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唐山市2013-2014学年度高三年级第二次模拟考试文数


唐山市 2013—2014 学年度高三年级第二次模拟考试

数学(文)试题
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两 部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动, 用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项符合题目要求. 1+ai (1)已知 a∈R,若 为实数,则 a= 2-i (A)2 (B)-2


(C)-

1 2

(D)

1 2 ? )的图象关于点 6

(2)已知命题 p:函数 y=e|x 1|的图象关于直线 x=1 对称,q:函数 y=cos(2x+ ( ? ,0)对称,则下列命题中的真命题为 6 (B)p∧?q (C)?p∧q (D)?p∨?q

(A)p∧q

(3)设变量 x,y 满足 ? 最小值分别为 (A)1,-1

? ?1 ? x ? y ? 1 ,则 2x+y 的最大值和 ? ?1 ? x ? y ? 1

开始 n=0,S=0 S=S+2n n=n+1 是

(B)2,-2

(C)1,-2

(D)2,-1
否 输出 S 结束

(4)执行右边的程序框图,若输出的 S 是 255,则判断框内应填写 (A)n≤6? (B)n≤7? (C)n≥7? (D)n≥8?

(5)已知 sin α+ 2cos α= 3,则 tan α= (A) 2 2 (B) 2 (C)- 2 2 (D)- 2
y

(6)已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示, 则 f( ? )= 2 3 2 (B)- 2 2 2 2

(A)- (C) 3 2

O

5π 12

3π x 4

(D)

(7)用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的总体中依次抽取一个容量为 5 的样本,则个体 m 被抽到的概率为 (A)

1 100

(B)

1 20

(C)

1 99

(D)

1 50

(8)正三棱柱的底面边长为 3 ,高为 2,则这个三棱柱的外接球的表面为 (A)4 ? (C) (B) 8 2 (D)8 ?

?

8 2 ? 3

(9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A)4+4 3 (C)12 4 3 (B) 3 (D)8

(10)若实数 a,b,c 满足 a2+b2+c2=8,则 a+b+c 的最大值为 (A)9 (C)3 2 (B)2 3 (D)2 6

x2 y2 (11)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与圆 C2:x2+y2=b2,若在椭圆 C1 上存在点 P,使得由 a b 点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是 (A)[ 1 ,1) 2 (B)[ 2 3 , ] 2 2 (C)[ 2 ,1) 2 (D)[ 3 ,1) 2

(12)若不等式 lg

1 ? 2 x ? (1 ? a)3x ≥(x-1)lg 3 对任意 x ? (??,1) 恒成立,则 a 的取值范围是 3

(A)(-∞,0] (C)[0,+∞)

(B)[1,+∞) (D)(-∞,1]

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)已知函数 f ( x) ?

e x ? e? x 1 ,若 f (a) ? ,则 f(-a)=____ x ?x e ?e 2
5 , 2

(14)已知向量 a=(2,1),b=(-1,2),若 a,b 在向量 c 上的投影相等,且(c-a)· (c-b)=- 则向量 c 的坐标为________.

y2 (15) 已知 F1, F2 为双曲线 C: x2- =1 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|, 则 cos ∠F1PF2 3 =_________. (16)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 a,b,c 成等差数列,且 A-C=90?,则 cos B=________.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选考题.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在公差不为 0 的等差数列{an}中,a3+a10=15,且 a2,a5,a11 成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; 1 1 1 (Ⅱ)设 bn= + +…+ ,试比较 bn+1 与 bn 的大小 ,并说明理由。 an an+1 a2n-1

(18) (本小题满分 12 分) 某种水果的单个质量在 500g 以上视为特等品 随机抽取 1000 个水果。结果有 50 个特等品 将 这 50 个水果的质量数据分组,得到右边的频率分布表。 (I)估计该水果的质量不少于 560g 的概率;

(II)若在某批该水果的检测中,发现有 15 个特等品,据此估计该批水果中没有达到特等品的 个数。

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,且 PA⊥底面 ABCD,BD⊥PC,E 是 PA 的中点.
P

(Ⅰ)求证:平面 PAC⊥平面 EBD; (Ⅱ)若 PA=AB=AC=2,求三棱锥 P-EBD 的体积.
E A B C

D

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=x2-ln x-ax,a∈R. (I)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (II)若 f (x)>x,求 a 的取值范围;

(21) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作圆 C:(x-2)2+y2=1 的两 条切线,切点为 A,B,|AB|= (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P,Q,若 P,Q,O(O 为原点) 三点共线,求点 N 的坐标. 4 2 . 3

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点,过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG,G 为切 点,已知 EF=FG.求证:
C

(Ⅰ)△DEF∽△EAF; (Ⅱ)EF∥CB.
A G O E D F B

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 长为 3 的线段两端点 A,B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,→ BP =2→ PA ,点 P 的轨 迹为曲线 C. (Ⅰ)以直线 AB 的倾斜角 α 为参数,求曲线 C 的参数方程; (Ⅱ)求点 P 到点 D (0,-2)距离的最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-a|-|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=-1 时,解不等式 f (x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f (x)≤4,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题: A 卷:CABAA B 卷:DBBAA BBDCD BADCD CD DC

二、填空题: (13) 1 2 (14)( 1 3 , ) 2 2 (15) 1 4 (16) 3 4

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d.由已知得
?a1+2d+a1+9d=15, ? 2 ?(a1+4d) =(a1+d)(a1+10d).

…4 分

注意到 d≠0,解得 a1=2,d=1. 所以 an=n+1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 1 1 1 1 1 1 bn= + +…+ ,bn+1= + +…+ , 2n n+1 n+2 n+2 n+3 2n+2 1 1 1 因为 bn+1-bn= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - >0, 2n+1 2n+2 …10 分 …11 分 …12 分 …6 分

所以 bn+1>bn.

(18)解: (Ⅰ)由已知可得该水果的质量不少于 560 g 的概率 p=0.16+0.04=0.2. (Ⅱ)设该批水果中没有达到特等品的个数为 x,则有 15 50 = ,解得 x=285. 1000 x+15 …12 分 …6 分

(19)解: (Ⅰ)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 又 BD⊥PC,所以 BD⊥平面 PAC, 因为 BD?平面 EBD,所以平面 PAC⊥平面 EBD. …5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,BD⊥AC,所以 ABCD 是菱形,∠BAD=120?. 所以 S△ABD= 1 1 BD· AC= 3. 2 2 …7 分

设 AC∩BD=O,连结 OE,则(Ⅰ)可知,BD⊥OE. 所以 S△EBD= 1 BD· OE= 6. 2 …9 分

设三棱锥 P-EBD 的高为 h,则 1 1 1 1 2 S · h= S△ABD· AE,即 × 6h= × 3× 1,解得 h= . …12 分 3 △EBD 3 3 3 2

(20)解: (2x+1)(x-1) (Ⅰ)当 a=1 时,f (x)=x2-ln x-x,f ?(x)= . x 当 x∈(0,1)时,f ?(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f ?(x)>0. 所以 f (x)的最小值为 f (1)=0. (Ⅱ)f (x)>x,即 f (x)-x=x2-ln x-(a+1)x>0. ln x 由于 x>0,所以 f (x)>x 等价于 x- >a+1. x x2-1+ln x ln x 令 g (x)=x- ,则 g ?(x)= . x x2 当 x∈(0,1)时,g ?(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g ?(x)>0. g (x)有最小值 g (1)=1. …7 分 …5 分

故 a+1<1,a 的取值范围是(-∞,0).

…12 分

(21)解: (Ⅰ)由已知得 M (- p ,0),C (2,0). 2 2 2 . 3

设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|= 于是|CR|= |AC|2-|AR|2= 所以|CM|= 1 , 3

|AC| |AC| p = =3,即 2+ =3,p=2. 2 sin ∠AMC sin ∠CAR …5 分

故抛物线 E 的方程为 y2=4x.

(Ⅱ)设 N (s,t). P,Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点.
2 2 s+2 2 t 2 (s-2) +t 圆 D 方程为(x- ) +(y- ) = , 2 2 4

即 x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0. 又圆 C 方程为 x2+y2-4x+3=0. ②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0.

① ② ③ …9 分

P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程. 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0,s= 故点 N 坐标为( 3 3 , 6)或( ,- 6). 2 2 3 . 2 …12 分

(22)解: (Ⅰ)由切割线定理得 FG2=FA· FD. EF FD 又 EF=FG,所以 EF2=FA· FD,即 = . FA EF 因为∠EFA=∠DFE,所以△FED∽△EAF. …6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠FED=∠FAE. 因为∠FAE=∠DAB=∠DCB, 所以∠FED=∠BCD,所以 EF∥CB. …10 分

(23)解: (Ⅰ)设 P (x,y),由题设可知, 则 x= 2 1 |AB|cos(?-α)=-2cos α,y= |AB|sin(?-α)=sin α, 3 3

?x=-2cos α, 所以曲线 C 的参数方程为? (α 为参数,90?<α<180?) . …5 分 ?y=sin α

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 |PD|2=(-2cos α)2+(sin α+2)2=4cos2α+sin2α+4sin α+4 =-3sin2α+4sin α+8=-3(sin α- 当 sin α= 2 2 28 )+ . 3 3 …10 分

2 2 21 时,|PD|取最大值 . 3 3

(24)解: (Ⅰ)当 a=-1 时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1. 当 x≤-3 时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当-3<x<-1 时,不等式化为-(x+1)-(x+3)≤1,解得- 5 ≤x<-1; 2

当 x≥-1 时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立. 综上,不等式的解集为[- 5 ,+∞). 2 …5 分

(Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f (x)≤4 即|x-a|≤x+7, 由此得 a≥-7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[-7,7]. …10 分


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