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专题:极坐标与参数方程知识点及对应例题


极坐标及参数方程
一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念:

三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系 极坐标方程典型例题 1.点 ?2, ? 2? 的极坐标为 。

2.已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为_______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 2.有序数对 ( ? , ? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 3.极坐标与直角坐标的互化: (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 5.极坐标 ρ=cos( A.双曲线
y ( x ? 0) x y ? ?sin? ,

3.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 则该曲线的直角坐标方程为________. 4.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1 ) D. y ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )? D.圆

?
4

? ? )表示的曲线是(
B.椭圆

C.抛物线

? 2 ? x 2 ? y 2 , tan? ?
x ? ?cos? ,

6.极点到直线 ? ? cos? ? sin? ? ? 3 的距离是________



二、参数方程知识点 (1)圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为

3 7.在极坐标系中,点 (2, ? ) 到直线 l: 3? cos? ? 4? sin ? ? 3 的距离为 2

.

s, ? x ? a ? rc o ? (?为 参 数 ). ? ?. ? y ? b ? rs i n

(2)椭圆

? x ? acos? , x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . 2 a b ? y ? bsin?.

π π 3 2 上的点的最短距离为 8.在极坐标系中,点 P(1 , ) 到曲线 l : ? cos(? ? ) ? 2 4 2



? x ? xo ? tcos? , (3)经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

9.已知直线 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ,圆 C : ? ? 4 cos ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是________.(相交 或相切或相离?)

10.在极坐标系中,已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值。

11.在极坐标系中,直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为

12.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上 两点 M , N 的极坐标分别为 (2,0), (
? x ? 2 ? 2 cos? 2 3 ? (? 为参数) 。 , ) ,圆 C 的参数方程 ? 3 2 y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

1.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 (2, ) 到直线 l 的距离为 . 6 ? 2.已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 C2 交点的极坐 2 标为 .

?

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。

? x ? 1 ? 2t 3.若直线 ? ( t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k =________. ? y ? 2 ? 3t

4.在极坐标系(ρ, ? )( 0 ? ?<2? )中,曲线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与 ? ?sin ? ? cos? ? ? 1的交点的极坐标 为 .

13-15 高考汇编 (23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程
3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? . , ( t 为参数) 4 ?y? t 5 ?

已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

13.已知曲线 C

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) 上, 对应参数分别为 ? =? 与 ? =2? M ( 0 ? ? ? 2? ) , y ? 2sin ? ?

M 为 PQ 的中点。
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正
2 2

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3 x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

半轴为极轴建立极坐标系。 (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程;

(II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ? C2 MN 的面积

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

(23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,t≠0)其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点,x 轴 ? y ? t sin ?,

?x ? 2 ? t x2 y 2 ( t 为参数). ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos ? . (Ⅰ).求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

(23) 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5cost,y=5+5sint, (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
简历极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sinθ 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

1.已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式;
?a ? (II)求数列 ? n 的前 n 项和. n ? ?2 ?

2 2. S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未找到引用源。.

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设错误!未找到引用源。 ,求数列错误!未找到引用源。}的 前 n 项和


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