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6.2算术平均数与几何平均数(1)


一、问题情境
现有甲乙两商场对单价相同的同类产品 进行促销,甲商场采取的促销方式是在原价p 折的基础上再打q折;乙商场的促销方式则是 p+q 两次都打 折。 2 试问:对顾客而 言,哪种打折方式更合算?

二、新课讲授
1.重要不等式: 重要不等式:

如果a, b ∈ R, 那么a + b ≥ 2ab (当且仅当a = b时取“ ”号) =
2 2

证明:(作差比较法)

a +b 2.定理: 如果a, b ∈ R ,那么 ≥ ab 2 (当且仅当a = b时取“ ”号) =
+

注意: 注意
a+b (1) 可以看作是两个正数 a , b的等差中项 , 2 a+b 我们称 为a , b的算术平均数 . 2 ( 2) ab可以看作是两个正数 a , b的等比中项 ,

我们称 ab为a , b的几何平均数 .

两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数

(3)均值不等式的几何意义是“半 )均值不等式的几何意义是“ 径不小于半弦” 径不小于半弦”。 (4)两个定理成 ) 立的条件不同, 立的条件不同,前 者只要求 a,b都是 都是 实数, 实数,后者则要求 a,b都是正实数。 都是正实数 都是正实数。

D
ab

A

a

C b D/

B

a+b 2 + (2)ab ≤ ( ) ( a, b ∈ R ) 2 b a (3) + ≥ 2(ab > 0) a b
2 2

三、公式变形 2 2 a +b (1)ab ≤ ( a, b ∈ R ) 2

a +b a+b 2 请比较 与( ) 的大小 2 2 2 2 a +b a+b 2 用作差比较法,得 ≥( ) 2 2

四、公式的推广: 公式的推广 定理: 定理:如果 a, b, c ∈R
3 3 3

a + b + c ≥ 3abc

+ ,那么 那么

(当且仅当 当且仅当a=b=c时取“=”号) 时取“ 号 当且仅当 时取

a +b +c 3 + 推论: (1) ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3 a1 + a2 +L+ an n (2) ≥ a1 ? a2 ?L? an n + (a1 ? a2 ?L? an ∈ R )

五、公式的应用: 公式的应用
都是正数,求证: 例1:已知a,b,c,d都是正数,求证: :

(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
例2:已知a、b、c都是正数, 都是正数, 求证:( 求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

例3:若a,b,c是互不相等的实数,求证: a + b + c > ab + bc + ac
2 2 2

方法1:用作差比较法。 方法2:用均值不等式。

例4: 已知a, b ∈ R , 求证: 2 2 a +b a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b

+

例5:“a+b≥2 ab ”是“a∈R+,b∈R+”的 : + 是 ∈ ∈ ( ) B A.充分不必要条件 . B.必要不充分条件 . C.充要条件 . D.即不充分也不必要条件 . 2ab,a +b ,b中最大的是 A ) , 中最大的是( 中最大的是 A.b B.a2+b2 . . C.2ab D.1 . .
2 1 例6:设b>a>0,且a+b=1,则此四个数 , : > > , + = , 2 2 2

例7:已知a,b,c ∈ R , 且a + b + c = 1, 1 1 1 求证: + + ≥ 9 a b c
分析:巧用“1”的代换 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 证明: + + = + + a b c a b c b a c a c b = 3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 9 a b a c b c 1 当且仅当a=b=c= 时,等号成立. 3

+

小结:常用的不等式 (1)a + b ≥ 2ab(a, b ∈ R )
2 2

a+b + (2) ≥ ab (a, b ∈ R ) 2 2 2 a+b 2 a +b (3)ab ≤ ( ) ≤ ( a, b ∈ R ) 2 2

b a (4) + ≥ 2(ab > 0) a b

作业:三维设计课时作(四)


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