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初高中数学衔接校本教研教材

初高中数学衔接校本教研教材 目 录 引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法(平方差,完全平方,立方和,立方差) 1. 3 分组分解法 1. 4 十字相乘法(重、难点) 1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第三讲 三角形的“四心” 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a? ; b 2 2 3 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 2 2 (3)三数和平方公式 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b 3 3 2 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ?.b 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) . 2 2 2 解法一:原式= ( x 2 ? 1) ? ? ( x ? 1) ? x ? ? = ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x 6 ? 1. 解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ?1) = x 6 ? 1. 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值. 解: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 . 练 习 1.填空: 1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? ( (1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题: 2 2 2 2 ) ; ); ). ( (D) ) 1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值 (1)若 x ? 2 1 2 m 16 ) (A)总是正数 (C)可以是零 ( (B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有: 十字相乘法、 提取公因式法、 公式法、 分组分解法, 另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y . 解: (1)如图 1.1-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2). x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by 图 1.1-1 图 1.1-2 图 1.1-4 说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的 两个 x 用 1 来表示(如图 1.1-2 所示) . (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得 x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by) (4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) . 课堂练习 一、填空题: 1、把下列各式分解因式: x y -1 1 图 1.1-5 (1) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。 2 2 (2) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (3) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 2 2 (4) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 2 2 (5) x ? ?a ? 1?x ? a ? __________________________________________________。 (6) x ? 11x ? 18 ? __________________________________________________。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________________________________________________。 2 (8) 4

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