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导数及其应用共五课时


课 题 主稿人
知识 技能 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 教学 重点 教学 难点

3.3.1 函数的单调性与导数(1) 杨志远 审核人 上课时间 年 月 日

⒈ 理解利用导数判断函数单调性的原理; ⒉ 掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤。 1. 通过问题的探究,体会知识的类比迁移; 2. 以已知探求未知,从特殊到一般的数学思想方法。 通过师生互动,生生互动的数学活动,形成学生的体验认识,并体验 成功的喜悦。提高学习数学的兴趣,形成锲而不舍的钻研精神和合作 交流的科学态度。 利用导数判断函数的单调性
⒈ 探究函数的单调性与导数的关系 ⒉ 如何用导数判断函数的单调性

教学过程 一 导入新课
问题 1 高台跳水 (幻灯片 1) 已知起跳 t 秒后,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)可用函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 表示。 问:你能确定该函数的单调区间吗? 师:说的非常具体。因为二次函数的图像我们非常熟悉。请同学们 画出其图像, 指出其单调区间, 再想一下, 有没有需要注意的地方? (师在黑板上画出函数图像) 师赞同学生 2 的说法,强调定义域。 师:还有其他方法吗? 师:的确,定义是解决问题的最根本方法,同学们不要瞧不起定义 啊!并简略回顾其步骤,但定义法较繁琐。 问题 2 (幻灯片 2) 试确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。 师:你能画出该函数的图像吗? 定义法又太繁,那该如何解决呢?

备注:

二 新授知识
问题 3 仍以函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 为例来考察单调性与导数 有什么关系。 下面请结合函数的图像与导数来研究。

y

h(t)

0

0.66

2.24

x

师生共同总结,教师板书: t∈(0,0.66) h(t)单调递增 切线斜率大于 0 即 h’(t)>0 t∈(0.66,2.24) h(t)单调递减 切线斜率小于 0 即 h’(t)<0 问题 4 这种规律是否具有一般性呢? 我们可否再举一些函数看 看?(幻灯片 3) 1. 先看函数 y=x y=x2 y=x3 y=1/x 的图像,验证其是否具有这种规律. 2. 让学生任意举一个函数,(学过的和没学过的)验证结论是否成立. 这里教师利用几何画板作图,一 一验证。 师:通过以上,你发现了什么现象? 师生共同总结: (幻灯片 4) 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内 如果 f’(x)>0,那么函数 y=f(x) 在(a,b)上单调递增; 如果 f’(x)<0,那么函数 y=f(x) 在(a,b)上单调递减; (教师简要板书) 问题 5 反思1 上面的结论还可能有其他情况吗? 师:好!提出问题比解决问题更重要!数学正是在不断的提出问题, 并解决问题中发展的! 那下面谁能解决这个问题? 教师给与表扬!并归纳板书。 注:①若 f(x)在某个区间内恒有 f”(x)=0,则 f(x)为常数函数。 反思 2 从上述探究过程,我们是怎样解决问题的? 教师归纳: ② 结论的探究思路或方法:归纳推理 从特殊到更多,从简单到复杂,但仍然是由有限的例子归纳出的结 论,在数学上是不严谨的,有时也 不可靠的,但确是一种重要的思维方式。这里就不证明了(待后证)

三、小结 四、作业

课 题 主稿人
知识 技能 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 教学 重点 教学 难点

3.3.1 函数的单调性与导数(2) 杨志远 审核人 上课时间 年 月 日

⒈ 理解利用导数判断函数单调性的原理; ⒉ 掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤。 3. 通过问题的探究,体会知识的类比迁移; 4. 以已知探求未知,从特殊到一般的数学思想方法。 通过师生互动,生生互动的数学活动,形成学生的体验认识,并体验 成功的喜悦。提高学习数学的兴趣,形成锲而不舍的钻研精神和合作 交流的科学态度。 利用导数判断函数的单调性
⒈ 探究函数的单调性与导数的关系 ⒉ 如何用导数判断函数的单调性

教学过程 一 导入新课
在某个区间(a,b)内 如果 f’(x)>0,那么函数 y=f(x) 在(a,b)上单调递增; 如果 f’(x)<0,那么函数 y=f(x) 在(a,b)上单调递减;

备注:

二 新授知识
例1 已知导函数 f’(x)的下列信息 当 1<x<4 时, f’(x)>0 当 x<1 或 x>4 时,f’(x)<0 当 x=1 或 x=4 时, f’(x)=0 试画出函数 f(x)的图像的大致形状。 教师投影若干学生的作业情况。并和学生共同分析。 注: “临界点”

例 2 用导数研究高台跳水的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的单调性 注:①教师带领学生完成,并与前面图像法对比。 ②强调定义域; ③作出导函数 h’(t)的图像与 h(t)的图像作对比。

y

h(t)

0

0.66

2.24

x

例 3 试确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。

教师给与规范的板书。 (略) 注:强调步骤的完整性,最后要下结论。 问题 6:反思 你有算法意识吗?你能归纳出用导数求函数单调区 间的算法步骤吗? 课堂练习:课本 P93 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f(x)=x2-2x+4; f(x)=ex-x

三、小结
师:谈谈本节课你的收获? 1.教师给与归纳:1.知识点总结 2.思想方法总结 2.思考:结合函数的单调性定义,思考在某个区间上函数 y=f(x)的 平均变化率的几何意义与导数的正负的关系

四、作业

课 题 主稿人
知识 技能 教 学 目 标

函数的极值与导数(1) 杨志远 审核人 上课时间 年 月 日

1.了解函数极值的定义,会从几何图形直观理解函数的极值与其导数 的关系,增强学生的数形结合意识,提升思维水平; 2.掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法; 3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

过程 方法 情感 态度 教学 重点 教学 难点

通过师生互动,生生互动的数学活动,形成学生的体验认识,并体验 成功的喜悦。提高学习数学的兴趣,形成锲而不舍的钻研精神和合作 交流的科学态度。
掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

教学过程 一 导入新课
用高台跳水的例子研究: (1)当 t<a 时 h(t)的单调性是 h ? (t ) ? 0 ___________ (2)当 t>a 时 h(t)的单调性是 ___________ (3)当 t=_______时运动员距 t ? a t ?a t ? a 水面高度最大,h(t)在此点的 导数是_______ (4)导数的符号有什么变化规律? 用几何画板制作动画演示在 t=a 附近: 1、函数值的比较:h(t)-h(a)的正负号; 2、动点切线斜率(即导数)的发展变化.

备注:

二 新授知识
如图,函数 y= f (x) 在 a,b,c,d,e,f,g,h 等点的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系?y= f (x) 在这些点的导数值是________,在这些 点附近,y= f (x) 的导数的符号有什么规律?

y

a O b

x

y

c d

e

f O g

h

i

j

x

定义:在 x=a 附近, f (x) 先减后增, f ' ( x) 先___后___, f ' ( x) 连续 变化,于是有 f ' (a) =0. f (a ) 比在点 x=a 附近其它点的函数值都小。 我 们 把 点 a 叫 做 函 数 y= f (x) 的 __________, f (a ) 叫 做 函 数 的 ___________. 在 x=b 附近, f (x) 先增后减, f ' ( x) 先___后___, f ' ( x) 连续变化, 于是有 f ' (b) =0. f (b) 比在点 x=b 附近其它点的函数值都大。我们 把 点 b 叫 做 函 数 y= f (x) 的 __________, f (b) 叫 做 函 数 的 ___________. 极小值点和极大值点统称为_____________,极大值和极小值统称 为_____________。

三、小结
1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小变化 情况; 2、极值点是自变量的某个值,极值指的是其函数值; 3、函数的极值与导数的关系。 (1)如果 f ' ( x0 ) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) >0 ,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f( x0 )是极大值。 (2)如果 f ' ( x) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) <0 ,右侧 f ' ( x) >0, 那么 f( x0 )是极小值。

四、作业

课 题 主稿人
知识 技能 教 学 目 标

函数的极值与导数(2) 杨志远 审核人 上课时间 年 月 日

1.了解函数极值的定义,会从几何图形直观理解函数的极值与其导数 的关系,增强学生的数形结合意识,提升思维水平; 2.掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法; 3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

过程 方法 情感 态度 教学 重点 教学 难点

通过师生互动,生生互动的数学活动,形成学生的体验认识,并体验 成功的喜悦。提高学习数学的兴趣,形成锲而不舍的钻研精神和合作 交流的科学态度。
掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

教学过程 一 导入新课
1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小变化 情况; 2、极值点是自变量的某个值,极值指的是其函数值; 3、函数的极值与导数的关系。 (1)如果 f ' ( x0 ) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) >0 ,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f( x0 )是极大值。 (2)如果 f ' ( x) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) <0 ,右侧 f ' ( x) >0, 那么 f( x0 )是极小值。

备注:

二 新授知识
例 1:求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3
王新敞
奎屯 新疆

解: f ' ( x) =( x3-4x+4)′=x2-4=(x+2)(x-2)
王新敞
奎屯 新疆

1 3

令 f ' ( x) =0,解得 x1=2,x2=-2 下面分两种情况讨论: (1) 当 f ' ( x) >0,即 x>2,或<-2 时; (2) 当 f ' ( x) <0,即-2<x<2 时。 当 x 变化时, f ' ( x) , f (x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f (x)

(??,?2)
+ 单调递增 ↗

-2 0

(-2,2) - 单调递 减↘

2 0

? 2,???
+ 单调递增 ↗

28 3

?

4 3

∴当 x=-2 时, f (x) 有极大值,并且及极大值为 f (?2) = 当 x=2 时, f (x) 有极小值并且及极小值为 f (2) =- 函数 f ( x) ?
1 3 x ? 4 x ? 4 的图像如图所示 3
y 1 f(x)= x3-4x+4 3

28 3

王新敞
奎屯

新疆

4 。 3

2 -2
O

x

拓展:导数为 0 的点一定是函数的极值点吗? 如 f ( x) ? x
3

若 f ( x0 ) 是极值,则 f ' ( x0 ) =0。 反之, f ' ( x0 ) =0, f ( x0 ) 不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为 0 是函数 y=f(x)在这点取得极值的必要条件。 函数 y=f(x)在点 x0 取极值的充分条件是: ①函数在点 x0 处的导数值为 0 ②在点附近的左侧导数大于(小于)零,右侧小于(大于)零。

三、小结
解题方法总结: 求函数 y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法: (1)求导 ; (2)求极值点 ; (3)讨论单调性 ; (4)列表 ; (5)写出极值. 变式训练: 求出函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 5 的极值。
3 2

四、作业

课 题 主稿人
知识 技能 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 教学 重点 教学 难点

函数最大(小)值与导数 杨志远 审核人 上课时间 年 月 日

1.明了极值与最值的区别 2.会利用导数求函数在[a,b]上的最值 1.结合学生的知识,理解特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法; 2.培养学生结合图形分析问题、总结问题的能力 通过教学活动,培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养 利用导数求函数的最值 含参函数最值的求解

教学过程 一 导入新课
(1)复习: 1、单调性与导数 1、极值的判定 3、极值的求解步骤 (2)
y

备注:

a

o

b

x

观察上图定义在 [a, b] 上的函数 y ? f ( x) 的图象,我们可 以发现图中:_____________是极小值, ____________是极大值 在区间 [a, b] 上函数的最大值是__________最小值是__________

二 新授知识
1 例 1:求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在 [?3, 4] 上的最大值与最小值。 3

:

变式 1:将区间 [?3, 4] 改为 [0,3]

变式 2:求函数 f ( x) ? x3 ? 27 x, x ?[?4, 4] 的最大值与最小值

例 2、已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a (1)求 f ( x) 的单调减区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20 ,求函数在该区间上的 最小值。

练习:设 a 为实数,函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? a, x ?[?2,3] (1)求 f ( x) 的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴总有交点。

三、小结
1、函数最值与极值的区别与联系 2、求函数最值的步骤

四、作业


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