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浙江省2014年高三六校4月第二次联考数学文科试题(word含答案)


浙江省 2014 届高三六校第二次模拟考试

数学(文科)试题卷
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸 规定的位置上。 2.每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

球的体积公式 V=
4 πR 3 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
1 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

选择题部分(共 50 分)
一 、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 S ={x | x ? ?2} , T ={x | ?4 ? x ? 1} ,则 S ? T ? ( A. [ ?4, ?? ) 2. 已知i是虚数单位,则 A.2+i B. (?2, ??) C. [ ?4,1] ) D. ( ?2,1]

3?i ? ( 1? i
B.2-i

) C. 1+2i D.1-2i )

3.“ a ? ?7 ”是 “直线 (3 ? a) x ? 4 y ? 5 ? 3a 与直线 2 x ? (5 ? a) y ? 8 互相平行”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.空间中,设 m 表示直线, ? , ? 表示不同的平面, 则下列命题正确的是 ( ) A.若 ? // ? , m // ? ,则 m // ? B.若 ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? C.若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? 5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 ( A.2 B.4 C.8 ) D.16

6.函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? A. ( ,1)

2 的零点所在区间是( x
C. (e ? 1,2)

) D. ( 2, e)

1 2

B. (1, e ? 1)

?y ? x ? 7.当变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 时, z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则实数 m 的值是 ( ?x ? m ?
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 ) 8.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 Sm?1 ? 5 , Sm ? -11 , Sm?1 ? 21 ,则 m ? ( A. 3 9.定义式子运算为 B. 4 C. 5 D. 6

)

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 将函数 f ( x) ?

3 sin x 的图像向左平移 n (n ? 0) 个单位, cos x 1
) D.

所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为 ( A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

2? 3
)

10. 已知 f ( x) 为 R 上的可导函数, 且满足 f ( x) ? f '( x) , 对任意正实数 a , 下面不等式恒成立的是 ( A. f ( a ) ?

f (0) ea

B. f ( a ) ?

f (0) ea

C. f (a) ? e f (0)
a

D. f (a) ? e f (0)
a

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人, 按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个 容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是 12.已知函数 f ( x) ? ? . .

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

13.一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体 的体积是 cm3.

14.已知 |a| ? |b| ? |a ? 2b| ? 1 ,则 |2a ? b| ?

?

?

?

?

? ?



15.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为双曲线的焦点, 其余四个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率为 16.已知函数 f ( x) ? x | x ? a |, 若对任意的 x1 , x2 ??2, ??? , 且 x1 ? x2 , ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 17.若任意 x ? A, 则 . .

1 1 1 ? A, 就称 A 是“和谐”集合.则在集合 M ? {?1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的 x 3 2

所有非空子集中,“和谐”集合的概率是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 2a cos A ? b cos C ? c cos B . (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a ? 6, b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积.

19.已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和 S4 ? 14, 且a1 , a3 , a7 成等比. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 Tn为数列{

1 }的前n项和 ,若 Tn ? ? an?1对一切n ? N * 恒成立,求实数 ? 的最小值. an an?1

20 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, PA ? AD ? 2 , P AB ? 1, BM ? PD 于点 M . (1) 求证: AM ? PD ; (2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.
M

A

D

B

C

21.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 若存在 x0 ? [ , e](e 是自然对数的底数,e ? 2.71828?) ,使不等式 2 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 e

22.已知动圆过定点 A(0,2), 且在 x 轴上截得的弦长为 4. (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2) 点 P 为轨迹 C 上任意一点,直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线,直线 l 交直线:y=-1 于点 R, 过点 P 作 PQ⊥l 交轨迹 C 于点 Q,求△ PQR 的面积的最小值.

浙江省“六市六校”联盟 2014 届高考模拟考试
数学(文科)评分标准
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分。 1.A 2.D 3. 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.C 10.D

二、填空题:每小题 4 分,满分 28 分。 11.12 12.

1 4

13.

16 ? ? 12 3

14.3

15. 3 ? 1

16. ( ??, 2]

17.

1 17

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.满分 14 分。 (1)由 2a cos A ? b cos C ? c cos B 及余弦定理或正弦定理可得 所以 A ?

cos A ?

1 2

??4 分

?
3

??6 分 ??10 分

28 (2) 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . ??14 分 2 3 19.满分 14 分。 ? ?4a1 ? 6d ? 14 2 (1)设公差为 d,由已知得: ? ? ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ,联立解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去)
? a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 ??6 分 1 1 1 1 ? ? ? (2) an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? 2)
? Tn ?

??8 分 ??10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? …… ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)

? ?Tn ? bn ?1 ,? ?

n 2(n ? 2)2 4 ? (n ? 2) ,?? ? ? 2(n ? ) ? 8 2(n ? 2) n n

4 又 2(n ? ) ? 8 ? 12 ,?? 的最大值为 12 ???14 分 n 20.满分 14 分。 (1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AB . ∵ AB ? AD , AD ? PA ? A, AD ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ AB ? 平面 PAD . ∵ PD ? 平面 PAD ∴ AB ? PD , ?? 3 分 ∵ BM ? PD , AB ? BM ? B , AB ? 平面 ABM , BM ? 平面 ABM ,∴ PD ? 平面 ABM . ∵ AM ? 平面 ABM ,∴ AM ? PD . ?? 6 分 (2)解:由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD ,
则 M 是 PD 的中点,在 Rt△ PAD 中, 得 AM ? 在 Rt△ CDM 中,得 MC ? MD ? DC ? 3 ,
2 2

2,

∴ S?ACM ?

1 6 . AM ? MC ? 2 2

设点 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD? ACM ? VM ? ACD , ?? 8 分

1 1 1 6 S ?ACM ? h ? S ?ACD ? PA .解得 h ? , 3 3 2 3 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? , h 6 则 sin ? ? , ? CD 3 3 ∴ cos ? ? . 3
得 ∴ 直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 21.满分 15 分。 (1) f '( x) ? ln x ? 1 ?? 1 分

?? 10 分

?? 12 分

3 . 3

?? 14 分

1 1 ? f ( x) 在 (0, ) 为减函数,在 ( , ??) 为增函数 e e 1 1 1 1 1 ①当 t ? 时, f ( x) 在 [t , ) 为减函数,在 [ , t ? 2] 为增函数,? f ( x) min ? f ( ) ? ? ?? 4 分 e e e e e 1 ②当 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 为增函数,? f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ?? 7 分 e 1 2 x ln x ? x 2 ? 3 3 2 (2)由题意可知, 2 x ln x ? x ? ax ? 3 ? 0 在 [ , e ] 上有解,即 a ? ? 2 ln x ? x ? 在 e x x 1 [ , e ] 上有解 e 3 令 h( x ) ? 2 ln x ? x ? ,即 a ? h( x)max ?? 9 分 x 2 3 x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 3)( x ? 1) ? h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x2 x2 1 ? h( x) 在 (0,1) 为减函数,在 (1, ??) 为增函数,则在 ( ,1) 为减函数,在 (1, e) 为增函数 ?? 13 分 e 1 1 3 ? h( ) ? ?2 ? ? 3e, h(e) ? 2 ? e ? e e e 3 ? a ? h( x) max ? h(e) ? 2 ? e ? ?? 15 分 e
22.满分 15 分。 (1)设 C(x,y),|CA|2-y2=4,即 x2=4y. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2=4y. ?? 6 分 1 1 t2 (2)C 的方程为 x2=4y,即y= x2,故y'= x,设 P(t, ) , 4 2 4 t2-4 t2 t t t2 PR 所在的直线方程为y- = (x-t),即y= x- ,则点 R 的横坐标xR= , 4 2 2 4 2t 4+t2(t2+4) t2 |PR|= 1+ |xR-t|= ; ?? 9 分 4 4|t| t2 2 2 t2 PQ 所在的直线方程为y- =- (x-t),即y=- x+2+ , 4 t t 4 2 t2 y=- x+2+ t 4 x2 2 t2 8 8 由 ,得 + x - 2 - =0,由xP+xQ=- 得点 Q 的横坐标为xQ=- -t, 1 2 4 t 4 t t y= x 4

? ? ?

|PQ|=

4 1+ 2|xP-xQ|= t

2 t2+4(t2+4) 48 1+ 2| +2t|= ,?? 12 分 t t t2

(t2+4)3 t2+4 1 ∴S△PQR= |PQ||PR|= 2 ,不妨设t>0 ,记f(t)= ,(t>0),则当 t=2 时,f(t)min=4. 2 4t |t| t 1 由S△PQR= [f(t)]3,得△PQR 的面积的最小值为 16. ?? 15 分 4


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