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§3.1.1空间向量的线性运算


2016—2017 学年
编号:2-1.3.1.1

高二数学选修 2-1 1 学案
审核:高二数学组

第三章 空间向量与立体几何
班级: 姓名: 使用时间:

编制:第四项目组

§3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标: 【概念性知识· 理解记忆】1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法; 【程序性知识· 运用】2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;
3.能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单立体几何中的问题.

学习重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. 学习难点:应用向量解决立体几何问题. 预习案 前置补偿:化简下列各式:
??? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? BC ? CA

(2) 2(a ? b ? 3c) ? 3(a ? b ? 2c)

? ?

?

? ?

?

预习要求:请同学们自己预习课本 79-81 页内容,有困难或疑问请用红笔标注,并独立完成下面的问题. 教材助读:1.空间向量的概念: ? ⑴在空间, 我们把既有 又有 的量, 叫做空间向量, 记为 a .向量大小称为________, 记为____.
⑵零向量:________________,方向_____,记为_____;单位向量:_____________. ⑶相等向量:大小_______方向_______的向量;相反向量:大小_______方向_______的向量. ⑷平行向量(共线向量):____________________________,记为_______.规定:_________. ⑸数乘向量(实数与向量的乘积):记为_____,大小:______,方向:________________________. 2.空间向量的加法、减法与数乘向量运算: ⑴A 1A 2 ?A 2A 3 ? _____. 特点:_________________.推广: A 1A 2 ?A 2A 3?A 3A 4 ? ?? A n?1 A n ? _____.

????? ?????

????? ????? ?????

???????

??? ? ??? ? OA ? OB ? _____. 特点:_____________________.

(思考:向量加法还有哪些法则?表达式有什么特点?) ⑵空间向量的运算律: 加 法 交 换 律 :

? ? ? ? ? a ? b ? ___. 加 法 结 合 律 : (a ? b) ? c ? ____. 数 乘 分 配
? ?

律: (? ? ? )a ? ____; ? (a ? b) ? ____.

?

预习自测:
1.点 C 在线段 AB 上,且

???? AC 5 ? ,则 AC ? __ CB 2

??? ? ??? ? AB , BC ?

??? ? AB .

D1 A1 B1

C1

2.已知平行六面体ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,回答下列问题 : ⑴与 AB 相等的向量是_____________________________; ⑵与 DC1 相反的向量是_____________________________; ⑶与 AA 1 共线的向量是_____________________________. 3.化简下列各式: ??? ? ???? ??? ? ??? ? ⑴ AB ? AC ? BD ? CD

??? ?

D A B

C

???? ?

????

??? ? ???? ??? ? ???? ? ⑵ AB ? MB ? BO ? OM

预习疑惑:___________________________________________________________________.
1

探究案
探究点 1:空间向量的概念
例1.判断下列命题的真假: ⑴若空间向量 a ? b ,则 a ? b .(

?

?

?

?



⑵零向量没有方向.(



⑶零向量与任意向量共线.( ) ⑷同向且等长的有向线段表示同一向量.( ) ⑸如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等.( )⑹空间任意两个向量不一定共面.( ) 变式练习: 下列说法中正确的是( ) A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同. B.若非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线. C.若空间中向量 a, b, c 满足 a / /b, b / /c ,则 a / / c .

??? ?

??? ?

? ??

?

??

?

?

?

D.已知四边形 ABCD ,那么它是平行四边形的充要条件是 AB ? DC .

??? ?

????

探究点 2:空间向量的线性运算
例 2.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 (如图) ,点 M 、N 分别为 B1C、CC1 的中点,化简下列向量表 达式,并标出化简结果的向量: D1 A1 B1 M D A B C

??? ? ????? (1) AB ? A1 D1 ??? ? ???? ???? (3) AB ? AD ? AA1 ??? ? ???? 1 ???? ? ??? ? (5) AB ? AD ? ( DD1 ? BC ) 2
变式练习:

??? ? ??? ? ???? ? (2) AB ? BC ? CC1 ? ??? ? ???? ? 1 ??? (4) ( BC ? BA ? AC1 ) 2

C1

N

??? ? ? ???? ? AB ? a , AD ? b , M 1. 如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 为 A1C1 与 B1 D1 的交点 . 若 ???? ? D1 C1 AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是( ) M 1? 1? ? 1? 1? ? A1 B1 ( A) ? a ? b ? c ( B) a ? b ? c 2 2 2 2 1? 1? ? 1? 1? ? ? a ? b ? c (C ) ( D) a ? b ? c D C 2 2 2 2
A B

2.已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列各表达式,并标出 A 化简结果的向量:

??? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? BC ? CD ???? 1 ??? ? ???? (2) AG ? ( AB ? AC ) 2 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? (3) AB ? BD ? BC 2 2 探究点 3:空间向量证明立体几何问题

B M C G

D

2

A M

MN ? 例 3. M , N 分别是四面体ABCD的棱AB, CD的中点,求证:

???? ?

? 1 ???? ??? ( AD ? BC ). 2

变式练习: 如图,设 A 是 ?BCD 所在平面外一点, G 是 ?BCD 的重心(重心是 ?BCD 三边中线的交点). 求证: AG ?

????

? ???? ???? 1 ??? ( AB ? AC ? AD ) . 3

A

B G E

D

探究点 4:用已知向量表示未知向量

C

例 4.⑴如图, 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E 是上底面 A1B1C1D1 的中心.求下列各式中 x、 y 的 D1 值. C1 ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? E

①AC1 ? x( AB ? BC ? CC1 ) ??? ? ???? ??? ? ??? ? ②AE ? AA1 ? xAB ? yAD

A1

B1

D A B

C

??? ? ? ???? ? ???? ? ⑵如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 AB ? a , AD ? b , AA 1 ?c.
求证: AC ? AB1 ? AD1 ? 2 AC1 . A1 D A 变式练习: 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是侧面 BCC1B1 的中心.求下列各式中 x、 y 的值. B

??? ? ???? ???? ?

???? ?

D1 B1 C

C1

??? ? ??? ? ???? ??? ? (1) AE ? AB ? xAA1 ? yAD ???? ? ??? ? ??? ? ???? (2)BD1 ? xAD ? yAB ? AA1
A1

D1

C1

B1 D

E

C

A

B
3

课后检测:
1.下列说法中正确的是( ) ? ? ? ? A. 若 a ? b ,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同.

C. 空间向量的减法满足结合律. ?? ? ?? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a , b 是两个非零向量, a0 , b0 分别是与 a , b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( ) ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? A. a0 ? b0 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 C. a0 ? 1 D. a0 ? b0 3.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: A1 B1 ⑴ CB ? BA1 C1 M A

? ? ? ? B. 若 a 与 b 是相反向量,则 a ? b . ??? ? ???? ???? D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC .

1 ⑵ AC ? CB ? AA1 2
⑶ AA1 ? AC ? CB

B

C 4.已知平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,化简下列向量表达式,并填上化简后的结果向量: ⑴ AB ? C1B 1 ? CD1 ? __________;⑵ AB ? AD ? AA 1 ? __________. 5.设 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是平行六面体, M 是底面 ABCD 的中心, N 是侧面 BCC1 B 1 对角线 BC1 上的点, D1

??? ? ????? ? ???? ?

??? ? ???? ????

???? ? ??? ? ??? ? ???? 且 BN ? 3NC1 ,若 MN ? aAB ? bAD ? cAA 1 ,则 a ? b ? c ? ______ .

C1

A1 D

B1 C

B 6.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E、F 分别为棱 BC 和 A 1D 1 的中点.求证:四边形 DEB 1F 为平行四边 形.

A

4


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