kl800.com省心范文网

2016年四川省遂宁市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)


2016 年四川省遂宁市高考数学二诊试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A={x|﹣x2+2x+3>0},B={x| <( )x<1},则 A∩B=( A.(0,3) B.(0,2) C.(1,3) D.(1,+∞) 2.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z= A. B. C. D. ) ,则 z 的共轭复数 为( ) )

3.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“已知 x,y 为一个三角形的两内角,若 x=y,则 sinx=siny”的逆命题为真命题 4.要得到函数 y=sin x 的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A.向右平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移 )

个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变

5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形,则这个几何体的体积是( )

第 1 页(共 27 页)

A.72

B.80

C.120 D.144

6.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中,选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生不同的填报专 业志愿的方法有( A.210 种 ) C.120 种 D.95 种 )

B.180 种

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 为(

A.2

B.

C.﹣

D.﹣3

8.若 P(x,y)在不等式组

所表示的平面区域内,则|2x+y+3|的最小值为(



A.

B.

C.5

D.4 )

9. C 是定点, 设 B、 且均不在平面 α 上, 动点 A 在平面 α 上, 且 sin∠ABC= , 则点 A 的轨迹为 ( A.圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C.椭圆或双曲线 D.以上均有可能

10.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对任意的 x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当 x∈[2, 3]时,f(x)=﹣(x﹣2)2+1.若函数 y=f(x)﹣a(x﹣ 数 a 的取值范围是( ) C.(3,12) D.( ,12) )在(0,+∞)上恰有三个零点,则实

A.( ,3) B.( , )

二、填空题:本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分.
第 2 页(共 27 页)

11.若(x﹣ )n 的二项展开式中所有项的二项式系数和为 64,则常数项为 作答) 12.已知函数 f(x)= ,则 f(2016)=

(用数字



13.海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发,海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45°的方向,且 与 A 相距 10 海里的 C 处,沿北偏东 105°的方向以每小时 9 海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海 轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 14.若点 M 是以椭圆 + 小时.

=1 的短轴为直径的圆在第一象限内的一点,过点 M 作该圆的切线交椭 .

圆 E 于 P,Q 两点,椭圆 E 的右焦点为 F2,则△ PF2Q 的周长是 15.如图,B 是 AC 的中点, + .有以下结论:

,P 是平行四边形 BCDE 内(含边界)的一点,且

①当 x=0 时,y∈[2,3]; ②当 P 是线段 CE 的中点时, ;

③若 x+y 为定值 1,则在平面直角坐标系中,点 P 的轨迹是一条线段; ④x﹣y 的最大值为﹣1; 其中你认为正确的所有结论的序号为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a2+c2﹣b2=ac,且 (1)求角 A 的大小; (2)设函数 f(x)=1+cos(2x+B)﹣cos2x,求函数 f(x)的单调递增区间. b= c.

第 3 页(共 27 页)

17.经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含量比其 它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶 图(以小数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图.《中华人民共和国环境保护法》规定 食品的汞含量不得超过 1.0ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率; (Ⅱ)若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此 15 条鱼 的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ.

18.如图,多面体 ABCDPE 的底面 ABCD 是平行四边形,AD=AB=2 EC∥PD,且 PD=2EC=2. (1)若棱 AP 的中点为 H,证明:HE∥平面 ABCD; (2)求二面角 A﹣PB﹣E 的大小.

=0,PD⊥平面 ABCD,

19.已知等比数列{an}、等差数列{bn},满足 a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3 且数列{an}唯一. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和. 20.已知点 F(0,1)为抛物线 x2=2py 的焦点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)点 A、B、C 是抛物线上三点且 + + = ,求△ ABC 面积的最大值.

21.已知函数 f(x)=mex﹣x﹣1.(其中 e 为自然对数的底数) (1)若曲线 y=f(x)过点 P(0,1),求曲线 y=f(x)在点 P(0,1)处的切线方程. (2)若 f(x)的两个零点为 x1,x2 且 x1<x2,求 y=(e
第 4 页(共 27 页)

﹣e

)(

﹣m)的值域.

(3)若 f(x)>0 恒成立,试比较 em﹣1 与 me﹣1 的大小,并说明理由.

第 5 页(共 27 页)

2016 年四川省遂宁市高考数学二诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A={x|﹣x2+2x+3>0},B={x| <( )x<1},则 A∩B=( A.(0,3) B.(0,2) C.(1,3) D.(1,+∞) 【考点】交集及其运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 A=(﹣1,3), 由 B 中不等式变形得: =( )2<( )x<1=( )0, )

解得:0<x<2,即 B=(0,2), 则 A∩B=(0,2), 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z= A. B. C. D.

,则 z 的共轭复数 为(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】先利用复数的乘除运算法则求出 z,由此能求出 z 的共轭复数. 【解答】解:∵i 是虚数单位, 复数 z 满足 z= = = =﹣ ,

第 6 页(共 27 页)

∴z 的共轭复数 = 故选:C.



【点评】本题考查复数的共轭复数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意复数的乘除运算法 则的合理运用.

3.下列有关命题的说法正确的是(



A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“已知 x,y 为一个三角形的两内角,若 x=y,则 sinx=siny”的逆命题为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】对于 A 根据否命题的意义即可得出; 对于 B 按照垂直的条件判断; 对于 C 按照含有一个量词的命题的否定形式判断; 对于 D 按照正弦定理和大角对大边原理判断. “若 x2≠1, 【解答】 解: 对于 A, 根据否命题的意义可得: 命题“若 x2=1, 则 x=1”的否命题为: 则 x≠1”, 因此原命题不正确,违背否命题的形式; 对于 B,“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件不准确,因为“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件是 m2=1,即 m=±1. 对于命题 C:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定的写法应该是:“?x∈R,均有 x2+x+1≥0”,故原结论不 正确 对于 D,根据正弦定理,∵x=y?sinx=siny”,所以逆命题为真命题是正确的. 故答案选:D. 【点评】本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定,属于基础题.

4.要得到函数 y=sin x 的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A.向右平移



个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变

第 7 页(共 27 页)

B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移

个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式,得出结论. 【解答】解:将函数 y=cos2x=sin(2x+ + ]=sin2x 的图象, )的图象向右平移 个单位长度,可得 y=sin[2(x﹣ )

再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,可得函数 y=sin x 的图象, 故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式,属于基础题.

5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形,则这个几何体的体积是( )

A.72

B.80

C.120 D.144

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】几何体为直三棱柱切去一个小三棱锥得到的. 【解答】解:由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的. 直三棱柱的底面为等腰直角三角形,直角边为 6,棱柱的高为 8, 切去小三棱锥的底面与三棱柱的底面相同,高为 4. 所以几何体的体积 V= ﹣ =120.
第 8 页(共 27 页)

故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征,属于基础题.

6.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中,选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生不同的填报专 业志愿的方法有( A.210 种 ) C.120 种 D.95 种

B.180 种

【考点】排列、组合及简单计数问题. 【专题】排列组合. 【分析】利用排列组合的方法即可得到结论. 【解答】解:从 7 个专业选 3 个,有 甲乙同时兼报的有 种选法, 种选法,

则专业共有 35﹣5=30 种选法, 则按照专业顺序进行报考的方法为 故选:B 【点评】本题主要考查排列组合的应用,利用对立法是解决本题的关键. ×30=180,

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 为(



A.2

B.

C.﹣

D.﹣3

【考点】程序框图.
第 9 页(共 27 页)

【专题】计算题;图表型;试验法;算法和程序框图. 【分析】根据题意,模拟程序图的运行过程,找出输出 S 值的周期,即可得出输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; 开始 S=2,i=1; 第一次循环 S=﹣3,i=2; 第二次循环 S=﹣ ,i=3; 第三次循环 S= ,i=4; 第四次循环 S=2,i=5; 第五次循环 a=﹣3,i=6; … ∴a 的取值周期为 4,且跳出循环的 i 值为 2018=504×4+2, ∴输出的 S=﹣3. 故选:D. 【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果,发现 S 值的 周期是关键,属于基础题.

8.若 P(x,y)在不等式组

所表示的平面区域内,则|2x+y+3|的最小值为(



A.

B.

C.5

D.4

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,由图象得|2x+y+3|=2x+y+3,令 z=2x+y+3,得: y=﹣2x+z﹣3,显然直线过(1,0)时,z 最小,求出即可.

【解答】解:画出满足

的平面区域,如图示:

第 10 页(共 27 页)





,解得



由图象得|2x+y+3|=2x+y+3, 令 z=2x+y+3,得:y=﹣2x+z﹣3, 显然直线过(1,0)时,z 最小,最小值是 5, 故选:C. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,由图象得|2x+y+3|=2x+y+3 是解题的 关键,本题是一道中档题.

9. C 是定点, 设 B、 且均不在平面 α 上, 动点 A 在平面 α 上, 且 sin∠ABC= , 则点 A 的轨迹为 ( A.圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C.椭圆或双曲线 D.以上均有可能 【考点】轨迹方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.



【分析】以 BC 为轴线,B 为顶点作圆锥面,使圆锥面的顶角为 60°,则圆锥面上的任意一点与 B 连 线,都能满足∠ABC= 30°,用平面 α 截圆锥所得的交线即为点 A 的轨迹. 【解答】解:以 BC 为轴线,B 为顶点,顶角是 60°(半顶角是 30°),则 A 就是这个锥面与平面 α 的交线. 如果平面 α 只与圆锥面一面相交,如图(1),

第 11 页(共 27 页)

(1) 那么 A 的轨迹是圆或椭圆或抛物线; 如果 A 与圆锥面两侧都相交 (圆锥面两侧指以 B 为顶点向上的圆锥和向下的圆锥, 就像沙漏的形状) , 如图(2),

则轨迹是双曲线. ∴点 A 的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线. 故选:D. 【点评】本题考查轨迹方程,考查学生的空间想象能力和思维能力,正确作出图形是解答此题的关 键,是中档题.

10.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对任意的 x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当 x∈[2, 3]时,f(x)=﹣(x﹣2)2+1.若函数 y=f(x)﹣a(x﹣ 数 a 的取值范围是( ) C.(3,12) D.( ,12) )在(0,+∞)上恰有三个零点,则实

A.( ,3) B.( , )

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】数形结合;分类讨论;转化法;函数的性质及应用. 【分析】令 x=﹣1,求出 f(1),可得函数 f(x)的周期为 2,根据函数与方程之间的关系,转化 为两个函数的交点问题,利用数形结合进行求解即可.
第 12 页(共 27 页)

【解答】解:∵f(x+2)=f(x)﹣f(1), 且 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 令 x=﹣1 可得 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1), 又 f(﹣1)=f(1), ∴f(1)=0 则有 f(x+2)=f(x), ∴f(x)是最小正周期为 2 的偶函数. 当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣(x﹣2)2+1, 若 x∈[0,1],则 x+2∈[2,3], 则 f(x)=f(x+2)=﹣(x+2﹣2)2+1=﹣x2+1, 即 f(x)=﹣x2+1,x∈[0,1], 若 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1], 即 f(﹣x)=﹣x2+1=f(x), 即 f(x)=﹣x2+1,x∈[﹣1,0], 综上 f(x)=﹣x2+1,x∈[﹣1,1], 由函数 y=f(x)﹣a(x﹣ 得函数 f(x)=a(x﹣ 设 y=a(x﹣ ), )的图象如图, )在(0,+∞)上恰有三个零点, )=0,

),

作出函数 f(x)和 y=a(x﹣ 要使函数 y=f(x)﹣a(x﹣ 则 a>0,

当 x∈[1,2],则 x﹣2∈[﹣1,0], 则 f(x)=f(x﹣2)=﹣(x﹣2)2+1,x∈[1,2], 当 x∈[3,4],则 x﹣2∈[1,2], 则 f(x)=f(x﹣2)=﹣(x﹣4)2+1,x∈[3,4], 由﹣(x﹣2)2+1=a(x﹣ )整理得 x2+(a﹣4)x+3﹣ a)=0, a=0,

由判别式△ =(a﹣4)2﹣4(3﹣

整理得 3a2﹣13a+12=0 得 a=3(由图象知不合适)或 a= ,
第 13 页(共 27 页)

由﹣(x﹣4)2+1=a(x﹣

)整理得 x2+(a﹣8)x+15﹣ a)=0,

a=0,

由判别式△ =(a﹣8)2﹣4(15﹣

整理得 3a2﹣37a+12=0 得 a=12(由图象知不合适)或 a= , 综上,要使函数 y=f(x)﹣a(x﹣ 则 <a< , 故选:B )在(0,+∞)上恰有三个零点,

【点评】本题主要考查方程根的个数的判断,利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个 数问题,利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.

二、填空题:本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若(x﹣ )n 的二项展开式中所有项的二项式系数和为 64,则常数项为 ﹣20 (用数字作答) 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】 由条件利用二项式系数的性质求得 n=6, 在二项展开式的通项公式中, 令 x 的幂指数等于 0, 求出 r 的值,即可求得常数项. 【解答】解:由题意可得 2n=64,n=6,∴(x﹣ )n=(x﹣ )6, 它的展开式的通项公式为 Tr+1= 可得常数项为﹣ 故答案为:﹣20. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项 式系数的性质,属于基础题.
第 14 页(共 27 页)

?(﹣1)r?x6﹣2r,令 6﹣2r=0,求得 r=3,

=﹣20,

12.已知函数 f(x)= 【考点】抽象函数及其应用;函数的值.

,则 f(2016)= 8 .

【专题】计算题;规律型;解题思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】求出函数的周期,利用分段函数的解析式求解函数值即可. 【解答】解:函数 f(x)= 可知 x>0 时,函数的周期为 3, 则 f(2016)=f(0)=e0+log2[81× 故答案为:8. 【点评】本题考查抽象函数的应用以及分段函数的应用,考查计算能力. ]=1+7=8. ,

13.海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发,海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45°的方向,且 与 A 相距 10 海里的 C 处,沿北偏东 105°的方向以每小时 9 海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海 轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形. AC=10, 【分析】 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时, 由已知得△ ABC 中, AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°,由此利用余弦定理能求出结果. 【解答】解:设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时, 如图,则由已知得△ ABC 中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°, 由余弦定理得:(21x)2=100+(9x)2﹣2×10×9x×cos120°, 整理,得 36x2﹣9x﹣10=0, 解得 x= 或 x=﹣ (舍). 小时.

∴海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时. 故答案为: .

第 15 页(共 27 页)

【点评】本题考查解三角形在生产生活中的实际运用,是中档题,解题时要认真审题,作出图形, 利用余弦定理求解.

14.若点 M 是以椭圆

+

=1 的短轴为直径的圆在第一象限内的一点,过点 M 作该圆的切线交椭

圆 E 于 P,Q 两点,椭圆 E 的右焦点为 F2,则△ PF2Q 的周长是 6 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】方法一、设直线 PQ 的方程为 y=kx+m(k<0,m>0),联立椭圆方程,设 P(x1,y1), Q(x2,y2),运用韦达定理和弦长公式,结合直线和圆相切的条件:d=r,化简整理,可得周长; 方法二、设 P(x1,y1),Q(x2,y2),运用椭圆的焦半径公式和勾股定理,化简整理即可得到所 求周长. 【解答】解:根据题意作出图形如图所示, 方法一、设直线 PQ 的方程为 y=kx+m(k<0,m>0),



得(8+9k2)x2+18kmx+9m2﹣72=0,

有△ =(18km)2﹣4(8+9k2)(9m2﹣72)=288(9k2﹣m2+8)>0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 ∴ , ,

=

=

第 16 页(共 27 页)

= ∵直线 PQ 与圆 x2+y2=8 相切, ∴ ,即











=

=

,0<x1<3,



,同理 ﹣

, = ,

∴|PF2|+|QF2|+|PQ|=6﹣

因此,△ PF2Q 的周长是定值 6. 方法二:设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 + =1,|PF2|= = = ,0

<x1<3, ∴ ,又 M 是圆 O 的切点,连接 OP,OM,



=

=



∴ 同理|QF2|+|QM|=3, ∴|PF2|+|QF2|+|PQ|=3+3=6, 因此,△ PF2Q 的周长是定值 6. 故答案为:6.



第 17 页(共 27 页)

【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线和圆相切的条件:d=r,考查运算能力,属于 中档题.

15.如图,B 是 AC 的中点, + .有以下结论:

,P 是平行四边形 BCDE 内(含边界)的一点,且

①当 x=0 时,y∈[2,3]; ②当 P 是线段 CE 的中点时, ;

③若 x+y 为定值 1,则在平面直角坐标系中,点 P 的轨迹是一条线段; ④x﹣y 的最大值为﹣1; 其中你认为正确的所有结论的序号为 ②③④ .

【考点】平面向量数量积坐标表示的应用. 【专题】计算题. 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错,③对;利用向量的运算法则求出 断出②对. 【解答】解:对于①当 ,据共线向量的充要条件得到 P 在线段 BE 上,故 1≤y≤3,故①错 ,求出 x,y 判

对于②当当 P 是线段 CE 的中点时, = = 故②对

对于③x+y 为定值 1 时,A,B,P 三点共线,又 P 是平行四边形 BCDE 内(含边界)的一点,故 P 的轨迹是线段,故③对 故答案为②③④ 【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
第 18 页(共 27 页)

16.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a2+c2﹣b2=ac,且 (1)求角 A 的大小; (2)设函数 f(x)=1+cos(2x+B)﹣cos2x,求函数 f(x)的单调递增区间. 【考点】余弦定理;三角函数的最值. 【专题】数形结合;转化思想;三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】(1)利用余弦定理可得 B,再利用正弦定理即可得出; (2)利用倍角公式、和差公式可得 f(x),再利用正弦函数的单调性即可得出. 【解答】解:(1)在△ ABC 中,因为 ,

b=

c.

所以

.… , , , … = = … ,得 … ,

在△ ABC 中,因为 由正弦定理可得 所以 故 (2)由(1)得 = 令 ,

即函数 f(x)的单调递增区间为

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性即,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.

17.经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含量比其 它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶 图(以小数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图.《中华人民共和国环境保护法》规定 食品的汞含量不得超过 1.0ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率;

第 19 页(共 27 页)

(Ⅱ)若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此 15 条鱼 的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出 15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条 鱼汞含量超标的概率. (Ⅱ)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 别求出相对应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 【解答】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A, 则 , ,ξ 可能取 0,1,2,3.分

∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为 (Ⅱ)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 ξ 可能取 0,1,2,3. 则 , , , .… ∴ξ 的分布列如下: ξ P …
第 20 页(共 27 页)

.… ,… …

0

1

2

3



.…

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题 时要注意排列组合知识的合理运用.

18.如图,多面体 ABCDPE 的底面 ABCD 是平行四边形,AD=AB=2 EC∥PD,且 PD=2EC=2. (1)若棱 AP 的中点为 H,证明:HE∥平面 ABCD; (2)求二面角 A﹣PB﹣E 的大小.

=0,PD⊥平面 ABCD,

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;空间位置关系与距离;空间角. HG, GC, 【分析】 (1) 取 AD 的中点 G, 连接 HE, 证明四边形 EHGC 是平行四边形, 推出 HE∥GC, 即可证明 HE∥平面 ABCD. (2)法一:如图,取 PB 的中点 M,连接 AC,DB 交于点 F,连接 ME,MF,作 FK⊥PB 于点 K, ∠AKF 是二面角 A﹣PB﹣D 的平面角,通过 Rt△ PDB~Rt△ FKB,求出 ,得到二面角 A

﹣PB﹣E 的大小就是二面角 A﹣PB﹣D 的大小与直二面角 D﹣PB﹣E 的大小之和,求解二面角 A﹣ PB﹣E 的大小. 法二:DA,DC,DP 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示,设 PA 的中点为 N, 连接 DN,求出平面 PAB 的一个法向量,平面 PBE 的法向量,通过向量的数量积求解,二面角 A﹣ PB﹣E 的大小.

【解答】(本小题满分 12 分)

解:(1)∵底面 ABCD 是平行四边形,AD=AB=2,
第 21 页(共 27 页)



∴底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,取 AD 的中点 G, 连接 HE,HG,GC,根据题意得 HG=EC=1,且 HG∥EC∥PD, 则四边形 EHGC 是平行四边形,… 所以 HE∥GC,HE?平面 ABCD,GC?平面 ABCD, 故 HE∥平面 ABCD… (2)法一:如图,

取 PB 的中点 M,连接 AC,DB 交于点 F,连接 ME,MF, 作 FK⊥PB 于点 K,容易得到∠AKF 是二面角 A﹣PB﹣D 的平面角,… ,Rt△ PDB~Rt△ FKB,易得 从而 ,所以 … , ,

由于点 M 是 PB 的中点,所以 MF 是△ PDB 的中位线,MF∥PD,且 MF=EC,且 MF∥EC,故四边形 MFCE 是平行四边形,则 ME∥AC, 又 AC⊥平面 PDB,则 ME⊥平面 PDB,ME?平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PDB,

所以二面角 A﹣PB﹣E 的大小就是二面角 A﹣PB﹣D 的大小与直二面角 D﹣PB﹣E 的大小之和… 故二面角 A﹣PB﹣E 的大小为 …

法二:由(1)知,DA,DC,DP 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示, 设 PA 的中点为 N,连接 DN,则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,2,1), P(0,0,2),N(1,0,1),易知 DN⊥PA,DN⊥AB,所以 DN⊥平面 PAB,

第 22 页(共 27 页)

所以平面 PAB 的一个法向量为 设平面 PBE 的法向量为 ,因为

… , ,





,取 z=2,则 x=1,y=1,

所以

为平面 PBE 的一个法向量.

所以

从图形可知,二面角 A﹣PB﹣E 是钝角,所以二面角 A﹣PB﹣E 的大小为



【点评】本题考查二面角的平面镜的求法,直线与平面平行于垂直的判定与性质的应用,考查空间 想象能力以及计算能力.

19.已知等比数列{an}、等差数列{bn},满足 a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3 且数列{an}唯一. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列.
2 = 【分析】 (1) 设等比数列{an}的公比为 q, 从而可得 (q﹣1)

, 从而结合数列{an}唯一可得 a1=1,

q=2;从而解得. (2)化简 an?bn=(2n﹣2)2n﹣1,结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前 n 项和. 【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3,且{bn}为等差数列,
第 23 页(共 27 页)

∴2a2=(a1﹣1)+a3, 即 2a1q=(a1﹣1)+a1q2, 即(q﹣1)2= ,

∵数列{an}唯一, ∴q 在{q|q≠0}上只有一个解, ∴(q﹣1)2= 故 中有一个解为 q=0,

=1,此时,a1=1,q=2;

故数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 数列{bn}是以 0 为首项,2 为公差的等差数列; 故 an=2n﹣1,bn=2n﹣2; (2)an?bn=(2n﹣2)2n﹣1, Sn=0?1+2?2+4×4+6×8+…+(2n﹣2)2n﹣1, 2Sn=0?2+2?4+4×8+6×16+…+(2n﹣2)2n, 两式作差可得, Sn=﹣2×2+(﹣2)×4+(﹣2)×8+…+(﹣2)×2n﹣1+(2n﹣2)2n =(2n﹣2)2n﹣(22+23+24+…+2n) =(n﹣1)2n+1﹣ =(n﹣2)2n+1+4. 【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的应用,同时考查了错位相减法的应用及转化思想 的应用.

20.已知点 F(0,1)为抛物线 x2=2py 的焦点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)点 A、B、C 是抛物线上三点且 + + = ,求△ ABC 面积的最大值.

【考点】抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)利用抛物线的定义,可以求出 p,即可得到抛物线的方程;

第 24 页(共 27 页)

(2)首先设出 A,B,C 点的坐标,再设出直线 AB 与 y 轴交于点 D(0,yD),进一步求出 yD, 根据几何位置关系表示出三角形的面积,再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件,则答案可 求. 【解答】解:(1)由题意知 ∴抛物线 C 的方程为:x2=4y; (2)令 yD), ,不妨设直线 AB 与 y 轴交于点 D(0, ,即 p=2,







又∵且

+

+

= ,







从而 x1+x2=﹣x3, ∴ = , ,即 .

= 令 , ,

. ,

令 y′=0,则 t1=2,t2=6. 当 t∈(0,2)时函数单调递减,当 t∈(2,6)时函数单调递增,t∈(6,+∞)时函数单调递减且当 t=0 时 y= ∴ ,当 t=6 时 y= . . ,

第 25 页(共 27 页)

【点评】本题考查了抛物线的标准方程,考查了利用基本不等式求出最值及最值成立的条件,属于 中档题.

21.已知函数 f(x)=mex﹣x﹣1.(其中 e 为自然对数的底数) (1)若曲线 y=f(x)过点 P(0,1),求曲线 y=f(x)在点 P(0,1)处的切线方程. (2)若 f(x)的两个零点为 x1,x2 且 x1<x2,求 y=(e ﹣e )( ﹣m)的值域.

(3)若 f(x)>0 恒成立,试比较 em﹣1 与 me﹣1 的大小,并说明理由. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】综合题;转化思想;分析法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)由 f(0)=1,可得 m=2,求出 f(x)的导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得 切线的方程; (2)由零点的概念,化简函数 y,令 x2﹣x1=t(t>0), 求得单调性,即可得到所求值域; (3)由 f(x)>0 得 mex﹣x﹣1>0,即有 ,令 ,求出导数,单调区间和最大 ,求出导数,

值;又令 h(m)=(e﹣1)lnm﹣m+1,求出导数,求得单调区间,即可得到所求大小关系. 【解答】解:(1)当 x=0 时,f(0)=m﹣1=1?m=2, f′(x)=2ex﹣1,f′(0)=2﹣1=1, ∴所求切线方程 y=x+1,即 x﹣y+1=0; (2)由题意, 相减可得 m(e ﹣e , )=x2﹣x1, = .

即有

=



令 x2﹣x1=t(t>0),



第 26 页(共 27 页)





∴g(t)在(0,+∞)上单调递减, ∴g(t)<g(0)=0, ∴g(t)∈(﹣∞,0), ∴ 的值域为(﹣∞,0);

(3)由 f(x)>0 得 mex﹣x﹣1>0,即有





,则



令 u′(x)>0?x<0,u′(x)<0?x>0, ∴u(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. ∴u(x)max=u(0)=1,∴m>1. 又令 h(m)=(e﹣1)lnm﹣m+1, 则 .

令 h′(m)>0?m<e﹣1,h′(m)<0?m>e﹣1,又 m>1 ∴h(m)在(1,e﹣1)上单调递增,在(e﹣1,+∞)上单调递减 又 h(1)=﹣1+1=0,h(e)=e﹣1﹣e+1=0 ∴当 1<m<e 时,h(m)>0?(e﹣1)lnm﹣m+1>0, 即(e﹣1)lnm>m﹣1 ∴em﹣1<me﹣1, 同理,当 m=e 时,em﹣1=me﹣1,当 m>e 时,em﹣1>me﹣1. 综上,当 1<m<e 时,em﹣1<me﹣1 当 m=e 时,em﹣1=me﹣1, 当 m>e 时,em﹣1>me﹣1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间,考查函数方程的转化思想,以及单调性 的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

第 27 页(共 27 页)


四川省遂宁市届高考数学二诊试卷理(含解析)【含答案】.doc

四川省遂宁市届高考数学二诊试卷理(含解析)【含答案】 - 2016 年四川省遂宁市高考数学二诊试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50...

...遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷(理科) Wor....doc

2017年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2017 年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考...

2016年重庆市高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2016年重庆市高考数学二诊试卷(理科)(解析版) - 2016 年重庆市高考数

...内江市、眉山市高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2017年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2017 年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二...

2017年四川省高考数学二诊试卷(理科)含答案解析.doc

2017年四川省高考数学二诊试卷(理科)含答案解析 - 2017 年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊 试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5...

...遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷(理科) Wor....doc

2017年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷(理科) Word版含解析 - 7C 教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! ...

2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)(解析版) - 2017 年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科) 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 ...

2017年四川省凉山州高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

x∈R,f(x)≥t2 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 第 5 页(共 25 页) 2017 年四川省凉山州高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共...

2017年四川省广元市高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2017年四川省广元市高考数学二诊试卷(理科)(解析版) - 2017 年四川省广元市高考数学二诊试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 ...

...省成都市石室中学高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2017年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_...利用长度比是解决本题的关键. = , 5. (5 分) (2016?德阳模拟) 一个几何...

2017届四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2017届四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科)(解析版) - 2017 年四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科) 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出...

2016年四川省高考数学试卷(理科)解析.doc

2016年四川省高考数学试卷(理科)解析 - 2016 年四川省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项...

2018年四川省泸州市高考数学二诊试卷(理科)Word版含解析.doc

2018年四川省泸州市高考数学二诊试卷(理科)Word版含解析 - 2018 年四川省泸州市高考二诊试卷 (理科数学) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共...

2017届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(解析版) (1).doc

2017 届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(解析版) 一、选择题(共 12

2017届四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2017届四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科)(解析版) - 2017 年四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科) 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出...

四川省达州市2017届高考数学二诊试卷(解析版)(理科).doc

求实数 a 的值. 2017 年四川省达州市高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的...

2019年四川省高考数学二诊试卷(理科)(解析版).doc

2019年四川省高考数学二诊试卷(理科)(解析版) - 2019 年四川省高考数

2016年高考数学四川省(理科)试题及答案【解析版】.doc

2016年高考数学四川省(理科)试题及答案【解析版】_高三理化生_理化生_高中教

2017年四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科) Word版含....doc

2017年四川省成都七中高考数学二诊试卷(理科) Word版含解析 - 7C 教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! 2017 年四川省成都七中...

2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷(理科)word版含解析.doc

2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷(理科)word版含解析 - 2017 年四川省自贡市高考数学二诊试卷(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60...