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2016年高中数学 第三章 概率 3.2.1古典概型学案 新人教A版必修3新人教A版


3.2 3.2.1

古典概型 古典概型

1.问题导航 (1)什么叫基本事件?它有什么特点? (2)什么叫古典概率模型?它有什么特点? 2.例题导读 通过对例 1 的学习,学会如何求基本事件; 通过对例 2,3,4,5 的学习,学会如何求古典概型的概率.

1.基本事件 (1)定义:在一次试验中,所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为 该次试验的基本事件. (2)特点:一是任何两个基本事件是互斥的;二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件的和. 2.古典概型 (1)定义:如果一个概率模型满足: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性相等. 那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型. (2)计算公式:对于古典概型,任何事件 A 的概率为 P(A)=

A包含的基本事件的个数
基本事件的总数

.

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件;( ) (2)为求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率,将取出的正整数作为基本事件; ( ) (3)从甲地到乙地共 n 条路线,且这 n 条路线长短各不相同,求某人正好选中最短路线的 概率.( ) 解析:根据古典概型的两个特征知:(1)×;(2)×;(3)√. 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.若书架上放有数学、物理、化学书分别是 5 本、3 本、2 本,则随机抽出一本是物理

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书的概率为( A. C. 1 5 3 5

) B. D. 3 10 1 2

(链接教材 P130 练习 3) 解析:选 B.基本事件总数为 10, “抽出一本是物理书”包含 3 个基本事件,所以其概率 3 为 ,故选 B. 10 3.在 20 瓶饮料中,有 2 瓶已过了保质期.从中任取 1 瓶,取到已过保质期的饮料的概 率是________. (链接教材 P130 练习 1) 2 1 解析:基本事件共有 20 个,事件发生占 2 个,故所求概率为 = . 20 10 答案: 1 10

4. “在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为 2 的概率是多少?”这个概率模型属于古 典概型吗? 解:不是.因为在区间[0,10]上任取一个数,其试验结果有无限个,故其基本事件有无 限个,所以不是古典概型.

1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件,且这些事件彼此互斥.试验中的事 件 A 可以是基本事件,也可以是由几个基本事件组合而成的. 2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式 P(A)=事件 A 所包含的 基本事件的个数÷基本事件的总数,只对古典概型适用.

基本事件及其计算 从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? (链接教材 P125 例 1) [解] 所求的基本事件共有 6 个:

即 A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}.

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[互动探究] 本例中,若将“任意取出两个”改为“任意取出三个” ,有哪些基本事件? 解:所求的基本事件共有 4 个:{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}. 方法归纳 基本事件的两个探求方法: (1)列表法:将基本事件用表格的形式表示出来,通过表格可以清楚地弄清基本事件的总 数,以及要求的事件所包含的基本事件数,列表法适合于较简单的试验的题目,基本事件较 多的试验不适合用列表法(关键词:基本事件的总数). (2)树状图法:树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于 分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.树状 图法适合于较复杂的试验的题目(关键词:结构关系).

1.(1)做试验“从 0,1,2 这 3 个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数 对(x,y),x 为第 1 次取到的数字,y 为第 2 次取到的数字”. ①写出这个试验的基本事件; ②求出这个试验的基本事件的总数; ③写出“第 1 次取出的数字是 2”这一事件包含的基本事件. 解:①这个试验的基本事件为(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0),(2,1). ②基本事件的总数为 6. ③“第 1 次取出的数字是 2”包含以下 2 个基本事件:(2,0),(2,1). (2)口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从 中摸出一球,求出这个试验的基本事件个数. 解:把四人依次编号为甲、乙、丙、丁,把两白球编上序号 1,2,把两黑球也编上序号 1,2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果,可用树状图直观地表示出 来如下:

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从上面的树状图可以看出,试验的所有可能结果数为 24.

简单的古典概型的计算 (2014·高考天津卷)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其 年级情况如下表: 一年级 男同学 女同学 二年级 三年级

A X

B Y

C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率. [解] (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C}, {A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z}, {X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A,Y}, {A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 方法归纳 (1)本题关键是通过分析得出公式中的分子、分母,即某事件所含基本事件数和基本事件 的总数,然后代入公式求解. (2)使用古典概型概率公式应注意: ①首先确定是否为古典概型; ②A 事件是什么,包含的基本事件有哪些.

2.(1)设集合 M={b,1},N={c,1,2},M? N,若 b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}.
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① 求 b=c 的概率; 2 ②求方程 x +bx+c=0 有实根的概率. 解:①因为 M? N,所以 当 b=2 时,c=3,4,5,6,7,8,9; 当 b>2 时,b=c=3,4,5,6,7,8,9.基本事件总数为 14; 其中 b=c 的事件数为 7 种, 1 所以 b=c 的概率为 . 2 ②记“方程有实根”为事件 A,若使方程有实根, 2 则Δ =b -4c≥0,即 b=c=4,5,6,7,8,9,共 6 种. 6 3 故 P(A)= = . 14 7 (2)从分别写有 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张卡片中,任取 2 张,观察上面的数字, 求下列事件的概率: ①两个数的和为奇数; ②两个数的积为完全平方数. * 解:假设抽取卡片有先后顺序,不放回,则基本事件空间与点集 S={(x,y)|x∈N ,y∈ * N ,1≤x≤9,1≤y≤9 且 x≠y}中的元素一一对应,而 S 中的点有 72 个,所以基本事件总数 为 72 个,而本题中抽取卡片无序,所以基本事件总数为 36 个. ①和为奇数的条件是当且仅当两个数的奇偶性不同,即从 1,3,5,7,9 中取 1 个数和 从 2,4,6,8 中取 1 个数的情况. 从 1,3,5,7,9 中抽取 1 个数的情况有 5 种,从 2,4,6,8 中抽取 1 个数的情况有 4 20 5 种,由列举可知“两个数的和为奇数”的基本事件共有 20 个.∴概率 P= = . 36 9 ②当且仅当所取两个数为 1×4,1×9,2×8,4×9 时,两个数的积为完全平方数. ∴两个数的积为完全平方数共有 4 种情况. 4 1 ∴概率 P= = . 36 9

较复杂的古典概型的计算 某城市的电话号码是 8 位数,如果从电话号码本中任取一个电话号码,求: (1)头两位数字都是 8 的概率; (2)头两位数字都不超过 8 的概率. (链接教材 P128 例 4) [解] 电话号码每位上的数字都可以由 0,1,2,?,9 这十个数字中的任意一个数字组 8 成,故试验基本事件总数为 n=10 . (1)记“头两位数字都是 8”为事件 A,则若事件 A 发生,头两位数字都只有一种选法, 6 即只能选 8,后六位各有 10 种选法,故事件 A 包含的基本事件数为 m1=10 .所以由古典概型 概率公式,得 P(A)= =

m1 106 1 = =0.01. n 108 100

(2)记“头两位数字都不超过 8”为事件 B, 则事件 B 的头两位数字都有 9 种选法, 即从 0~ 6 8 这 9 个数字中任选一个, 后六位各有 10 种选法, 故事件 B 所包含的基本事件数为 m2=81×10 .

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所以由古典概型概率公式,得 P(B)= =

m2 81×106 =0.81. 8 n 10

方法归纳 (1)电话号码及密码问题中,每个数字在各个位置出现的机会是相等的,且首位也可为 0; (2)由于此类问题的基本事件数目较大,且很难一一列举,常借助整数的有关性质求解.

3.(1)一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成 1 000 个同样大小的小正方体,将这些正 方体混合后,从中任取一个小正方体,求: ①有一面涂有色彩的概率; ②有两面涂有色彩的概率; ③有三面涂有色彩的概率. 2 解:在 1 000 个小正方体中,一面涂有色彩的有 8 ×6 个,两面涂有色彩的有 8×12 个, 三面涂有色彩的有 8 个,所以 384 ①一面涂有色彩的概率为 P1= =0.384; 1 000 ②两面涂有色彩的概率为 P2= ③三面涂有色彩的概率为 P3= 96 =0.096; 1 000 8 =0.008. 1 000

(2)储蓄卡的密码是一个六位数字号码,每位上的数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任取. ①如果某人拾到储蓄卡一张,随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少? ②若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字,随机按下两位数字正好按对密码的概率是多 少? 解:①由储蓄卡的密码是六位数字号码,且每位上的数字都有从 0 到 9 共 10 种取法,故 6 这种号码共有 10 个,由于随意按下一个六位号码,无论按下哪个号码的可能性都是均等的, 1 故正好按对密码的概率 P= 6. 10 ②按六位号码的后两位数字共有 100 种按法,随意按下后两位数字,每一种按法机会均 等,故按对的概率为 P= 1 . 100

规范解答

用列举法求古典概型的概率

(本题满分 12 分)箱子里有 3 双不同的手套,随机拿出 2 只,记事件 A 表示“拿出 的手套配不成对”;事件 B 表示“拿出的都是同一只手上的手套”;事件 C 表示“拿出的手 套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”. (1)请列出所有的基本事件; (2)分别求事件 A、事件 B、事件 C 的概率. [解] (1)分别设 3 双手套为:a1a2;b1b2;c1c2.a1,b1,c1 分别代表左手手套,a2,b2,c2 分别代表右手手套.? 2 分 从箱子里的 3 双不同的手套中,随机拿出 2 只,所有的基本事件是: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2);
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(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2); (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2); (b2,c1),(b2,c2); (c1,c2).共 15 个基本事件.? 6 分 (2)①事件 A 包含 12 个基本事件,? 12 4 3 4 故 P(A)= = (或能配对的只有 3 个基本事件,P(A)=1- = );8 分 15 5 15 5 ②事件 B 包含 6 个基本事件, 6 2 故 P(B)= = ;10 分 15 5 ③事件 C 包含 6 个基本事件, 6 2 故 P(C)= = .12 分 15 5 [规范与警示] ?设事件是解决此类问题的首要步骤;极易忽视指明 a1,b1,c1 及 a2,b2,c2 的意义; ?要按规律列出所有基本事件,否则容易遗漏或重复计算; ?找准事件 A 所包含的基本事件的个数是关键. 解古典概型问题时,要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式,但是这类问题的解法多样, 技巧性强,在解决此类题时需要注意以下三个问题: (1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性. (2)计算基本事件的数目时,须做到不重不漏. 常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件. (3)利用事件间的关系 在求解较复杂事件的概率时,可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件,由公式 P(A1 ∪A2∪A3∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An)求得,或采用正难则反的原则,转化为求其对立 事件,再用公式 P(A)=1-P(A)(A 为 A 的对立事件)求得.

1.(2014·高考江西卷)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( A. C. 1 18 1 6 B. D. 1 9 1 12

)

解析:选 B.掷两颗骰子,点数有以下情况: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共 36 种,其中点数和为 5 的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共 4 种,故所求概率 4 1 为 = . 36 9 2.(2015·泰安模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数 a,从{2,3,4}中随机选取

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一个数 b,则 b>a 的概率是( A. C. 4 5 2 5

) B. D. 3 5 1 5

解析:选 C.从两个集合中各选一个数有 15 种选法,满足 b>a 的选法有(1,2),(1,3), 6 2 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有 6 种,所以 b>a 的概率是 = . 15 5 3.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的 运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________. 解析:甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,白), (白,红),(白,蓝),(蓝,蓝),(蓝,白),(蓝,红),共 9 种. 而同色的有(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共 3 种. 3 1 所以所求概率 P= = . 9 3 1 答案: 3 4.(2014·高考广东卷)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同的字母,则取到字母 a 的 概率为________. 解析:总的取法有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共 10 种,其中含有 a 的 4 2 有 ab,ac,ad,ae 共 4 种,故所求概率为 = . 10 5 2 答案: 5

[A.基础达标] 1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记 A 为“所得点数之和小于 5”,则事件 A 包含的基本事件数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 D.事件 A 包含的基本事件有 6 个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (3,1).故选 D. 2.下列关于古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个 基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为 n,随机事件 A 若包含 k 个基本事件,则

k P(A)= . n
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④ 解析:选 B.根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确,故选 B. 3.下列试验中,属于古典概型的是( ) A.种下一粒种子,观察它是否发芽 B.从规格直径为 250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径 d

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C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 解析:选 C.依据古典概型的特点判断,只有 C 项满足:①试验中所有可能出现的基本事 件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相同. 4.已知集合 A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合 A∪B 中任取一个元素, 则它是集合 A∩B 中的元素的概率是( ) A. C. 2 3 3 7 B. D. 3 5 2 5

解析:选 C.A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率 3 公式得,所求的概率是 . 7 5.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b,则方程组? 5 12 5 13
?ax+by=3 ? ?x+2y=2 ?

只有一个解的概率为( 11 B. 12 D. 9 13

)

A. C.

解析:选 B.点(a,b)取值的集合共有 36 个元素.方程组只有一个解等价于直线 ax+by =3 与 x+2y=2 相交,即 ≠ ,即 b≠2a,而满足 b=2a 的点只有(1,2),(2,4),(3,6), 1 2 共 3 个,故方程组?
?ax+by=3 ?

a b

33 11 只有一个解的概率为 = . 36 12 ?x+2y=2 ?

6.据报道:2014 年我国高校毕业生为 727 万人,创历史新高,就业压力进一步加大.若 某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲 或乙被录用的概率为________. 解析:记事件 A:甲或乙被录用.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲, 乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙, 丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共 10 种可能,而 A 的对立事件 A 仅有(丙,丁,戊) 1 一种可能,∴A 的对立事件 A 的概率为 P(A)= , 10 9 ∴P(A)=1-P(A)= . 10 答案: 9 10

7.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字, 把乙想的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称“甲、乙心有灵犀”, 现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________. 解析:数字 a,b 的所有取法有 36 种,满足|a-b|≤1 的取法有 16 种,所以其概率为 P

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16 4 = = . 36 9 4 答案: 9 8.(2015·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假 定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率 为________. 解析:该树枝的树梢有 6 处,有 2 处能找到食物,所以获得食物的 2 1 概率为 = . 6 3 1 答案: 3 9.(2014·高考山东卷)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检 测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这 些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量

A
50

B
150

C
100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 = , 50+150+100 50 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 1 1 1 50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为: A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3}, {A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2}, {B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,则事件 D 包含的基本事件有: {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15 10.(2015·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停 车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时按 1 小时计算). 现 有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过 4 小时. 1 5 (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车费多于 14 元的概率为 ,求甲 3 12 的停车费为 6 元的概率; (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为
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28 元的概率. 解:(1)设“一次停车不超过 1 小时”为事件 A, “一次停车 1 到 2 小时”为事件 B, “一 次停车 2 到 3 小时”为事件 C, “一次停车 3 到 4 小时”为事件 D. 1 5 由已知得 P(B)= ,P(C+D)= . 3 12 1 5 1 又事件 A,B,C,D 互斥,所以 P(A)=1- - = . 3 12 4 1 所以甲的停车费为 6 元的概率为 . 4 (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4, 4),共 16 个; 而“停车费之和为 28 元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共 3 个, 3 所以所求概率为 . 16 [B.能力提升] 1.(2014·高考湖北卷)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概 率记为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( ) A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 解析:选 C.随机掷两枚质地均匀的骰子,所有可能的结果共有 36 种.事件“向上的点数 之和不超过 5”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2, 10 5 3),(3,1),(3,2),(4,1)共 10 种,其概率 p1= = .事件“向上的点数之和大于 5”与 36 18 13 “向上的点数之和不超过 5”是对立事件,所以“向上的点数之和大于 5”的概率 p2= .因 18 1 为朝上的点数之和不是奇数就是偶数,所以“点数之和为偶数”的概率 p3= .故 p1<p3<p2. 2 2.设 a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从集合{1,2,3}中随机取出的 一个数,构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足 logba≥1”为事件 E,则 E 发 生的概率是( ) A. C. 1 2 1 3 B. D. 5 12 1 4

解析:选 B.试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字,共有 12 种结果,满足 条件的事件是满足 logba≥1,可以列举出所有的事件,当 b=2 时,a=2,3,4,当 b=3 时,

a=3,4,共有 3+2=5 个,∴根据古典概型的概率公式得到概率是 .
3. (2014·高考课标全国卷Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为________. 解析:两本不同的数学书用 a1,a2 表示,语文书用 b 表示,由 Ω ={(a1,a2,b),(a1,b, a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)}.于是两本数学书相邻的情况有 4

5 12

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4 2 种,故所求概率为 = . 6 3 2 答案: 3 4.已知直线 l1:x-2y-1=0,直线 l2:ax-by-1=0,其中 a,b∈{1,2,3,4,5, 6},则直线 l1∩l2=?的概率为________. 解析:∵a,b∈{1,2,3,4,5,6}, ∴a,b 各有 6 种取法, ∴总事件数是 36, 而满足条件的只有两组数 a=2,b=4;a=3,b=6. 2 1 ∴P= = . 36 18 答案: 1 18

5.某班体育兴趣小组共有 12 名同学(学号为 1 到 12),要从中选出一个同学去参加某项 比赛,由于 1 号同学受伤,只好从 2 至 12 号同学中选出.因为这 11 位同学水平相当,所以 有人提议用如下的办法选出:用两台完全相同的计算机各随机产生 1 到 6 中的一个整数,这 两个整数的和是几就选择几号.你认为这种方法公平吗?若公平,说明理由;若不公平,说 明这种方法最有可能选中几号?几号同学被选中的可能性最小? 解:

所以基本事件空间中共有 36 个基本事件. 1 2 1 其中,选中 2 号与 12 号的概率都为 ,选中 3 号与 11 号的概率都为 = , 36 36 18 选中 4 号与 10 号的概率都为 选中 6 号与 8 号的概率都为 3 1 4 1 = ,选中 5 号与 9 号的概率都为 = , 36 12 36 9

5 6 1 ,选中 7 号的概率为 = , 36 36 6

所以这种方法不公平,最有可能选中 7 号,2 号和 12 号同学被选中的可能性最小. 6.(选做题)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏, 他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况. (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此游 戏是否公平?说明你的理由. 解: (1)甲、 乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示)为: (2, 3), (2, 4), (2, 4′), (3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4),

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共 12 种不同情况. (2)甲抽到红桃 3,则乙抽到的牌只能是红桃 2,红桃 4,方片 4,因此乙抽到的牌的牌面 2 数字大于 3 的概率为 . 3 (3)不公平.由甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′, 3)5 种,甲胜的概率为 P1= 5 7 5 7 ,乙胜的概率为 P2= .∵ < ,∴此游戏不公平. 12 12 12 12

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