1 ,左准线 l1 : x ? ? ;右准线 l 2 : x ? c c a2 b

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y2 x2 a2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,下准线 l1 : y ? ? ;上准线 l 2 : y ? c c a b
5.焦点到准线的距离 p ?

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a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? (焦参数) c c c
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椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 6 椭圆的参数方程 ?
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? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

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7.双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1 F2 )的动 点的轨迹叫双曲线
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即 MF1 ? MF 2 ? 2a 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距
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离叫做焦距 8.双曲线的标准方程及特点: (1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2

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2 2 y 轴上时双曲线的标准方程为: y ? x ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 焦点在 a2 b2

(2) a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0
2 2 2

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其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b

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9 焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、y 项的分
2
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2

母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的
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正负来判断焦点所在的位置,即 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 项的系数是正
2

2

的,那么焦点在

y 轴上

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10.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性 由标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,从横的方向来看,直线 x=- a ,x= a 之间没有图象,从纵的方向来 a2 b2

看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那 样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心 (2)顶点
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顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b? 实轴: A1 A2 长为 2 a ,

a 叫做半实轴长 虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长
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双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 (3)渐近线 过双曲线

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b x y x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线 y ? ? x ( ? ? 0 ) 2 a a b a b

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(4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

2c c ? ,叫做双曲线的离心率 范围: e ? 1 2a a
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b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e 2 ? 1 ,e 越大,即渐近线的斜 2 a a a
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率的绝对值就大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知,双曲线的离心率越 大,它的开口就越阔
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11. 双曲线的第二定义: 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ?
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c (c ? a ? 0) a
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的点的轨迹是双曲线 其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 是双曲线的离心率. 12.双曲线的准线方程:
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常数 e

x2 y2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 来说,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应着左准线 l1 : x ? ? ,相对于右焦点 c a b

F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ?

a2 ; c

焦点到准线的距离 p ?

b2 (也叫焦参数) c

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对于

y2 x2 a2 ? 2 ? 1 来说,相对于上焦点 F1 (0, c) 对应着上准线 l1 : y ? ;相对于下焦点 c a2 b

a2 F2 (0,?c) 对应着下准线 l 2 : y ? ? c
抛物线
y

y
y

y l O

图 形
l

x
F
O F

x

F

F
O

x

O l
l

x

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 x?? p 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2 y?? p 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

13 抛物线定义:
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平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线
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的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线

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二、疑难知识导析 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几 何性质都存在着相似之处,也有着一定的区别,因此,要准确地理解和掌握三种曲线的特点 以及它们之间的区别与联系 1.等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双
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曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ? 2.共渐近线的双曲线系
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2

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如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线方程就一定 a ka
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是:

x2 y2 x2 y2 ? ? ?1(k ? 0) 或写成 2 ? 2 ? ? a b (ka) 2 (kb) 2

3.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法: 1 变为-1 将 4.抛物线的几何性质 (1)范围
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因为 p>0,由方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸. (2)对称性 以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中,当 y=0 时,x=0, 因此抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点. (4)离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示.由 抛物线的定义可知,e=1. 19 抛物线的焦半径公式:
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2 p p 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ? ? ? x0

2

2

2 p p 抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) , PF ? x0 ? ? ? x0

2

2

2 p p 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ? ? ? y0

2

2

2 p p 抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ? ? ? y0

2

2

三、经典例题导讲 [例 1]设双曲线的渐近线为: y ? ?

3 x ,求其离心率. 2

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错解:由双曲线的渐近线为: y ? ? 剖析:由双曲线的渐近线为 y ? ? y 轴上时,

3 b 3 c b2 13 x ,可得: ? ,从而 e ? ? 1 ? 2 ? 2 a 2 a 2 a

3 x 是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当焦点的位置在 2

b 2 ? ,故本题应有两解,即: a 3

e?

13 c b2 13 或 . ? 1? 2 ? 3 a 2 a

[例 2]设点 P(x,y)在椭圆 4x 2 ? y 2 ? 4 上,求 x ? y 的最大、最小值. 错 解 : 因 4x 2 ? y 2 ? 4
2 ∴ 4x ? 4 , 得 : ? 1 ? x ? 1 , 同 理 得 : ? 2 ? y ? 2 , 故

?3? x ? y ? 3

∴最大、最小值分别为 3,-3.

剖析:本题中 x、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件 4x 2 ? y 2 ? 4 的约束.当 x=1 时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3.其实本题只需令 x ? cos? , y ? 2 sin ? , 则 x ? y ? cos? ? 2 sin ? ? 5 sin(? ? ? ) ,故其最大值为 5 ,最小值为 ? 5 . [例 3]已知双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点 F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程. 错解一: ? x ?

a2 ? 4, c ? 10,? a 2 ? 40,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 60. 故所求的双曲线方程为 c

x2 y2 ? ? 1. 40 60
错解二: 由焦点 F (10,0) 知 c ? 10, ? e ?

c ? 2,? a ? 5, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 75. a

x2 y2 ? ? 1. 故所求的双曲线方程为 25 75
错因: 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点, 而题中并没有告诉中心在原点这个条 件。由于判断错误,而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件,都会产生错误解法. 解法一: 设 P( x, y) 为双曲线上任意一点, 因为双曲线的右准线为 x ? 4 , 右焦点 F (10,0) ,
2 2 e ? 2 ,由双曲线的定义知 ( x ? 10 ) ? y ? 2. 离心率 | x?4|

整理得

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48

解法二: 依题意,设双曲线的中心为 (m,0) ,
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?a2 ? ?m?4 ?c ? ?c ? m ? 10 解得 ?c ? ? 2. ?a ?

?a ? 4 ? 2 2 2 ?c ? 8 ,所以 b ? c ? a ? 64 ? 16 ? 48, ? m ? 2. ?

故所求双曲线方程为

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48
3 3 ,已知点 P(0, ) 到这个 2 2

[例 4]设椭圆的中心是坐标原点,长轴 x 在轴上,离心率 e ?

椭圆上的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程.

错解:依题意可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2



e2 ?

c2 a2 ? b2 b2 3 ? ? 1? 2 ? , 4 a2 a2 a
a ? 2b.

所以

b2 1 ? ,即 a2 4

设椭圆上的点 ( x, y ) 到点 P 的距离为 d , 则

3 d 2 ? x2 ? ( y ? )2 2

y2 9 ) ? y 2 ? 3y ? 2 4 b 1 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3. 2 ? a 2 (1 ?
所以当 y ? ? 所以

1 2 时, d 有最大值,从而 d 也有最大值。 2

4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,由此解得: b 2 ? 1, a 2 ? 4.
x2 ? y 2 ? 1. 4

于是所求椭圆的方程为

错因: 尽管上面解法的最后结果是正确的, 但这种解法却是错误的。 结果正确只是碰巧而已。 由当 y ? ?

1 2 时, d 有最大值,这步推理是错误的,没有考虑 y 到的取值范围.事实上,由 2
2

于点 ( x, y ) 在椭圆上,所以有 ? b ? y ? b ,因此在求 d 的最大值时,应分类讨论.
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正解:若 b ?

1 2 ,则当 y ? ?b 时, d (从而 d )有最大值. 2 3 2 3 1 1 2 于是 ( 7 ) ? (b ? ) , 从而解得 b ? 7 ? ? , 与b ? 矛盾 . 2 2 2 2 1 1 2 所以必有 b ? ,此时当 y ? ? 时, d (从而 d )有最大值, 2 2
所以 4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,解得 b 2 ? 1, a 2 ? 4.

于是所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

x2 y2 [例 5]从椭圆 2 ? 2 ? 1 ,( a >b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1, a b
A、B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2
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与椭圆交于另一点 P,若⊿F1PQ 的面积为 20 3 ,求此时椭圆的方程 解:本题可用待定系数法求解
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∵b=c, a = 2 c,可设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1 2c 2 c

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∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c), k AB b
2 2

代入椭圆方程整理得 5x -8cx+2c =0, 根据弦长公式,得 PQ=

6 2 c, 5

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ? 20 3,得c 2 ? 25, c ,由 2 5 5

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

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? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 A、B 两点,求 [例 6]已知椭圆: 9
弦 AB 的长
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解:a=3,b=1,c=2 2 ;

则 F(-2 2 ,0)

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由题意知: l : y ?

1 3

(x ? 2 2) 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 9

4 x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理, x1 ? x2 ? ?3 2

x1 ? x 2 ?

x ? x2 15 3 2 , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, ?? 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
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2 3

18 ? 15 ? 2

点评:也可利用“焦半径”公式计算

[例 7] (06 年全国理科)设 P 是椭圆 个动点,求|PQ|的最大值.

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一 2 a

2 2 解: 依题意可设 P(0,1) ,Q( x, y ) ,则|PQ|= x ? ( y ? 1) ,又因为 Q 在椭圆上,

所以, x 2 ? a 2 (1 ? y 2 ) ,|PQ| = a 2 (1 ? y 2 ) ? y 2 ? 2 y ? 1 = (1 ? a 2 ) y 2 ? 2 y ? 1 ? a 2
2

1 2 1 ) ? ?1? a2. 2 2 1? a 1? a 1 1 | ≤1,当 y ? 因为 | y | ≤1, a >1,若 a ≥ 2 ,则 | 时,|PQ|取最大值 2 1? a 1? a2
= (1 ? a )( y ?
2

a2 a2 ?1 ;若 1< a < 2 ,则当 y ? ?1 时,|PQ|取最大值 2. a2 ?1
[例 8]已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为

3 的直线,交双曲线于 5

M、N 两点,且 MN =4,求双曲线方程

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解:设所求双曲线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由右焦点为(2,0) 知 C=2,b2=4- a 2 2 a b
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则双曲线方程为

x2 y2 3 ? ? 1 ,设直线 MN 的方程为: y ? ( x ? 2) ,代入双曲线方程 2 2 5 a 4?a
2 2 2 4 2

整理得:(20-8 a )x +12 a x+5 a -32 a =0

? 12a 2 5a 4 ? 32a 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 20 ? 8a 2 20 ? 8a 2

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? ? ? MN ? 1 ? ? 3 ? ? ? 5? ? ?
8 ? ? 5
解得
2

2

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2

? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? ? 4? ?4 ? 20 ? 8a 2 ? 20 ? 8a 2 ? ?
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a 2 ? 1 ,?b 2 ? 4 ? 1 ? 3
2

故所求双曲线方程为: x ?

y2 ?1 3

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点评: 利用待定系数法求曲线方程, 运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体 代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟练掌握 四、典型习题导练
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1. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点, a2 b2


过 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是 ( A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分. 2 2.已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点 的距离是 5,则 p=

.

3.平面内有两定点 A(?1,0)和B( , 1 0),在圆( ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上,求一点 P 使 x

AP ? BP 取得最大值或最小值,并求出最大值和最小值.
2 2

4.已知椭圆

x2 y2 2 2 2 20 .(1)若圆(x-2) +(y-1) = 与椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 2 a b

相交于 A、 两点且线段 AB 恰为圆的直径, B 求椭圆方程; (2) L 为过椭圆右焦点 F 的直线, 设 交椭圆于 M、N 两点,且 L 的倾斜角为 60 ,求
0

MF NF

的值.

5.已知抛物线方程为 y 2 ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛 物线截得的弦长为 3,求 p 的值. 6.线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m>0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2 m ,以 x 轴 为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线 (1)求抛物线方程;
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,求m 的取值范围 (2)若 tg?AOB ? ?1
§7.3

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点、直线和圆锥曲线

一、知识导学 1. 点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系
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x2 y2 x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦点为 F1、F2, 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b a b
的焦点为 F1、F2, y 2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线 的距离为 d,则有:

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直线 l ∶Ax+B y +C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的 直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线 只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为: 设直线 l :Ax+By+C=0,圆锥曲线 C:f(x,y)=0,由 ?
2 2

?Ax ? By ? C ? 0 ? f(x,y) ? 0

消去 y(或消去 x)得:ax +bx+c=0,△=b -4ac,(若 a≠0 时), △>0 ? 相交 △<0 ? 相离 △= 0 ? 相切 注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不 是充分条件. 二、疑难知识导析 1.椭圆的焦半径公式:(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离 心率。 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ?

? MF1 ? a ? ey0 ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆 MF2 ? a ? ey0 ?
可以记为:左

的下上焦点). 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关
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加右减,上减下加. 2.双曲线的焦半径 定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F1 , F2 的连线段,叫做双曲线的焦半径. 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ex0 ?? ? MF2 ? a ? ex0
焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ey0 ?? ? MF2 ? a ? ey0

( 其中 F1 , F2 分别是双曲线的下上焦点)

3.双曲线的焦点弦: 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式: 当双曲线焦点在 x 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) ; 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 。 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) ; 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 。 4.双曲线的通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦

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d?

2b 2 . a

5.直线和抛物线 (1)位置关系: 相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点). 联立 ?

? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 ? y ? 2 px

当 a ? 0 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点) ; 当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点) ; ? ? 0 ,一个公共点(切点) ; ? ? 0 ,无公共点 (相离). (2)相交弦长: 弦长公式: d ?

? 1? k 2 . a

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(3)焦点弦公式: 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) . 抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) . 抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) . 抛物线 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) . (4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 (5)常用结论:
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通径: d ? 2 p .

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) ? y2 ? y ? p 2 ? 0 和 k 2 x 2 ? (k 2 p ? 2 p) x ? ?0 ? 2 k 4 ? y 2 ? 2 px ?

? y1 y2 ? ? p 2 和 x1 x 2 ?
三、经典例题导讲

p2 . 4

[例 1]求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y ? 2 x 仅有一个交点.
2

错解: 设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 ,则它与抛物线的交点为

? y ? kx ? 1 ? 2 2 ? y ? 2 x ,消去 y 得 (kx ? 1) ? 2x ? 0. 整理得

k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0.
1 1 . ? y ? x ? 1. 2 2 所求直线为

? 直线与抛物线仅有一个交点,? ? ? 0, 解得

k?

正解: ①当所求直线斜率不存在时, 即直线垂直 x 轴, 因为过点 (0,1) , 所以 x ? 0, 即 y 轴, 它正好与抛物线 y ? 2 x 相切.②当所求直线斜率为零时,直线为 y = 1 平行 x 轴,它正好
2 2 与 抛 物 线 y ? 2 x 只 有 一 个 交 点 . ③ 一 般 地 , 设 所 求 的 过 点 (0,1) 的 直 线 为

? y ? kx ? 1 y ? kx ? 1 (k ? 0) ,则 ? 2 , ? y ? 2x

1 1 ? k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k = 2 ,∴ 所求直线为 y ? x ? 1. 2 1 综上,满足条件的直线为: y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2
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[例 2]已知曲线 C: y ?

20 ? x 2 与直线 L: y ? ? x ? m 仅有一个公共点,求 m 的范围. 2

错解:曲线 C: y ?

2 2 ?y ? ?x ? m 20 ? x 2 可化为 x ? 4 y ? 20①,联立 ? 2 ,得: 2 2 ? x ? 4 y ? 20

5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 20 ? 0 ,由Δ =0,得 m ? ?5 .
错因:方程①与原方程并不等价,应加上 y ? ?0,???. 正解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图) ,结合 图形易求得 m 的范围为 m ? 5或 ? 2 5 ? m ? 2 5 . 注意: 在将方程变形时应时时注意范围的变化, 这样才不会出 错. [例 3]已知双曲线 x ?
2

y

o

x

y2 ? 1 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P 2

为 AB 中点. 错解: (1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求.

y2 ? 1 并整理得: (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,代入 x ? 2
2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ?

2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ?2 ,又∵ x1 ? x2 ? 2 ∴ 2 2?k 2?k2

解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的. 正解:接以上过程,考虑隐含条件“Δ >0” ,当 k=2 时代入方程可知Δ <0,故这样的直线不 存在. [例 4]已知 A、B 是圆 x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点,CD 是垂直于 AB 的动弦,直线 AC 和
2 2

DB 相交于点 P,问是否存在两个定点 E、F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在,求 y 出 E、F 的坐标;若不存在,请说明理由. P 解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ), C 设 P ( x, y ), C ( x0 , y0 ) , 则 D ( x0 ,? y 0 ), 由 A、C、P 三点共线得

y0 y ? x ? 1 x0 ? 1 ? y0 y ? x ? 1 x0 ? 1



A

O D

B

x

由 D、B、P 三点共线得



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①?② 得

?y y2 ? 20 2 x ? 1 x0 ? 1
2



又 x0 ? y0 ? 1 ,
2 2

∴ y0 ? 1 ? x0 , 代入③得 x 2 ? y 2 ? 1 ,
2 2

即点 P 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上, 故由双曲线定义知,存在两个定点 E (- 2 , 0 )、 F ( 2 , 0 )(即此双曲线的焦点) ,使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴 长为定值). [例 5]已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,

10 ,求椭圆的方程. 2 x2 y2 解:设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1. a b
且 OP⊥OQ,|PQ|= 依题意知,点 P、Q 的坐标满足方程组: ?x 2 y2 ? 2 ? 2 ? 1    ① ?a b ?y ? x ? 1     ② ? 将②代入①,整理得 ③ (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 , 设方程③的两个根分别为 x1 、 x2 ,则直线 y=x+1 和椭圆的交点为 P( x1 , x1 +1),Q( x2 , x2 +1) 由题设 OP⊥OQ,|OP|=

10 ,可得 2

? x1 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? x ? ?1 ? 1 2 ? 10 2 ? 2 2 ?( x 2 ? x1 ) ? [(x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( 2 ) ?
整理得

?( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 0       ① ? 2 ?4( x1 ? x 2 ) ? 16x1 x 2 ? 5 ? 0     ②
解这个方程组,得

1 ? ? x1 x 2 ? 4 ? ? ?x ? x ? ? 3 2 ? 1 2 ?

1 ? ? x1 x 2 ? ? 4 ? 或 ? ?x ? x ? ? 1 2 ? 1 2 ?

根据根与系数的关系,由③式得

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? 2a 2 3 ? ? 2 2 ?a ? b 2 (1) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? 1 ? a2 ? b2 4 ?
解方程组(1)、(2)得

? 2a 2 1 ? ? 2 2 ?a ? b 2 或 (2) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? ? 1 ? a2 ? b2 4 ?

?a 2 ? 2 ? ? 2 2 ?b ? 3 ?
x2 y2 ? 2 2 3

? 2 2 ?a ? 或? 3 ?b 2 ? 2 ?
=1 , 或

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 2 2 3

[ 例 6] ( 06 年 高 考 湖 南 ) 已 知 椭 圆 C1 :

x2 y2 ? 4 3

= 1 , 抛 物 线 C2 :

(1)当 AB⊥ x 轴时, ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。 4 求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)若 p = ,且抛物线 C2 的 3 焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程. 解: (1)当 AB⊥ x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m =0,直线 AB 的方程为 x =1, 3 3 从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ) , 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p , p = . 4 8 9 此时,抛物线 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16 (2)当抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上时,由(1)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4 设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x2 , y2 ). 、
则 x1 , x2 是方程①的两根, x1 + x2 =



8k 2 . 3 ? 4k 2

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是 C2 的焦点的弦, 所以|AB|= (2- 且

1 1 1 x1 )+(2- x 2 )=4- ( x1 ? x 2 ) , 2 2 2

p p 4 )+( x 2 ? )= x1 ? x2 ? p = x1 ? x 2 ? . 2 2 3 4 1 从而 x1 ? x 2 ? =4- ( x1 ? x 2 ) 3 2
|AB|=( x1 ?

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所以 x1 ? x 2 ?

16 16 8k 2 ? ,即 2 9 9 3 ? 4k


解得 k ? ? 6 . 因为 C2 的焦点 F ( 即m ? ?

2 1 , m )在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k , 3 3

6 3 6 当m ? 时直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 当m ? ? 时直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3
四、典型习题导练 1.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 l:y=2x+1 截得的弦长为 15 ,则抛 物线方程为 2 2 2.直线 m:y=kx+1 和双曲线 x -y =1 的左支交于 A、B 两点,直线 l 过点 P(-2,0)和线 段 AB 的中点,则直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为 3.已知椭圆C∶

x2 y2 ? ? 1上存在关于直线∶y ? 2 x ? m对称的两点, l 9 4

试求 m 的取值范围.

4. 设过原点的直线 l 与抛物线 y =4(x-1)交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过抛物 线的焦点 F, (1)求直线 l 的方程; (2)求|AB|的长. 2 5. 如图,过抛物线 y =4x 的顶点 O 作任意两条互相垂直的弦 OM、ON, 求(1)MN 与 x 轴交点的坐标;(2)求 MN 中点的轨迹方程. 3 9.设曲线 C 的方程是 y=x -x,将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动 t,s 单 位长度后得曲线 C1. (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A(

2

t s , )对称; 2 2

(3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明 s=

t3 ? t 且 t≠0. 4

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§7.4 轨迹问题 一、知识导学 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个 二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线 叫做方程的曲线. 2.点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0, 则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y0)=0; 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ?

? f1 ( x0 , y 0 ) ? 0 ? ? f 2 ( x0 , y 0 ) ? 0

方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就 没有交点. 3.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 4.坐标变换 (1)坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴 的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变, 仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改 变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴. (2)坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是(x,y), 在新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的 坐标是(h,k),则

或 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 二、疑难知识导析 1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意: (1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合; (2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审 题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式, 把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言; (3)注意挖掘题目中的隐含条件; (4)注意反馈和检验. 2.求轨迹方程的基本方法有: (1)直接法:若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成 x,y 的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是:建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整 理. (2)定义法:即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线 的定义建立方程.
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? x ? x? ? h ? (1) ? y ? y? ? k

? x? ? x ? h ? (2) ? y? ? y ? k

(3)待定系数法:已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再 根据动点满足的条件确定待定系数. (4)相关点法:当动点 P(x,y)随着另一动点 Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点 Q 在某已知 曲线上,且 Q 点的坐标可用 P 点的坐标来表示,则可代入动点 Q 的方程中,求得动点 P 的轨迹 方程. (5)参数法:当动点 P 的坐标 x、y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量 t,并用 t 表示动点的坐标 x、 ,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去 t,便可得动点 P 的普通 y 方程. 另外,还有交轨法、几何法等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想是: (1)函数与方程的思想: 求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标 x、 y 的方程及函数关系; (2)数形结合的思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合; (3)等价转化的思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互 转化. 三、经典例题导讲 2 2 [例 1]如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一点,A、B 是圆上两动 点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|. 2 2 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理:在 Rt△OAR 中,|AR| =|AO| 2 2 2 -|OR| =36-(x +y ) 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4) +y =36-(x +y ),即 x +y -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x +y -4x-10=0,得
2 2 2 2 2 2 2 2

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2 2 2 整理得 x +y =56,这就是所求的轨迹方程. (
技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方 程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程. [例 2]某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径 为多少? 解:设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两等 圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切. 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2.5 的椭圆上,其方程为

1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 25 3



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同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 (x-

1 2 4 2 ) + y =1 2 3



由①、②可解得 P(

3 9 12 3 9 12 9 12 , ), Q( ,? ) ,∴r= ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 14 14 7 14 14 14 14

故所求圆柱的直径为

6 cm. 7

[例 3] 直线 L: y ? k ( x ? 5) 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 错解:易知直线恒过定点 P(5,0) ,再由 OM ? AP ,得:

OP


2

? OM

2

? MP

2

x 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 25,整理得:
2

5? 25 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
分析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内,故易求得轨 迹为圆内的部分,此时 0 ? x ?

16 . 5

[例 4] 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求 点 M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线. 解:建立坐标系如图所示, 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0). 设 M(x,y)是轨迹上任意一点.

( x ? a) 2 ? y 2 | MA | 则由题设,得 =λ ,坐标代入,得 =λ ,化简得 | MB | ( x ? a) 2 ? y 2
(1-λ )x +(1-λ )y +2a(1+λ )x+(1-λ )a =0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是直线(y 轴).
2 2 2 2 2 2 2

2a (1 ? ? 2 ) (2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x +y + x+a2=0.点 M 的轨迹是以 2 1? ?
2 2

(-

a (1 ? ?2 ) 2 a? ,0)为圆心, 为半径的圆. 2 1? ? | 1 ? ?2 |
2

[例 5]若抛物线 y=ax -1 上,总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称,求实数 a 的取值 范围. 分析:若存在 A、B 关于直线 y+x=0 对称,A、B 必在与直线 y+x=0 垂直的直线系中某一条与 2 抛物线 y=ax -1 相交的直线上,并且 A、B 的中点 M 恒在直线 y+x=0 上. 解:如图所示,设与直线 y+x=0 垂直的直线系方程为 y=x+b
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2

? y ? x?b 得 ? 2 ? y ? ax ? 1


ax -x-(b+1)=0 令 △>0
2

即 (-1) -4a[-(b+1)]>0 整理得 4ab+4a+1>0 ② 2 在②的条件下,由①可以得到直线 y=x+b、抛物线 y=ax -1 的交点 A、B 的中点 M 的坐标为

1 1 , +b),要使 A、B 关于直线 y+x=0 对称,则中点 M 应该在直线 y+x=0 上,所以有 2a 2a 1 1 +( +b)=0 ③ 2a 2a 1 3 即 b=代入②解不等式得 a> a 4 3 2 因此,当 a> 时,抛物线 y=ax -1 上总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称. 4
( 四、典型习题导练 1.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的坐标分 别确定为 A(-5, B(5, 则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 0)、 0), 3.设直线 2x-y- 3 =0 与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆(x+1) +y =25 的直径分为两段,则其 长度之比是 4.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙ O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.
2 2

5.双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P, a 2 b2

A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程.
6.已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角平 a 2 b2

分线为 l ,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R.

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(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l:y=k(x+ 2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值. §7.5 综合问题选讲 一、知识导学 (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两 点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系. 3.了解二元一次不等式表示平面区域. 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用. 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. (二)圆锥曲线方程 1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. (三)目标 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程; 从直线的点斜式方程出发推导出直线 方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式 写出直线的方程, 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化, 能利用直线的方程来研究与 直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性 规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规 划方法解决一些实际问题. 3.理解“曲线的方程”“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方 、 程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) ,明确方程中各字母的几何意义, 能根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程, 能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标 和半径,掌握圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件 并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解
2 2

圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的 ? y ? r sin ?

判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据 条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范 围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、

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双曲线和抛物线;掌握 a 、b、 c 、 p 、 e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲 线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭 圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置 关系的判定方法. 二、疑难知识导析 1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 当斜率 k 存在时, 直线方程通常用点斜式或斜截式表示, 当斜率不存在时, 直线方程为 x = a ( a ∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a 、b 分别是直线在 x 轴、 y 轴上的截距,因为 a ≠ 0,b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方 程,而应选择其它形式求解. ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题, 除了合理选择圆的方程, 还要注意圆的对称性等几何性质的运 用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种 都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a 、b、 c 、 e 间的互求,并能根据所给的 方程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程 ⑴ ⑵ 后,运用待定系数法求解.

b x2 y2 x2 y2 ⑷双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲 a a b a b m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 ( a >0,b>0).这里 a2 b a b 2 2 2 b ?c ?a , 其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a 、 c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. b、
⑸双曲线的标准方程有两个 ⑹求抛物线的标准方程, 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型, 再求抛物线的标 准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时,应 明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、 焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个. 三、经典例题导讲 [例 1]已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT= t (0< t <1),以 AB 为直腰作直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两点, 建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后, 反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1 1 ? t ? 于 , , 是 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;
' ‘

? x 2 ? y 2 ? 1, (2)由方程组 ? ? y ? ?tx ? 1,

解出

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P (0,1) 、 Q (

2t 1? t 2 , ); 2 1? t 1? t 2

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1? 0 1 (3) k PT ? k QT ? 1 ? t ? ? . ?? , 2 2t t 0?t t t (1 ? t ) ?t 2 1? t 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射 光线通过点 Q. 2 2 [例 2]设 P 是圆 M:( x -5) +( y -5) =1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原

点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值. 解:设 P( x , y ),则 Q(18- x , - y ),记 P 点对应的复数为 x + y i ,则 S 点对应的复数为: ( x + y i )? i =- y + x i ,即 S(- y , x ) ∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ?36x ? 36y ? 2xy ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18y ?81?81 ? 2 ? (x ?9)2 ? ( y ? 9)2
其中

(x ?9)2 ? ( y ?9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53?1 最小值为 | MB | ?r ? 2 53?1,则
|SQ|的最大值为 2 106? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 . [例 4] (02 年天津卷) 已知两点 M (-1, ,(1, 且点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 0) N 0) 成公差小于零的等差数列, (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ . 解: (1)记 P( x , y ) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)
所以

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y) NM ? NP ? 2(1 ? x)

MN ? ?NM ? (2,0)

MP ? MN ? 2(1 ? x)

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ?1

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 ?



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 .
2 2

???? ??? ? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ???? ? PM ? PN 1 所以 cos ? ? ???? ???? ? . 因为 0〈 x0 ? 3 , 所以 ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0
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tan? ?

sin ? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y 0 .

[例 4]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处, C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米, 舰 它们准备 捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹.设 舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 千米/秒, 3

其中 g 为重力加速度, 若不计空气阻力与舰高, 问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 分析:答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上,又在以 A、 B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间 物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,

A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 ).

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上,易求得其方程为 3 x -3 y +7 3 =0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线

x y2 ? =1 的右支上. 4 5
直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹 的方位角应是北偏东 30°. 设发射炮弹的仰角是θ ,初速度 v0=

2

2v ? sin? 10 20 3g ? ,则 0 , g v0 ? cos? 3

∴sin2θ =

10g v0
2

?
0

3 ,∴仰角θ =30°. 2

答:方位角北偏东 30 ,仰角 30°. 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高
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能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式 (组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可先建立目标函数,再求这个函数的最值. 2 [例 5]已知抛物线 C: y =4 x . (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合,试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点, 是(1)所求轨迹上任一点, Q 试问|MQ|有无最小值?若 有,求出其值;若没有,说明理由. 解:由抛物线 y =4 x ,得焦点 F(1,0),准线 l : x =-1. (1)设 P( x , y ), B(2 x -1,2 y ),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|= e ,又设点 B 到 l 的 则 距离为 d ,则|BF|∶ d = e ,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶ d ,即(2 x -2) +(2 y ) =2 x (2 x -2),化 简得 P 点轨迹方程为 y = x -1( x >1). (2)设 Q( x ,y),则 |MQ|= ( x ? m) 2 ? y 2 ? (ⅰ)当 m-
2 2 2 2

1 5 ( x ? m) 2 ? x ? 1 ? [ x ? (m ? )]2 ? m ? ( x ? 1) ? 2 4

1 3 1 2 5 ≤1,即 m≤ 时, 函数 t =[ x -(m- ) ]+m- 在(1, +∞)上递增, t 无 故 2 2 2 4 最小值,亦即|MQ|无最小值. 1 3 1 2 5 1 2 (ⅱ)当 m- >1,即 m> 时,函数 t =[ x -(m- ) ]+m- 在 x =m- 处有最小值 m 2 2 2 4 2


5 5 ,∴|MQ|min= m ? . 4 4

[例 6]已知抛物线 C 的对称轴与 y 轴平行, 顶点到原点的距离为 5.若将抛物线 C 向上平移 3 个单位,则在 x 轴上截得的线段长为原抛物线 C 在 x 轴上截得的线段长的一半;若将抛物线 C 向左平移 1 个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线 C 的方程. 解:设所求抛物线方程为( x - h ) = a ( y - k )( a ∈R, a ≠0) 由①的顶点到原点的距离为 5,得 h2 ? k 2 =5 ②
2



2 2 在①中,令 y =0,得 x -2 h x + h + a k =0。设方程的二根为 x 1, x 2,则

| x 1- x 2|=2 ? ak . 将抛物线①向上平移 3 个单位,得抛物线的方程为 ( x -h) = a ( y - k -3)
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2

令 y =0,得 x -2 h x + h + a k +3 a =0。设方程的二根为 x 3, x 4,则 | x 3- x 4|=2 ? ak ? 3a . 依题意得 2 ? ak ? 3a = 即 4( a k +3 a )= a k

2

2

1 ?2 ? ak , 2

2

将抛物线①向左平移 1 个单位,得( x - h +1) = a ( y - k ), 由抛物线过原点,得(1- h ) =- a k ④ 由②③④得 a =1, h =3, k =-4 或 a =4, h =-3, k =-4. 2 2 ∴所求抛物线方程为( x -3) = y +4,或( x +3) =4( y +4). 四、典型习题导练 2 1.过抛物线 x =4 y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (1)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ? QB) ; (2) 设直线 AB 的方程是 x -2 y +12=0, A、 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线, 过 B 求圆 C 的方程. 2.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪,可 能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资 金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最 大? 3.直线 l : y ? kx ? 1与双曲线 : 2 x 2 ? y 2 ? 1的右支交于不同的两点 A、B. C (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 4.已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1,-2)和点 B,B 在第一象限,|AB|=3 2 . (1) 求点 B 的坐标; (2) 若直线 l 与双曲线 C :
2

坐标为(4,1) ,求 a 的值; (3) 对于平面上任一点 P , 当点 Q 在线段 AB 上运动时, 称|PQ|的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P (t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数 关系式. 5.已知椭圆的中心在原点,离心率为

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中点 2 a

1 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若|MQ|=2|QF|,求直 线 l 的斜率.

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第八章
一、知识导学

平面向量与空间向量

§8.1 平面向量及其运算

1.模(长度) :向量 AB 的大小,记作| AB |。长度为0的向量称为零向量,长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量。 2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 ? ? ? 4.相反向量:我们把与向量 a 长度相等,方向相反的向量叫做 a 的相反向量。记作- a 。 5.向量的加法:求两个向量和的运算。 已知 a , b 。在平面内任取一点,作 AB = a , BC = b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和。 记作 a + b 。 6. 向量的减法:求两个向量差的运算。 已知 a , b 。在平面内任取一点 O,作 OA = a , OB = b ,则向量 BA 叫做 a 与 b 的差。 记作 a - b 。 7.实数与向量的积: ? ? (1)定义: 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,并规定: ? ? ? ①λ a 的长度|λ a |=|λ |?| a |; ? ? ②当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反; 当 λ =0 时,λ a = 0 (2)实数与向量的积的运算律:设 λ 、μ 为实数,则 ? ? ①λ (μ a )=(λ μ ) a ? ? ? ②(λ +μ ) a =λ a +μ a ③λ ( a + b )=λ a +λ b 8.向量共线的充分条件:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ , 使得 b =λ a 。 另外,设 a =(x1 ,y1), b = (x2,y2),则 a // b ? x1y2-x2y1=0 9.平面向量基本定理: 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数 λ 1、λ
2

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使

? ? ? ? ? a =λ 1 e1 +λ 2 e2 ,其中不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一

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平面内所有向量的一组基底。 10.定比分点 设 P1,P2 是直线 l 上的两点,点 P 是不同于 P1,P2 的任意一点则存在一个实数 λ ,使

P P2 =λ P P2 ,λ 叫做分有向线段所成的比。若点 P1、P、P2 的坐标分别为(x1,y1),(x,y), 1 1
(x2,y2),则有

x1 ? x2 ? ?x ? 2 特别当 λ =1,即当点 P 是线段 P1P2 的中点时,有 ? y ? y2 ?y ? 1 2 ?
11.平面向量的数量积 (1)定义: 已知两个非零向量 a 和 b , 它们的夹角为 θ , 则数量| a || b |cosθ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积),记作 a ? b ,即 a ? b =| a || b |cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积是 0。 (2)几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cosθ 的乘积。 (3)性质:设 a , b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则

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? ? ? ? ? e ? a = a ? e =| a |cosθ
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, a ⊥ b ? a ? b =0

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当 a 与 b 同向时, a ? b =| a || b | 当 a 与 b 反向时, a ? b =-| a || b | 特别地, a ? a =| a | 或| a |= a ? a
2

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? ? a ?b cosθ = ? ? a?b
(4)运算律:

| a ? b |≤| a || b |

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? ? ? ? a ? b = b ? a (交换律)
(λ a )? b =λ ( b ? a )= a ?(λ b ) ( a + b )? c = a ? c + b ? c

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(5)平面向量垂直的坐标表示的充要条件:

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设 a =(x1 ,y1), b = (x2,y2),则

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b =| a |?| b |cos90°=0 ? ? a ? b ? x1x2+y1y2=0
12.平移公式: / / / / 设 P(x,y)是图形 F 上的任意一点,它在平移后图形 F 上对应点为 P (x ,y ) ,且设
/ / ,则由 OP / = OP + PP/ ,得: ,y )=(x,y)+(h,k) (x PP/ 的坐标为(h,k)

二、疑难知识导析 1.向量的概念的理解,尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小,又有方向的量.向量的模是正数或 0,是可以进行大小比较的, 由于方向不能比较大小,所以向量是不能比大小的.两个向量的模相等,方向相同,我们 称这两个向量相等,两个零向量是相等的,零向量与任何向量平行,与任何向量都是共线 向量; 2.在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点; 3.对于坐标形式给出的两个向量,在运用平行与垂直的充要条件时,一定要区分好两 个公式,切不可混淆。因此,建议在记忆时对比记忆; 4.定比分点公式中则要记清哪个点是分点;还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开 计算的; 5.平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式,故在使用的过程中须将起始点的 坐标给出,同时注意顺序。

三、经典例题导讲 ? [例 1] 和 a = (3,-4)平行的单位向量是_________;
错解:因为 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量就是 错因:在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

?

?

1 ? 3 4 a ,即 ( ,- ) 5 5 5

1 ? 3 4 3 4 a ,即( ,- )或(- , ) 5 5 5 5 5 ? 点评:平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和 a = (3,-4)垂直
正解:因为 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量是 ? 的单位向量” ,结果也应该是两个。 [例 2]已知 A(2,1) ,B(3,2) ,C(-1,4) ,若 A、B、C 是平行四边形的三个顶点,求第 四个顶点 D 的坐标。 错解:设 D 的坐标为(x,y) ,则有 x-2=-1-3,y-1=4-2 ,即 x=-2,y=3。故所求 D 的坐标 为(-2,3) 。 错因:思维定势。习惯上,我们认为平行四边形的四个顶点是按照 ABCD 的顺序。其实,在 这个题目中,根本就没有指出四边形 ABCD。因此,还需要分类讨论。 正解:设 D 的坐标为(x,y)

?

?

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当四边形为平行四边形 ABCD 时,有 x-2=-1-3,y-1= 4-2 ,即 x= -2,y= 3。解得 D 的 坐标为(-2,3) ; 当四边形为平行四边形 ADBC 时,有 x-2=3-(-1) ,y-1= 2-4 ,即 x= 6,y= -1。解得 D 的坐标为(6,-1) ; 当四边形为平行四边形 ABDC 时,有 x-3=-1-2,y-2= 4-1 ,即 x= 0,y= 5。解得 D 的坐 标为(0,5) 。 故第四个顶点 D 的坐标为(-2,3)或(6,-1)或(0,5) 。 [例 3]已知 P1(3,2),P2(8,3) ,若点 P 在直线 P1P2 上,且满足|P1P|=2|PP2|,求点 P 的坐 标。 错解:由|P1P|=2|PP2|得,点 P 分 P1P2 所成的比为 2,代入定比分点坐标公式得 P(

19 8 , ) 3 3

错因:对于|P1P|=2|PP2|这个等式,它所包含的不仅是点 P 为 P1,P2 的内分点这一种情况, 还有点 P 是 P1,P2 的外分点。故须分情况讨论。 正解:当点 P 为 P1,P2 的内分点时,P 分 P1P2 所成的比为 2,此时解得 P(

19 8 , ) ; 3 3

当点 P 为 P1,P2 的外分点时,P 分 P1P2 所成的比为-2,此时解得 P(13,4) 。 则所求点 P 的坐标为(

19 8 , )或(13,4) 。 3 3

点评:在运用定比分点坐标公式时,要审清题意,注意内外分点的情况。也就是分类讨论的 数学思想。 [例 4] 设向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 ,则“ a // b ”是“ x1 y 2 ? x2 y1 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可. 解:若 a // b ,∵ b ? 0 ,则 a ? rb ,代入坐标得: ( x1 , y1 ) ? r ( x2 , y 2 ) ,即 x1 ? rx 2 且

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y1 ? ry 2



消去 r ,得 x1 y 2 ? x2 y1 ;

反之,若 x1 y 2 ? x2 y1 ,则 x1 ? rx 2 且 y1 ? ry 2 ,即 ( x1 , y1 ) ? r ( x2 , y2 ) 则 a ? rb ,∴ a // b

?

?

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故“ a // b ”是“ x1 y 2 ? x2 y1 ”的充要条件. 答案:C 点评:本题意在巩固向量平行的坐标表示. [例 5].已知 a =(1,-1), b =(-1,3), c =(3,5),求实数 x、y,使 c =x a +y b . 分析:根据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可. 解:由题意有

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x a +y b =x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y). 又 c =(3,5) ∴x-y=3 且-x+3y=5 解之得 x=7 且 y=4 点评:在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法. [例 6]已知 A(-1,2),B(2,8), AC = 的坐标. 分析:待定系数法设定点 C、D 的坐标,再根据向量 AC AB , DA 和 CD 关系进行坐标 运算,用方程思想解之. 解:设 C、D 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,由题意得

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1 1 AB , DA = - BA ,求点 C、D 和向量 CD 3 3

AC =( x1 ? 1, y1 ? 2 ), AB =(3,6), DA =( ? 1 ? x2 ,2 ? y 2 ), BA =(-3,-6)
1 1 AB , DA = - BA 3 3 1 1 ∴( x1 ? 1, y1 ? 2 )= (3,6), ( ? 1 ? x2 ,2 ? y 2 )=- (-3,-6) 3 3
又 AC = 即 ( x1 ? 1, y1 ? 2 )=(1,2) , ( ? 1 ? x2 ,2 ? y 2 )=(1,2) ∴ x1 ? 1 ? 1 且 y1 ? 2 ? 2 , ? 1 ? x2 ? 1 且 2 ? y 2 ? 2 ∴ x1 ? 0 且 y1 ? 4 ,且 x2 ? ?2 y 2 ? 0 ∴点 C、D 和向量 CD 的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4) 小结:本题涉及到方程思想,对学生运算能力要求较高. 四、典型习题导练 1. a ? AB, A(2, y ), B(?3,2), 若 a ? ( x,1) ,则有( A. x ? ?1, y ? ?1 C. x ? 5, y ? ?1 B. x ? ?5, y ? 1 D. x ? ?5, y ? 3
?

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2.(2006 年高考浙江卷)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b,| a |? 1,| b |? 2 ,则 | c |2 ? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5
/ /

? ??

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? ?? ?

?? ?

??

3. 将函数 y= 4x-8 的图象 L 按向量 a 平移到 L ,L 的函数表达式为 y= 4x,则向量 a = 4. 从点 A(2,?1) 沿向量 a ? 3 i ? 6 j 方向取线段 AB,使 | AB |? 5 ,则 B 点坐标为
? ? ?

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5. m 、 n 是单位向量, m 与 n 的夹角为

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3

, a ? 2 m? n , b ? m? 2 n ,以 a 、 b 为邻边

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作平行四边形。求平行四边形对角线的长。 6.(2006 年高考辽宁卷)已知 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量

? ? ? ? ? ? p ? ( a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为
(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

§8.2 平面向量与代数、几何的综合应用 一、知识导学 1.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和, 减去这两边与它们夹角的余 弦的积的 2 倍,即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直 径,即

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
二、疑难知识导析 1.初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当 C = 有c ? a ?b ;
2 2 2

? 时, cos C =0,此时 2

2.由于本节内容与代数、几何联系比较紧,故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥 曲线等知识非常熟悉方可。 三 经典例题导讲 2 2 2 [例 1]在 ABC 中,已知 a =b +bc+c ,则角 A 为( ) A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

错解:选 A 错因:公式记不牢,误将余弦定理中的“减”记作“加”。 正解:∵a =b +bc+c =b +c -2bc(- ∴∠A= 选 C.
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2 2 2 2 2

2? 3

1 2? 2 2 )=b +c -2bc?cos 2 3

[例 2]在△ABC 中,已知 a cos A ? b cos B ,试判别其形状。 错解:等腰三角形。 错 因 : 忽 视 了 两 角 互 补 , 正 弦 值 也 相 等 的 情 形 。 直 接 由 a cos A ? b cos B 得 , s i nA c o sA ? s i nB c o sB ,即 sin 2 A ? sin 2 B ,则 2 A ? 2 B 。接着下结论,所求三角形为 等腰三角形 正解:由 a cos A ? b cos B 得, sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B
0 则 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2B ? 180 ,故三角形为直角三角形或等腰三角形。

[例 3]在 ?ABC 中 ?C ? 30?, c ?

6 ? 2 ,试求 ?ABC 周长的最大值。并判断此时三角形

的形状。 错解:由于题目中出现了角和对边,故使用余弦定理,进一步想使用不等式或二次函数求最 值 错因:其实这种思路从表面上看是可行的,实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。 正解:由正弦定理,得 a=2( 6 ? a+b=2( 6 ?

2 )sinA, b=2( 6 ? 2 )sinB.
A? B A? B cos 2 2

2 )(sinA+sinB)=4( 6 ? 2 )sin

sin

A? B 6? 2 o =sin75 = 2 4

a+b=( 6 ?

2 )2 cos

A? B 2 ≤( 6 ? 2 ) =8+4 3 . 2

当 a=b 时,三角形周长最大,最大值为 8+4 3 + 6 ?
? ?

2 . 此时三角形为等腰三角形

[例 4]在 ?ABC 中,?A ? 60?, | AC |:| AB |? 8 : 5 ,其内切圆面积为 12? ,求 ?ABC 面积。 分析:题中涉及到内切圆,而内切圆直接与正弦定理联系起来了,同时正弦定理和余弦定理 又由边联系起来了。 解:由已知,得内切圆半径为 2 3 . 由余弦定理,得三角形三边分别为 16,10,14. [例 5]已知定点 A(2,1)与定直线 l :3x-y+5=0,点 B 在 l 上移动,点 M 在线段 AB 上,且分 AB 的 比为 2,求点 M 的轨迹方程. 分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系 的新纽带 . 解:设 B(x0,y0),M(x,y) ∴ AM =(x-2,y-1), MB =(x0-x,y0-y),由题知 AM =2 MB

? x ? 2 ? 2( x 0 ? x ) ∴? ? y ? 1 ? 2( y 0 ? y )

?

3x ? 2 ? ? x0 ? 2 ? ? ?y ? 3y ?1 ? 0 2 ?

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由于 3x0-y0+5=0,∴3?

3x ? 2 3 y ? 1 +5=0 2 2

化简得 M 的轨迹方程为 9x-3y+5=0 2 [例 6]过抛物线:y =2px(p>0)顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA、OB(如图),求证:直线 AB 过一 定点,并求出这一定点. 分析: 对于向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),有 a//b ? x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三 点共线与两直线平行问题. 证明:由题意知可设 A 点坐标为(

t12 t2 ,t1),B 点坐标为( 2 ,t2) ∴ 2p 2p

OA =(

t12 t2 ,t1), OB =( 2 ,t2), 2p 2p

2 t12 t 2 ∵OA⊥OB,∴ OA ? OB =0 ? ? +t1?t2=0 2p 2p

?t1?t2=-4p2 ①
设直线 AB 过点 M(a,b),则 BM =(a2 t2 t2 t2 ,b-t2), BA =( 1 - 2 ,t1-t2), 2p 2p 2p 2 t2 t2 t2 )(t1-t2)= (b-t2)( 1 - 2 ) 2p 2p 2p

由于向量 BM 与 BA 是共线向量,∴(a化简得 2p(a-2p)=b(t1+t2) 显然当 a=2p,b=0 时等式对任意的成立 ∴直线 AB 过定点,且定点坐标为 M(2p,0)

四 典型习题导练 1.已知锐角三角形的边长分别为 2,3,x,则第三边 x 的取值范围是( ) A.1<x<5 B. 5 <x< 13 C. 13 <x<5 D.1<x< 5 _。 。

2. ?ABC 三顶点 A(1,1), B(3,4), C (?2,3) ,则 ?ABC 的面积为__ 3.△ABC 中,若边 a:b:c= 2 :(1+ 3 ):2,则内角 A=

4.某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80°,仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 0,测得塔顶 A 仰角为 30°,则塔高= 。 5.在△ABC 中,已知 B=30°,b=50 ,c=150,解三角形并判断三角形的形状。 6.在△ABC 中,已知 cot A ? cot B ? cot C = ,判定△ABC 是什么三角形。

※§8.3 空间向量及其运算
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一、知识导学 1 空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单
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位正交基底,用 {i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基 底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴:

?? ?

z

?? ?

?? ?

A(x,y,z) k i x O j y

x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系 ?? ? O ? xyz ,点 O 叫原点,向量 i, j , k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的
平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面;

2.空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一 的有序实数组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? y j ? z k ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间 直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3.空间向量的直角坐标运算律: (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

?

?

? ?

? ?

? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ,
? ? ? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .
(2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标
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?

? ?

??? ?

4 模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |?
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?

?

? ? 2 2 2 a ? a ? a1 ? a2 ? a3 .

? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? 5.夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
B 6. 两点间的距离公式: A( x1 , y1 , z1 ) ,B( x2 , y2 , z2 ) , | A | ? A 若 则 B ?? ? ?? ?
2

? x 2? )1 ?y 2? )1 ?z2 2? )1 ( x 2( y ( z

2
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二、疑难知识导学 1、 对于这部分的一些知识点, 读者可以对照平面向量的知识, 看哪些知识可以直接推广, 哪些需要作修改,哪些不能用的,稍作整理,以便于记忆; 2、空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来处理空间 问题的方法更有灵活性, 所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法, 特 别是体会其中的转化的思想方法. 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为
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用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距 离用向量怎样来表达是问题的关键. 3、向量运算的主要应用在于如下几个方面: (1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直; (2)求空间两点间的距离; (3)求两条异面直线所成的角. 4、本节内容对于立体几何的应用,读者需自行复习,这里不再赘述。 三、经典例题导讲 [例 1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中,不正确的是(



A

B

C

D

错解:B、C、D 中任选一个 错因:对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点,且两两垂直的三条数轴,只 要符合右手系的规定,就可以作为空间直角坐标系. 正解:易知(C)不符合右手系的规定,应选(C). [例 2]已知点 A(-3,-1,1),点 B(-2,2,3),在 Ox、Oy、Oz 轴上分别取点 L、M、N, 使它们与 A、B 两点等距离. 错因:对于坐标轴上点的坐标特征不明;使用方程解题的思想意识不够。 分析:设 Ox 轴上的点 L 的坐标为(x,0,0),由题意可得关于 x 的一元方程,从而解得 x 的值.类似可求得点 M、N 的坐标. 解:设 L、M、N 的坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z). 由题意,得 (x+3) +1+1=(x+2) +4+9, 9+(y+1) +1=4+(y-2) +9, 9+1+(z-1) =4+4+(z-3) .
2 2 2 2 2 2

3 , 2 3 故 L(3,0,0), M (0,1,0), N (0,0, ) 2
分别解得 x ? 3. y ? 1, z ? 评注:空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广:若点 P、Q 的坐标分别为(x1, y1,z1)、(x2,y2,z2),则 P、Q 的距离为

PQ ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2
必须熟练掌握这个公式.

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[例 3]设 a ? (a1 , a2 , a3 ) ,b ? (b1, b2 , b3 ) ,且 a ? b ,记 | a ? b |? m ,求 a ? b 与 x 轴正方 向的夹角的余弦值
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?

?

?

?

? ?

? ?

错解:取 x 轴上的任一向量 c ? ( x,0,0) ,设所求夹角为 ? , ∵ (a ? b) ? c ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ( x,0,0) ? (a1 ? b1) x

?

? ? ?

? ? ? (a ? b) ? c (a ? b ) x a ? b ∴ ? cos ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 1 , mx m | a ?b |?| c |
即余弦值为 ?

a1 ? b1 m

错因:审题不清。没有看清“ x 轴正方向” ,并不是 x 轴 正解:取 x 轴正方向的任一向量 c ? ( x,0,0) ,设所求夹角为 ? , ∵ (a ? b) ? c ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ( x,0,0) ? (a1 ? b1) x

?

? ? ?

? ? ? (a ? b) ? c (a ? b ) x a ? b ∴ cos ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 1 ,即为所求 mx m | a ?b |?| c |

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[例 4]在Δ ABC 中,已知 AB =(2,4,0), BC =(-1,3,0),则∠ABC=___ 解: ? BA ? (?2, ?4,0), BC ? (?1,3,0),

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??? ?

??? ?

cos ? BA, BC ??
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BA ? BC | BA || BC |

?

2 ? 12 2 5 ? 10

=?

2 2

∴∠ABC=135° [例 5]已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; ⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且| a |= 3 ,求向量 a 的坐标 分析:⑴? AB ? (?2,?1,3), AC ? (1,?3,2),? cos ?BAC ? ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60? ? 7 3 ⑵设 a =(x,y,z),则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0,

?

?

?

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AB ? AC | AB || AC |

?

1 2

?

a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0, | a |? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3
解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴ a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,-1).
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?

?

[例 6]已知正方体 AC1 的棱长为 a , E 是 CC1 的中点, O 是对角线 BD1 的中点, 求异面直线 CC1 和 BD1 的距离
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解:以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在的直线分别为 x 轴, y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(a,0,0), B(a, a,0), C (0, a,0)
A1 D1 B1 O D C B C1 E

B1 (a, a, a), A1 (a,0, a), D(0,0,0) ,
设 E ( x, y, z ) , ∵ E 在平面 A1DB 上, ∴ A E ? ? A D ? ? A B ,即 ( x ? a, y, z ? a) ? ? (?a,0, ?a) ? ? (0, a, a) , 1 1 1
A

???? ?

???? ?

????

?x ? a ? ?a ? ∴ ? y ? ?a , ?z ? a ? ?a ? ?a ?
∵ CE ? A D, CE ? BD ,∴ ? 1

??? ?

???? ??? ? ?

??? ?

?( x, y ? 2, z )(?a,0, ?a) ? 0 , ?( x, y ? 2, z )(?a, ?a,0) ? 0

解得: ? ? ? ?

??? ? 1 2 1 1 3 ,∴ CE ? ( a, ? a, ? a ) ,∴ CE ? a. 3 3 3 3 3
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另外,此题也可直接求 B1C 与 BD 间的距离

设 B1C 与 BD 的公垂线为 OO1 ,且 O1 ? B1C, O ? BD , 设 O( x, y, z ) ,设 DO ? ? BD ,

????

??? ?

? x ? ?? a ? 则 ( x, y, z ) ? ? (?a, ?a,0) ,∴ ? y ? ?? a ,∴ O(?? a, ?? a,0) , ?z ? 0 ?
同理 O1 (? a, a, ? a) , ∴ OO1 ? ((? ? ? )a, a ? ?a, ?a) ,∴ OO1 ? BD, OO1 ? B1C , ∴ OO1 ? BD ? 0, OO1 ? B1C ? 0 ,

???? ?

???? ?

??? ???? ? ?

???? ?

???? ??? ? ?

???? ???? ? ?

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解得: ? ? ?

???? ? ? 2 1 ???? 1 1 1 3 , ? ? , OO1 ? (? a, a, a) , | OO1 |? a. 3 3 3 3 3 3

四、典型习题导练 1.已知向量 a ? (0,2,1),b ? (?1,1,?2),则a与b 的夹角为( A.0° B.45° C.90° D.180° )

2.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 则△BCD 是( A.钝角三角形 ) B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 .

3. 已知 a, b 是空间二向量, | a |? 3, | b |? 2, | a ? b |? 7 , 则a与b 的夹角为 若 4.已知点 G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若 OA ? OB ? OC ? ?OG, 则?的值 为 . 5.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C 求证:AB1=A1C

6.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点, (1)求 BN的长; (2)求 cos ? BA , CB1 ? 的值; 1 (3) 求证 : A1 B ? C1 M .

第九章
一、知识导学

计数原理与概率
计数原理

§9.1

1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第 1 类办法中,有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中,有 m2 种不同的方法,??在第n类办法中,有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N= m1 + m2 +??+ mn 种不同的方法.

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2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1 步,有 m1 种不同的方法, 做第 2 步,有 m2 种不同的方法,??做第n步,有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共 有 N= m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 注:分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、疑难知识导析 1.分类原理中分类的理解:“完成一件事,有n类办法”这是对完成这件事的所有办 法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点,确定一个适合它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类,其次,分类时要注意满足两条基本原则:第一,完成这件事的任何一种方 法必须属于某一类;第二,分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事 的立法不遗漏,后者保证不重复. 2.分步原理中分步的理解:“完成一件事,需要分成n个步骤”这就是说完成这件事 的任何一种方法,都要完成这n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个可行的分 步标准,其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才 算最终完成. 3. 两个原理的区别在于一个和分类有关, 一个和分步有关.如果完成一件事有n类办法, 这n类办法彼此之间是相互独立的, 无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事, 求完 成这件事的方法种数,就用分类计数原理.如果完成一件事,需分成n个步骤,缺一不可, 即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求 完成这件事的方法种数,就用分步计数原理. 4.在具体解题时,常常见到某个问题中,完成某件事,既有分类,又有分步,仅用一 种原理不能解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线. 5.在有些问题中,还应充分注意到在完成某件事时,具体实践的可行性.例如:从甲地 到乙地 ,要从甲地先乘火车到丙地,再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种 不同的走法?这个问题中,必须注意到发车时刻,所限时间,答案较多. 三、经典例题导讲 [例 1]体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的 方案有 ( ) B.7 种 C.24 种 D.49 种 A.12 种

错解:学生进出体育场大门需分两类,一类从北边的 4 个门进,一类从南侧的 3 个门进,由 分类计数原理,共有 7 种方案. ∴选 B 错因:没有审清题意.本题不仅要考虑从哪个门进,还需考虑从哪个门出,应该用分步计数 原理去解题. 正解:学生进门有 7 种选择,同样出门也有 7 种选择,由分步计数原理,该学生的进出门方 案有 7?7=49 种. ∴应选 D. [例 2]从 1,2,3,?,10 中选出 3 个不同的数,使这三个数构成等差数列,则这样的数列共 有多少个?

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错解:根据构成的等差数列的公差,分为公差为 1、2、3、4 四类.公差为 1 时,有 8 个;公 差为 2 时,首先将数字分成 1,3,5,7,9,和 2,4,6,8,10 两组,再得到满足要求的数列共 3+3=6 个;公差为 3 时,有 1,4,7 和 4,7,10 和 3,6,9 以及 2,5,8,共 4 个;公差为 4 时,只有 1,5,9 和 2,6,10 两个.由分类计数原理可知,共构成了不同的等差数列 8+6+4 +2=20 个. 错因:上述解答忽略了 1,2,3 与 3,2,1 它们是不同的数列, 因而导致考虑问题不全面, 从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 正解:根据构成的等差数列的公差,分为公差为±1、±2、±3、±4 四类.公差为±1 时, 有 8?2=16 个;公差为±2 时,满足要求的数列共 6?2=12 个;公差为±3 时,有 4?2= 8 个;公差为±4 时,只有 2?2=4 个.由分类计数原理可知,共构成了不同的等差数列 16 +12+8+4=40 个. [例 3]三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6,若将三张卡片并列,可得到几个不 同的三位数(6 不能作 9 用). 解:解法一 第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出 3 个数字,共有 2 =8 种选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有 3 种选择,由于 排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有 2 种选择,排个位只有一种选择. 故能排出 3?2?1=6 个不同的三位数. 由分步计数原理,共可得到 8?6=48 个不同的三位数. 解法二:第一步,排百位有 6 种选择, 第二步,排十位有 4 种选择, 第三步,排个位有 2 种选择. 根据分步计数原理,共可得到 6?4?2=48 个不同的三位数. 注:如果 6 能当作 9 用,解法 1 仍可行. [例 4]集合 A={1,2,3,4},集合 B={-1,-2},可建立多少个以 A 为定义域 B 为值 域的不同函数? 分析:函数是特殊的映射,可建立映射模型解决. 解: 从集合 A 到集合 B 的映射共有 2 =16 个,只有都与-1,或-2 对映的两个映射不符合 题意,故以 A 为定义域 B 为值域的不同函数共有 16-2=14 个. 或
2 2 C4 C2 3 2 ? C4 ) A2 ? 14 2!
4 3

(

[例 5] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个数字不重复的大于 3000,小于 5421 的四位数?

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解:(1)分三步:①先选百位数字,由于 0 不能作为百位数,因此有 5 种选法;②十位数 字有 5 种选法;③个位数字有 4 种选法.由分步计数原理知所求三位数共有 5?5?4=100 个. (2)分三步:①先选百位数字,由于 0 不能作为百位数,因此有 5 种选法;②十位 数字有 6 种选法; ③个位数字有 6 种选法.由分步计数原理知所求三位数共有 5?6?6=180 个. (3)分三步:①先选个位数字,由于组成的三位数是奇数,因此有 3 种选法;②再 选百位数字有 4 种选法; ③个位数字也有 4 种选法.由分步计数原理知所求三位数共有 3?4 ?4=48 个. (4)分三类:①一位数,共有 6 个;②两位数,共有 5?5=25 个;③三位数,共有 5?5?4=100 个.因此,比 1000 小的自然数共有 6+25+100=131 个 (5)分四类:①千位数字为 3,4 之一时,共有 2?5?4?3=120 个;②千位数字为 5,百位数字为 0,1,2,3 之一时,共有 4?4?3=48 个;③千位数字为 5,百位数字是 4, 十位数字为 0,1 之一时, 共有 2?3=6 个; ④还有 5420 也是满足条件的 1 个.故所求自然数 共 120+48+6+1=175 个 评注:排数字问题是最常见的一种题型,要特别注意首位不能排 0. 四、典型习题导练 1.将 4 个不同的小球放入编号为 1、2、3 的三个不同的盒子中,其中每个盒子都不空的放 法共有(
4

) B. 4 种
3

A. 3 种

C.18 种

D.36 种

2.集合 A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从 A、B 中各取 1 个元素作为占点 P 的 坐标.(1)可以得到多少个不同的点? (2)在这些点中位于第一象限的点有几个? 3. 在 1,2,3,4,7,9 中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数与真数,能得到多少个 不同的对数值? 4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中,与正八边形有公共边的有多少个? 5.某艺术组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人会小号, 从中选出会钢琴与会小号的各 1 人,有多少种不同的选法? 6. 某地提供 A、B、C、D 四个企业供育才中学高三年级 3 个班级进行社会实践活动,其中 A 是明星企业, 必须有班级去进行社会实践, 每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任 意选择一个,则不同的安排社会实践的方案共有多少种? §9.2 排列与组合 一、知识导学 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的全排列. 3. 排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排列数.用符号 An 表示. 4. 阶乘:正整数 1 到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.
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m

规定:0!=1 5.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. 6.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫做从n个不
m 同元素中取出m个元素的组合数.用符号 C n 表示.

7.本节公式 (1)排列数公式
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? ? ? (n ? m ? 1)
m An ?

n! (n ? m)!

(这里m、n∈ N ,且m≤n)

*

(2)组合数公式
m Cn ? m An n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? ? ? (n ? m ? 1) ? m n Am

n! C ? m!(n ? m)!
m n

(这里m、n∈ N ,且m≤n)

*

(3)组合数的两个性质
m n Cn ? Cn ? m m m m Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 0 规定: Cn ? 1

二、疑难知识导析 1.排列的定义中包含两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”。 从定义知,只有当元素完全,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列,元素完 全不同,或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列,都不是同一排列.两个相同数 列,当且仅当它们的元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同. 2.排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列的一种具体方法,它不是数;而排列数是指从n个不同元 素中取出m(m≤n)个元素的所有不同数列的种数,它是一个数. 3. 排列应用题一般分为两类, 即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见 题型有:排队问题、数字问题、与几何有关的问题. 解排列应用题时应注意以下几点: ①认真审题, 根据题意分析它属于什么数学问题, 题目中的事件是什么, 有无限制条件, 通过怎样的程序完成这个事件,用什么计算方法. ②弄清问题的限制条件,注意研究问题,确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则 是特殊元素、特殊位置优先,必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考. ③恰当分类,合理分步. ④在分析题意,画框图来处理,比较直观.在解应用时,应充分运用. 解排列应用题的基本思路: ①基本思路:
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直接法:即从条件出发,直接考虑符合条件的排列数; 间接法: 即先不考虑限制条件, 求出所有排列数, 然后再从中减去不符合条件的排列数. ②常用方法:特殊元素、特殊位置分析法,排除法(也称去杂法),对称分析法,捆绑 法,插空档法,构造法等. 4.对组合的理解:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们顺序如何都是相同 的组合.当两个组合中的元素不完全相同时(即使只有一个元素不同),就是不同的组合. 5.排列与组合的区别与联系: ①根据排列与组合的定义, 前者是从n个不同元素中取出m个不同元素后, 还要按照一 定的顺序排成一列, 而后者只要从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组, 所以区分某 一问题是排列还是组合问题, 关键看选出的元素与顺序是否有关, 若交换某两个元素的位置 对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问 题.也就是说排列与选取元素的顺序有关,组合与选取元素的顺序无关. ②排列与组合的共同点,就是都要“从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素”, 而不同点在于元素取出以后,是“排成一排”,还是“组成一组”,其实质就是取出的元素 是否存在顺序上的差异.因此,区分排列问题和组合问题的主要标志是:是否与元素的排列 顺序有关,有顺序的是排列问题,无顺序的组合问题.例如 123 和 321,132 是不同的排列, 但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题,互握一次手则是组合问题.
m ③排列数与组合数的联系.求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 An ,可以分为 m 以下两步:第一步,先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 C n ;第二步,求每 m m m m 一个组合中m个元素的全排列数 Am .根据分步计数原理, 得到 An = C n Am .从这一过程中

可得出排列与组合的另一重要联系.从而,在解决排列问题时,先取后排是一个常见的解题 策略. 6. 解排列与组合应用题时, 首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题 是排列还是组合,唯一的标准是“顺序”,有序是排列问题,无序是组合问题.当排列与组 合问题综合到一起时,一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类, 还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,它们不仅是推导 排列数公式和组合数公式的基础,而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理 是解决排列与组合应用题的基础.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分 类为加、分步为乘). 三、经典例题导讲 [例 1] 10 个人走进只有 6 把不同椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐一人,共有多少种 不同的坐法? 错解:10 个人坐 6 把不同的椅子,相当于 10 个元素到 6 个元素的映射,故有 6 种不同的 坐法. 错因: 没弄清题意, 题中要求每把椅子必须并且只能坐一人, 已不符合映射模型了.本题事 实上是一个排列问题. 正解: 坐在椅子上的 6 个人是走进屋子的 10 个人中的任意 6 个人,若把人抽象地看成元 素,将 6 把不同的椅子当成不同的位置,则原问题抽象为从 10 个元素中作取 6 个元素占据 6 个不同的位置.显然是从 10 个元素中任取 6 个元素的排列问题.从而,共有 A10 =151200 种坐法.
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6
10

[例 2]从-3,-2,-1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数

y ? ax2 ? bx ? c 的系数 a ,b,c的取值,问共能组成多少个不同的二次函数? 错解:从八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数 a ,b, c的取值,交换 a ,b,c的具体取值,得到的二次函数就不同,因而本题是个排列问题, 3 故能组成 A8 个不同的二次函数. 错因: 忽视了二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的二次项系数 a 不能为零. 3 正解: a ,b,c中不含 0 时,有 A7 个; a ,b,c中含有 0 时,有 2 A72 个. 3 2 故共有 A7 +2 A7 =294 个不同的二次函数. 3 2 注:本题也可用间接解法.共可构成 A8 个函数,其中 a =0 时有 A7 个均不符合要求,从而 3 2 共有 A8 - A7 =294 个不同的二次函数.
[例 3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥? 错解:按照上底面取出点的个数分三类:第一类,上底面恰取一点,这时下底面取三点,有
1 3 2 2 C3 C3 =3 个;第二类,上底面恰取 2 点,下底面也取两点,有 C3 C3 =9 个;上底面取 3 1 3 点时,下底面取一点,有 C3 C3 =3 个.综上知,共可组成 3+9+3=15 个不同的三棱锥.

错因:

在上述解法中,第二类情形时,所取四点有可能共面.这时,务必注意在上底面取 2

点,与之对应的下底面的 2 点只有 2 种取法.
4 正解:在三棱柱的六个顶点中任取 4 个顶点有 C 6 =15 取法,其中侧面上的四点不能构成三

棱锥,故有 15-3=12 个不同的三棱锥. [例 4] 4 名男生和 3 名女生并坐一排,分别回答下列问题: (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种? (3)男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种? (4)男女生相间的坐法有多少种? (5)女生顺序已定的坐法有多少种? 解:⑴从整体出发,视四名男生为一整体,看成一个“大元素”,与三名女生共四个元素进 行排列,有 A4 种坐法;而大元素内部的小元素间又有 A4 种坐法.故共有 A4 A4 =576 种坐 法. ⑵因为女生 互不相邻,故先将 4 名男生排好,有 A4 种排法;然后在男生之间及其首
3 3 尾的 5 个空档中插入 3 名女生,有 A5 种排法.故共有 A4 A5 =1440 种排法. 2 4 3 ⑶类似(1)可得: A2 ? A4 ? A3 =288 种
4 4 4 4 4 4

⑷男生排好后,要保证男生互不相邻、女生也互不相邻,3 名女生只能排在男生之间的
3 3 3 个空档中,有 A3 种排法.故共有 A4 A3 =144 种排法. 7 3 ⑸7 个元素的全排列有 A7 种,因为女生定序,而她们的顺序不固定时有 A3 排法,可知 7 3 7 3 A7 中重复了 A3 次,故共有 A7 ÷ A3 = A74 =840 种排法. 4 本题还可这样考虑:让男生先占 7 个位置中的 4 个,共有 A7 种排法;余下的位置排女
4

4 生,因为女生定序,故她们只有 1 排法,从而共有 A7 =840 种排法.

[例 5] 某运输公司有 7 个车队, 每个车队的车均多于 4 辆, 现从这个车队中抽调出 10 辆车, 并且每个车队至少抽调一辆,那么共有多少种不同的抽调方法?

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解:在每个车队抽调一辆车的基础上,还须抽调的 3 辆车可分成三类:从一个车队中抽调,
1 2 有 C7 =7 种;从两个车队中抽调,一个车队抽 1 辆,另一个车队抽两辆,有 A7 =42 种;从

3 三个车队中抽调,每个车队抽调一辆,有 C7 =35 辆.由分类计数原理知,共有 7+42+35

=84 种抽调方法. 本题可用档板法来解决:由于每个车队的车均多于 4 辆,只需将 10 个份额分成 7 份. 具体来讲,相当于将 10 个相同的小球,放在 7 个不同的盒子中,且每个盒子均不空.可将 10 个小球排成一排,在相互之间的九个空档中插入 6 个档板,即可将小球分成 7 份,因而
6 有 C9 =84 种抽调方法.

[例 6]用 0,1,2,?,9 这十个数字组成无重复数字的四位数,若千位数字与个位数字之差 的绝对值是 2,则这样的四位数共有多少个? 解:若千位数字与个位数字中有一个为 0 ,则另一个为 2,且 0 只能在个位,2 在千位,这
3 样有四位数有 A8 个.若千位与个位都不含有 0, 则应为 1 与 3、 与 4, 与 5、 与 6,5 与 7、 2 3 4
2 2 6 与 8,7 与 9,这样的四位数有 7? A2 ? A8 个. 2 2 2 ∴共有 A8 +7 A2 ? A8 =840 个符合条件的四位数

四、典型习题导练 1.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐 6 节课,如果第一节不排 体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 2. 在 7 名运动员中选出 4 人组成接力队,参加 4?100 米接力赛,那么甲、乙两人都不跑中 间两棒的安排方法有多少种? 3.有 5 双不同型号的皮鞋,从中任取 4 只有多少种不同的取法?所取的 4 只中没有 2 只是 同型号的取法有多少种?所取的 4 只中有一双是同型号的取法有多少种? 4.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行, 且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平 行,以它的顶点为顶点的四面体有多少个? 5. 4 名男生 5 名女生,一共 9 名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任,每班至少 有男、女实习生各 1 名的不同分配方案共有多少种? 6.有 6 本不同的书,分给甲、乙、丙三人. (1)甲、乙、丙三人各得 2 本,有多少种分法? (2)一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本,有多少种分法? (3)甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本,有多少种分法? (4)平均分成三堆,每堆 2 本,有多少种分法? §9.3 一、知识导学 1.二项式定理:
0 1 2 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? ? ? Cn b n , n ? N *

二项式定理

上列公式所表示的定理叫做二项式定理. 右边的多项式叫做 (a ? b) 的二项展开式,它一共有n+1 项.
n

r 其中各项的系数 Cn (r ? 0,1,2,? ? ?, n) 叫做二项式系数. r 式中的 Cn a n?r b r 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示, r 即 Tr ?1 = Cn a n?r b r .

2.二项式系数的性质:
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(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直
m n 接由公式 Cn ? Cn ?m 得到. r (2)增减性与最大值. 二项式系数 Cn (r ? 0,1,2,? ? ?, n) ,当r<

n ?1 时,二项式系 2

数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.当n是偶数 时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和.

(a ? b) n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n .
二、疑难知识导析 1.二项式定理是代数公式

(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 和 (a ? b) 3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3
的概括和推广,它是以乘法公式为基础,以组合知识为工具,用不完全归纳法得到的. 同学们可对定理的证明不作要求,但定理的内容必须充分理解. 2.对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它
r 的展开式.通项公式 Tr ?1 = Cn a n?r b r 在解题时应用较多,因而显得尤其重要,但必须注意,

它是 (a ? b) n 的二项展开式的第r+1 项,而不是第r项. 3.二项式定理的特殊表示形式

0 1 r n (1) (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? ? ? ? ? (?1) r Cn a n?r b r ? ? ? ? ? (?1) n Cn b n . r 这时通项是 Tr ?1 = (?1) Cn a n?r b r . 1 2 r (2) (1 ? x) n ? 1 ? Cn x1 ? Cn x 2 ? ? ? ? ? Cn x r ? ? ? ? ? x n . r 这时通项是 Tr ?1 = C n x r .
n

0 1 2 r n (3) (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn . n 即各二项式系数的和为 2 .

4.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即
0 2 1 3 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1

三、经典例题导讲 [例 1]已知 (1 ? 2x) 50 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a50 x 50 , 求 a1 ? a2 ? ... ? a50 的值. 错解:由二项展开式的系数的性质可知: (a ? b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ,
n
n

0 显然, a0 就是展开式中的 C50 ? 1,因此 a1 ? a2 ? ... ? a50 的值为 2 -1. 错因:上述解答忽略了 a0 , a1 , a2 ,...,a50 是项的系数,而不是二项式系数.
n

正解:由二项展开式的结构特征, a0 , a1 , a2 ,...,a50 是项的系数,而不是二项式系数.观察式 子特征,如果 x =1,则等式右边为 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a50 ,出现所求式子的形式,而 a0 就
0 是展开式中的 C50 ? 1 ,因此 (1 ? 2 ?1)
50

? a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a50 ,即

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1=1+ a1 ? a2 ? ... ? a50 ,所以, a1 ? a2 ? ... ? a50 =0 评注 这是二项式定理的一个典型应用—赋值法,在使用赋值法时,令 a 、b等于多少,应 就具体问题而定,有时取“1”,有时取“-1”,或其他值.
1 2 3 n [例 2]在多项式 f ( x) ? Cn ( x ? 1) ? Cn ( x ? 1) 2 ? Cn ( x ? 1) 3 ? ... ? Cn ( x ? 1) n 的展开式中,
6

含 x 项的系数为

.
n

错解:原式= [1 ? ( x ? 1)]n ? 1= x ? 1

∴ x 6 项的系数为 0.
错因:忽视了n的范围,上述解法得出的结果是在n不等于 6 的前提下得到的,而这个条件 并没有提供. 正解:原式= [1 ? ( x ? 1)]n ? 1= x ? 1
n

∴当n≠6 时, x 6 项的系数为 0.
当n=6 时, x 项的系数为 1 说明:本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性,应注意原式中对照二项式定理缺少
0 Cn ( x ? 1) 0 这一项.
100

6

[例 3] 11 A.7 解:

? 1 的末尾连续零的个数是
B.5 C.3

(

) D.2

11100 ? (10 ? 1)100
0 1 97 98 99 100 ? C100 10100 ? C100 1099 ? ... ? C100 103 ? C100 102 ? C100 10 ? C100

上述展开式中,最后一项为 1;倒数第二项为 1000;倒数第三项为 495000,末尾有三 个 0; 倒数第四项为 16170000, 末尾有四个 0; 依次前面各项末尾至少有四个 0.所以 11 的末尾连续零的个数是 3. [例 4] 已知 ( x ? 故选 C.
100

?1

1 2? x
4

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列.

(1)求展开式中所有的 x 的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:(1)展开式前三项的系数分别为
1 2 C n ? 1, C n ?

1 n 2 1 2 1 ? , C n ? ( ) ? n(n ? 1) . 2 2 2 8

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由题设可知: 2 ?

n 1 ? 1 ? n(n ? 1) 2 8
3 4? r 4 .

解得:n=8 或n=1(舍去).
r r 当n=8 时, Tr ?1 ? C8 ( x )8?r ? (2 ? 4 x ) ?r = C8 ? 2 ?r ? x

据题意,4- 而 0≤

3 r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数, 4 35 1 2 x , T9 ? x . 8 256

r ≤8,∴ r =0,4,8. r +1 项的系数 t r ?1 最大,显然 t r ?1 >0,

故 x 的有理项为: T1 ? x 4 , T5 ? (2)设第

故有

t t r ?1 ≥1 且 r ? 2 ≤1. t r ?1 tr

C8r ? 2 ? r t r ?1 9?r ∵ = r ?1 ?r ?1 ? , tr 2r C8 ? 2


9?r ≥1,得 r ≤3. 2r



C r ?1 ? 2 ? r ?1 2(r ? 1) t r ?2 = 8 r ?r ? , t r ?1 8?r C8 ? 2
由 ∴

2(r ? 1) ≤1,得 r ≥2. 8?r
5
7

r =2 或 r =3,所求项分别为 T3 ? 7x 2 和 T4 ? 7x 4 .

评注:1.把握住二项展开式的通项公式,是掌握二项式定理的关键,除通项公式外,还应熟 练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质. 2.运用通项公式求二项展开的特定项,如求某一项,含 x 某次幂的项,常数项,有理 项,系数最大的项等,一般是运用通项公式根据题意列方程,在求得n或r后,再求所需的 项(要注意n和r的数值范围及大小关系). 3.注意区分展开式“第
m

r +1 项的二项式系数”与“第 r +1 项的系数”.
n

[例 5]已知 f ( x) ? (1 ? 2x) ? (1 ? 2x) 展开式中含 x 项的系数的最小值.
2

求 (m, n ? N ? ) 的展开式中含 x 项的系数为 24,

解:解法一 由 f (x) 中含 x 项的系数为 24,可得

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1 1 Cm 2x ? Cn 2x ? 2mx ? 2nx ? 24x .从而, m ? n ? 12 .

设 f (x) 中含 x 项的系数为t,则
2 2 t= Cm 2 2 ? Cn 2 2 ? 2(m2 ? n 2 ? m ? n) .

2

把 m ? 12 ? n 代入上式,得 t= 2[(12 ? n) 2 ? n 2 ? 12] ? 4(n ? 6) 2 ? 120. ∴当n=6 时,t的最小值为 120,此时m=n=6. 解法二 由已知 m ? n ? 12 , 设 f (x) 中含 x 项的系数为t,则 t= 2(m 2 ? n 2 ? 12) ≥2 [
2

( m ? n) 2 ? 12] =2(72-12)=120. 2

当且仅当m=n=6 时,t有最小值 120. ∴ f (x) 展开式中含 x 项的系数的最小值为 120. 评注:构造函数法是一种常用的方法,尤其在求最值问题中应用非常广泛. 四、典型习题导练
1 2 n 1.化简: 1 ? 2Cn ? 4Cn ? ... ? 2 n Cn
2

2. 设 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则

(a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的值为
3. (1+x)(2+x)(3+x)?(20+x)的展开式中 x19 的系数是 4. 式子 (| x | ? A、-15 . ( )

1 ? 2) 3 的展开式中的常数项是 |x|
B、20
m n 12

C、-20

D、15

5.已知二项式 (ax ? bx ) 中, a >0,b>0,2m+n=0 但mn≠0,若展开式中的最 大系数项是常数项,求

a 的取值范围. b
n n?1

6.用二项式定理证明:x ? na

x ? (n ? 1)a n 能被 ( x ? a) 2 整除
随机事件的概率及古典概型

(n∈ N ,n≥2).

?

§9.4

一、知识导学 1.必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件.
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不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件. 随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件. 2. 概率: 实际生活中所遇到的事件包括必然事件、 不可能事件和随机事件.随机事件在现实 世界中是广泛存在的.在一次试验中,事件 A 是否发生虽然带有偶然性,但在大量重复试验 下,它的发生呈现出一定的规律性,即事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它附 n

近摆动,这个常数就叫做事件 A 的概率.记着 P(A). 0≤P(A)≤1 3.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本 事件. 4.具有以下两个特点:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都 是等可能的.我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型 5.等可能事件的概率:如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结 果有m种,那么事件 A 的概率 P(A)=

m . n

二、疑难知识导析 1.必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系:必然事件是指在一定条件下必然发生 的事件; 不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件; 随机事件是指在一定的条件下 可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果,理解事件的结果是相应于“一 定条件”而言的,必须明确什么是事件发生的条件,什么是在此条件下产生的结果.上述三 种事件都是在一定条件下的结果. 2.频率与概率:随机事件 A 的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值,它是随 着试验次数的改变而变化的,它具有一定的稳定性,即总在某个常数p附近摆动,且随着试 验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,于是,我们给这个常数取个名字,叫随机事件 的概率.因此,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小;而频率在大量重复试验 的前提下,可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值. 3.必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,随机事件的概率:0<P(A)<1,这里要 辩证地理解它们的概率: 必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端, 它们虽是两 类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,即任意事件 A 的概率满足: 0≤P(A)≤1 4.等可能事件的理解:一次试验中所有可能的n个基本结果出现的可能性都相等,这n个 结果对应着n个基本事件.对等可能事件的理解, 其实质在于对等可能性的理解. 等可能性” “ 指的是结果,而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币,可能出现“两个正面”“两个反面” “一正一反” “一反一正”这四种结果,每一种结果的可能性相等,都是 0.25;而出现“两 个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的. 5.注意用集合的观点来看概率,运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说,一 次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合 I,其中各基本事件均为集合 I 的含有一个元 素的子集,包括m个基本事件的子集 A,从而从集合的角度来看:事件 A 的概率是子集 A 的 元素的个数与集合 I 的元素个数的比值,即 P(A)=

m .因此,可以借助集合的表示法来 n

研究事件,运用图示法弄清各事件的关系,从而做到较深刻的理解. 三、经典例题导讲 [例 1] 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开,问恰 好第三次打开房门锁的概率是多少?
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错解:有 5 把钥匙,每次打开房门的概率都是 三次打开房门的概率是

1 4 ,不能打开房门的概率是 ,因而恰好第 5 5

4 4 1 16 ? ? = . 5 5 5 125

错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”. 正解:我们知道最多开 5 次门,且其中有且仅有一次可以打开房门,故每一次打开门的概率 是相同的,都是

1 3 .开三次门的所有可能性有 A5 种.第三次打开房门,则房门钥匙放在第 3 5

2 号位置上,前两次没能打开门,则前 2 个位置是用另 4 把钥匙安排的,故有 A4 种可能.从而
2 A4 1 ? . 3 A5 5

恰好第三次打开房门锁的概率是 P(A)=

[例 2] 某组有 16 名学生,其中男、女生各占一半,把全组学生分成人数相等的两小组,求 每小组里男、女生人数相同的概率.
8 8 错解:把全组学生分成人数相等的两小组,有 C16 C8 种分法,事件 A 为组里男、女生各半的

情形,它有 (C C )

4 8

4 2 种,所以 8

(C84 C84 ) 2 P(A)= . 8 C16

错因:这里没注意到均匀分成两组与分成 A、B 两组的区别. 正解:基本事件有

1 8 8 1 C16 C8 ,事件 A 为组里男、女生各半的情形,它有 (C 84 C 84 ) 2 种,所 2 2

1 ( C84 C84 )(C84 C84 ) 490 以 P(A)= 2 . ? 1 8 1287 C16 2
[例 3] 把一枚硬币向上连抛 10 次,则正、反两面交替出现的概率是 . 错解: 抛掷一枚硬币出现正、 反两面的可能性都相等, 因而正、 反两面交替出现的概率是

1 . 2

错因:没审清题意.事实上,把一枚硬币向上连抛 10 次,出现正面 5 次的概率同样也不等于

1 . 2
正解:连抛 10 次得正、反面的所有可能的情况共有 2 种,而题设中的正、反两面交替出 现的情况只有 2 种,故所求的概率为
10

2 1 ? . 10 512 2

[例 4](2003.上海卷)某科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成, 现从中随机选出两位作为成果发布人, 则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数 表示). 解:设“从 20 名成员中随机选出的 2 人来自不同国家”为事件 A,则 A 所包含的基本事件
2 数为 C11C4 ? C11C5 ? C4 C5 ? 119,又基本事件数为 C 20 . 1 1 1 1 1 1

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故 P(A)=

119 119 . ? 2 C 20 190

[例 5] 将 4 个编号的球放入 3 个编号的盒中, 对于每一个盒来说, 所放的球数k满足 0≤k ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下,求: (1)第一个盒没有球的概率; (2)第一个盒恰有 1 个球的概率; (3)第一个盒恰有 2 个球的概率; (4)第一个盒有 1 个球,第二个盒恰有 2 个球的概率. 解:4 个不同的球放入 3 个不同的盒中的放法共有 3 种. (1)第一个盒中没有球的放法有 2 种,所以第一个盒中没有球的概率为:
4

4

P1=

2 4 16 ? . 3 4 81

1 (2)第一个盒中恰有 1 个球的放法有 C4 ? 2 3 种,所以第一个盒中恰有 1 个球的概率为:
1 C 4 ? 2 3 32 ? . 81 34

P2=

2 (3)第一个盒中恰有 2 个球的放法有 C4 ? 2 2 种,所以第一个盒中恰有 2 个球的概率为:
2 C4 ? 2 2 8 ? . 4 27 3

P3=

1 2 (4)第一个盒中恰有 1 个球,第二个盒中恰有 2 个球的放法有 C 4 C3 种,所以所求的概率
1 C 4 C32 4 ? . 4 27 3

为:P4=

[例 6] 一个口袋内有 7 个白球和 3 个黑球,分别求下列事件的的概率: (1)事件 A:从中摸出一个放回后再摸一个,两回摸出的球是一白一黑; (2)事件 B:从袋中摸出一个黑球,放回后再摸出一个是白球; (3)事件 C:从袋中摸出两个球,一个黑球,一个白球; (4)事件 D:从从袋中摸出两个球,先摸出的是黑球,后摸出的是白球. 解:(1)基本事件总数是 10?10.事件 A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球 后摸出黑球”,摸出白球及黑球分别有 7 种和 3 种可能.所以 A 发生共有 2?7?3 种可能. ∴P(A)=

2?7?3 =0.42. 10 ? 10 7?3 =0.21 10 ? 10

2)事件 B 与事件 A 不同,它确定了先摸黑球再摸白球的顺序. P(B)=

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2 (3)事件 C 说明摸出两个球不放回,且不考虑次序,因此基本事件总数是 C10 ,事件 C 包 1 1 含的基本事件个数是 C7 C3 .
1 1 C 7 C3 7 ? ≈0.47. 2 15 C10

P(C)=

(4)与事件 A 相比,D 要考虑摸出两球的先后次序.
1 1 C 7 C3 7 P(D)= 1 1 ? ≈0.23 C10 C9 30

评注:注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例(1)(2)是放回抽样,(3)(4) 是不放回抽样. 四、典型习题导练 1.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下: 抽取台数 优等品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少? 2.先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 A、





1 8

B、

3 8

C、

7 8

D、

5 8

3.停车场可把 12 辆车停放一排,当有 8 辆车已停放后,则所剩 4 个空位恰连在一起的概率 为 ( ) A、

7 8 C12

B、

8 8 C12

C、

9 8 C12

D、

10 8 C12

4.有 5 条线段,其长度分别为 1、3、5、7、9,现从中任取 3 条线段,求 3 条线段构成三 角形的概率. 5.把 10 个运动队平均分成两组进行预赛,求最强的两队被分在(1)不同组内;(2)同一 组内的概率. 6.甲、乙两人参加普法知识问答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个, 甲、乙两人依次各抽一题. (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少? §9.5 几何概型及互斥事件的概率 一、知识导学 1. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点, 该区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法 处理随机试验,称为几何概型. 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内” 为事件A,则事件A 发生的概率

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d的测度 . D的测度 这里要求D 的测度不为0,其中“测度”的意义依D 确定,当D 分别是线段、平面 图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等 2.互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C,其中任何两个都是互斥事件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A,B 是互斥事件时,那么事件 A+B 发生(即 A,B 中有一个发生)的概率,等于 事件 A,B 分别发生的概率的和. P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A1、A2、?、An彼此互斥,那么事件 A1+A2+?+An发生(即 A1、A2、?、A n中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和.
P(A)= 3.对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事件.事件 A 的对立事件通常记着 A . 对立事件的概率和等于 1. P( A )=1-P(A) 4.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件. 当 A,B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生(即 A,B 同时发生)的概率,,等 于事件 A,B 分别发生的概率的积. P(A ? B)=P(A) ? P(B ). 如果事件 A1、A2、?、An相互独立,那么事件 A1 ? A2 ? ? ? An发生(即 A1、A2、?、A n同时发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的积. 5.独立重复试验 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P, 那么在n次独立重复试验中这个试验恰好 发生k次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? k ) n?k

二、疑难知识导析 1.对互斥事件、对立事件的理解: 从集合角度看,事件 A、B 互斥,就是它们相应集合的交集是空集(如图 1);事件 A、 B 对立,就是事件 A 包含的结果的集合是其对立事件 B 包含的结果的补集(如图 2).

“互斥 事件”与“对立事件”都是就 两个事件而 言的, 互斥事件是不可能同时 发生的两个 事件, 而对立事件是其中必有 一个发生的互斥事件,因此,对立事件必须是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也 就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.

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根据对立事件的意义, (A+ A ) 是一必然事件,那它发生的概率等于 1, 又由于 A 与 A 互斥,于是有 P(A)+P( A )=P(A+ A )=1,从而有 P( A )=1-P(A).当某一事 件的概率不易求出或求解比较麻烦,但其对立事件的概率较容易求出时,可用此公式,转而 先求其对立事件的概率. 2.对相互独立事件的理解: 相互独立事件是针对两个事件而言的,只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性, 即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. 3.正确理解 A ? B 与 A+B 的关系:设 A、B 是两个事件,则 A ? B 表示这样一个事件,它的 发生表示 A 与 B 同时发生;而 A+B 表示这一事件是在 A 或 B 这两个事件中,至少有一个发 生的前提下而发生的.公式 P(A+B)=P(A)+P(B)与 P(A ? B)=P(A) ? P(B)的使 用都是有前提的. 一般情况下,P(A+B)=1-P( A ? B ) =P(A)+P(B)-P(A ? B) 它可用集合中的韦恩图来示意. 三、经典例题导讲 [例 1] 从 0,1,2,3 这四位数字中任取 3 个进行排列,组成无重复数字的三位数,求排 成的三位数是偶数的概率. 错解:记“排成的三位数是偶数”为事件 A, P(A)=
1 A2 A32 1 = . 3 2 A4

错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零. 正解:记“排成的三位数的个位数字是 0”为事件 A,“排成的三位数的个位数字是 2”为 事件 B,且 A 与 B 互斥,则“排成的三位数是偶数”为事件 A+B,于是 P(A+B)=P(A)+P(B)=

A32 A1 A 2 5 + 2 2 = . 1 1 A3 A32 A3 A32 9

[例 2] 从 1,2,3,?,100 这 100 个数中,随机取出两个数,求其积是 3 的倍数的概率. 错解:从 1,2,3,?,100 这 100 个数中,随机取出两个数,其积是 3 的倍数,则须所取两 数至少有一个是 3 的倍数. 记事件 A 为任取两整数相乘为 3 的倍数,则
1 1 C33C99 33 P(A)= ? 2 50 C100

错因: 这里相关的排列组合问题没有过关.
2 正解:基本事件数有 C100 种.在由 1 到 100 这 100 个自然数中,3 的倍数的数组成的集合 M

中有 33 个元素,不是 3 的倍数组成的集合 N 中有 67 个元素,事件 A 为任取两整数相乘为 3

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2 的倍数,分两类:(1)取 M 中 2 个元素相乘有 C 33 种;(2)从集合 M、N 中各取 1 个元素 1 1 相乘有 C33 C67 种.因为这两类互斥,所以
2 1 1 C33 ? C33C67 83 . ? 2 150 C100

P(A)= [例 3]

在房间里有 4 个人,问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?

解:由于事件 A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件 A 是“任何两个人的生日都 不同月”.因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为:
4 A12 55 41 ? P(A)=1-P( A )=1- 4 =1- . 96 96 12

[例 4] 某单位 6 名员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立). 求(1)至少 3 人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于 0.3? 解: (1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率,即
1 0 2 1- C6 0.56 - C6 0.56 - C6 0.5 6 =1-

1 ? 6 ? 15 21 ? . 64 32

(2)6 人同时上网的概率为 C 6 0.5 ?
6 6

1 <0.3; 64
5 6

6 至少 5 人同时上网的概率为 C6 0.56 + C 6 0.5 ?

7 <0.3; 64 11 4 6 6 5 至少 4 人同时上网的概率为 C6 0.56 + C6 0.56 + C 6 0.5 ? >0.3. 32

故至少 5 人同时上网的概率小于 0.3. 说明:本题是 2002 年全国高考新课程卷试题,以互联网为题设的背景,有很强的时代气息. 所提出的问题(至少几人同时上网)难度适当,切合考生的实际.解答时应具备适度的逻辑 思维能力,体现了以素质和能力为考查重点的试题设计理念. [例 5]设甲、 乙两射手独立地射击同一目标, 他们击中目标的概率分别为 0.9、 0.8, (1) 求: 目标恰好被甲击中的概率;(2)目标被击中的概率. 解:设事件 A 为“甲击中目标”,事件 B 为“乙击中目标”. 由于甲、乙两射手独立射击,事件 A 与 B 是相互独立的, 故 A 与 B 、 A 与 B 也是相互独立的. (1)目标恰好被甲击中,即事件 A B 发生. P(A? B )=P(A)?P( B )=0.9?(1-0.8)=0.18. ∴目标恰好被甲击中的概率为 0.18. (2)目标被击中即甲、乙两人中至少有 1 人击中目标,即事件 A? B 、 A ?B、A?B 发生. 由于事件 A? B 、 A ?B、A?B 彼此互斥,
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所以目标被击中的概率为 P(A? B + A ?B+A?B)=P(A? B )+P( A ?B)+P(A?B) =P(A)?P( B )+P( A )?P(B)+P(A?B) =0.9?0.2+0.1?0.8+0.9?0.8=0.98. 评注:运用概率公式求解时,首先要考虑公式的应用前提.本题(2)也可以这样考虑:排除 甲、乙都没有击中目标.因为 P( A ? B )=P( A )?P( B )=0.1?0.2=0.02. 所以目标被击中的概率为 1-P( A ? B )=1-0.02=0.98. [例 6] (06 年高考四川) 某课程考核分理论与实验两部分进行, 每部分考核成绩只记 “合格” 与“不合格” ,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论 考核中合格的概率分别为 0.9,0.8,0.7;在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9, 所有考核是否合格相互之间没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2)求这三人课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数) 解: 记“甲理论考核合格”为事件 A1, “乙理论考核合格”为事件 A2, “丙理论考核合格” 为事件 A3,“甲实验考核合格”为事件 B1,“乙实验考核合格”为事件 B2,“丙实验考核合 格”为事件 B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C. 则 P(C)=P(A1 A2 A3 +A1 A2 A3+ A1 A2 A3+A1 A2 A3) =P(A1 A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2 A3)+P(A1 A2 A3) =0.9?0.8?0.3+0.9?0.2?0.7+0.1?0.8?0.7+0.9?0.8?0.7 =0.902 (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D. 则 P(D)=P[(A1?B1)?(A2?B2)?(A3?B3)] =P(A1?B1)?P(A2?B2)?P(A3?B3) =P(A1)?P(B1)?P(A2)?P(B2)?P(A3)?P(B3) =0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9 ≈0.254 所

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