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四川省自贡市2019届高三第三次诊断性考试数学试卷(文史类)

四川省自贡市 2019 届高三第三次诊断性考试 数学试卷(文史类)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。

A ? CU B 等于 1.设 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则
A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} D. {x | x ? 1}

2.函数 y ? ? x ( x ? 0) 的反函数是 A. y ? ? x ( x ? 0)
2

B. y ? x ( x ? 0)
2

C. y ? x ( x ? 0)
2

D. y ? ? x ( x ? 0)
2

3.函数 y ?

2x ? 2 ? ( x ? 4)? 的定义域为
B. {x | x ? 0 且 x ? 4} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? 1 且 x ? 4}

A. {x | x ? 0}

4.若 sin ? ? cos ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则 ? 的终边在 A.第一象限
3

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5.过曲线 y ? x ? x ? 2 上一点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x 则点 P0 的一个坐标是 A.(0, ? 2) B.(1,1) C.(1,4) D.( ? 1, ? 4)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 F F b 6.设 1 、 2 分别是双曲线 C: a 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点
P,使

| OP |?| OF1 | (O 为原点) | PF1 |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率为 ,且
B. 3 ? 1 C. 3 ? 1

3 ?1 A. 2

3 ?1 D. 2

7.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 A.0 条 B.1 条

ABCD ? A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有
C.4 条 D.无数条

1 8.将函数 f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,同时将纵坐标缩小到原来的 2 倍,得 y ? cos( x ?
到函数

?

) 6 的图象,另一方面函数 f ( x) 的图象也可以由函数 y ? 2 cos x ? 1的图象按向
·1·

量 c 平移得到,则 c 可以是

( , ?1) A. 6

?

B. 12

(

?

,1)

( ,1) C. 6

?

( , ?1) D. 12
,从中

?

9.如图 1,三行三列的方阵中有 9 个数

aij (i ? 1,2,3; j ?1,2,3)

任取三个数,则至少有两个位于同行或同列的概率是

13 A. 14
10.已知有穷数列

4 B. 7

3 C. 7

1 D. 14

{an } (n ? 1, 2,3, ???6) 满足 an ?{1, 2,3 ???,10} ,且当

i ? j( i , j? 1 , 2? ,? ? 时 6a ) i ? a j 。若 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 ,
则符合条件的数列 A.
3 3 C10 C7

{an } 的个数是
B.
3 3 C10 C10

C.

3 3 A10 A7

D.

6 3 C10 A6

x2 ? y2 ? 1 2 11.已知椭圆 C: 的右焦点为 F,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交椭圆 C 于 B,若 ??? ? ??? ? ??? ? FA ? 3FB ,则 | AF | 等于
A.2 B. 2 C. 3 D.3

12 . 如图 2 , 有一 直角墙 角 ,两 边的 长度 尺足够 长 ,在 P 处有 一棵 树与 两 墙的 距离 分别 是

am(o ? a ? 12) 、4m,不考虑树的粗细,现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃
ABCD,设此矩形花圃的最大面积为 S,若将这棵树围在花圃内,则 函 数

S ? f (a) (单位 m 2 )的图象大致是

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。

(2 x 2 ?
13.若

1 n ) (n ? N * ) 3 x 展开式中含有常数项,则 n 的最小值是
·2·



14.设实数 x 、

y 满足

? x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? y ? 2 ? 0, ?

u?


x2 ? y 2 xy 的取值范围是



15.如图 3,A、B、C 是球面上三点,且 AB=2cm,BC=4cm,∠ABC=60°,若球心 O 到截面 ABC 的距离为 2 2 cm,则该球的表面积为 。

2 2 16.有下列命题:① a ? b 是 a ? b 的充分不必要条件;

??? ? ???? 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 OP ? OQ ? (OP ? OQ ? PQ ) 2 ② ;
③已知 f ( x ) 的最大值为 M,最小值是 m ,其值域是 [m, M ] ; ④有 3 种不同型号的产品 A、B、C,其数量之比依次为 2:3:4,现用分层抽样方法抽出一个容量 为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 10 件,则 n ? 90 。 其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号) 。 三、解答题:共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。

??? ? ??? ? | AC | ? 1 f ( ? ) ? AB ? BC ? 17.如图 4,已知△ABC 中, ,∠ABC=120°,∠BAC= ,记 。
(I)求 f (? ) 关于 ? 的表达式; (II) 求 f (? ) 的值域。

18.一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数

其中 A 的各位

1 2 a ? 1 a ( k ? 2,3, 4,5) a ( k ? 2,3, 4,5) 数字中, 1 , k 出现 0 的概率为 3 , k 出现 1 的概率为 3 ,记

? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 (例如:A=10001,其中 a1 ? a5 ? 1, a2 ? a3 ? a4 ? 0 , ? ? 2 ) 。当启动
·3·

仪器一次时,

(I)求 ? ? 3 的概率; (II)求当 ? 为何值时,其概率最大。

19 . 如 图 5 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD , ∠ ABC= ∠ BCD=90 ° ,

1 PA=PD=DC=BC= 2 AB,E 是 BP 的中点。
(I)求证:EC//平面 APD; (II)求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值; (III)求二面角 P-AB-D 的大小。

20. 已知等差数列 中项为 5。 为

{an } 为递增数列,前 n 项和为 Sn , n ? N * ,且 S3 ? a5 , a1 与 S5 的等比 {an } 的通项公式; (II)数列 {bn } 满足 bm ? pn ? an ,且 {bn } 的前 n 项和

(I)求数列

Tn , n ? N * ,若对任意 n ? N * 都有 Tn ? T6 ,求实数 p 的取值范围。

·4·

21.

1 1 (? , 0) x? 4 相切,圆心 C 的轨迹为 E ,曲线 E 与直线 l : 已知圆 C 过定点 F 4 ,且与直线

y ? k ( x ? 1) (k ? R) 相交于 A、B 两点。 (I) 求曲线 E 的方程;(II) 当△OAB 的面积等于 10 时,
求 k 的值; (III)在曲线 E 上是否存在与 k 的取值无关的定点 M,使得 MA⊥MB?若存在,求出

所有符合条件的定点 M;若不存在,请说明理由。

f ( x) ?
22.已知函数

1 3 x ? x 2 ? ax ? a (a ? R ) 3 。 (I)当 a ? ?3 时,求函数 f ( x ) 的极值;

(II)若函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围。

·5·

·6·

自贡市普高 2019 届第三次诊断性考试数学试卷参考答案及评分意见 选择题: (每小题 5 分,共 60 分) BADCD CCDAA BC 填空题: (每小题 4 分,共 16 分)13、5;14、[5,20];15、48 ?cm 解答题: (每小题 10 分,共 60 分)
2

16、①③④。

| AB | | BC | 1 ? ? sin 120 ? = sin(60? ? ? ) 17、解: (Ⅰ) ,由正弦定理有: sin
| BC |?


…………(2 分)

1 sin ? sin 120 ? ,

| AB |?

sin( 60 ? ? ? ) sin 120 ?

…………(4 分)

4 1 f ( 0 ) ? AB ? BC ? sin ? ? sin( 60 ? ? ? ) ? 3 2 ∴ f (? )

2 3 1 ( cos ?? sin ? ) sin ? 2 =3 2 =
1 ? 1 sin( 2 ?? )? 6 6 =3
0 ?? ?
(Ⅱ)

1 3 1 ? cos 2 ? ( sin 2 ?? ) 3 2 2

(0 ? ? ? ) 3

?

…………(8 分)

?
3
=>

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? 6 ,



1 ? ? sin( 2 ?? )? 1 2 6 ∴

1 f (? ) ? (0, ] 6

………(12 分)

8 21 22 2 P ( ? ? 3 ) ? C () () ? 4 3 3 27 18、 (文)解: (Ⅰ)由题意得: 1 0 14 P ( ?? 1 )? C 4( ) ? 3 81 (Ⅱ)
8 11 3 2 P ( ? ? 2 ) ? C () () ? 4 3 3 81

…………(3 分)

…………(5 分)

…………(7 分)

24 21 22 2 31 2 3 32 P ( ? ? 3 ) ? C () () ? P ( ? ? 4 )? C ( )() ? 4 4 3 3 81 3 3 81 …………(9 分) 16 4 24 P ( ?? 5 )? C 4( ) ? 3 81

…………(11 分)
·7·

? ? 4 的概率最大,最大值为 81

32

…………(12 分)

19、解:解法一(Ⅰ) 如图,取 PA 的中点为 F,连结 EF、FD。

1 ∵ E 是 BP 的中点, EF∥AB 且 EF= 2 AB, 又 ∵DC∥AB,
∴ EF∥DC ,∴ 四边形 EFDC 是平行四边形,故得 EC∥FD. 又∵ EC ? 平面 PAD,FD ? 平面 PAD, ∴ EC∥平面 ADE (4 (Ⅱ) 取 AD 中点 H,连结 PH,因为 PA=PD, 所以 PH⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 于 AD, ∴PH⊥面 ABCD ∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角………(6 分)

1 DC= 2 AB
分)

1

∵四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°∴四边形 ABCD 是直角梯形, ∴DC=CB= 2 AB, 设 AB= 2a ,则 BD= 2 a 在? ABD 中,易得∠DBA=45°, AD= 2 a ,

PH= PD?DH=
2 2

a2 ?

1 2 2 a a 2 = 2
∴? ABD 是等腰直角三角形,∠ADB=90°, …(7 分)

又 ∵ BD2+AD2=4 a =AB2,

1 2 10 a ? 2a 2 a ∴ HB= DH?DB= 2 = 2
2 2

2 a PH 2 5 tan ? PBH ? ? ? HB 10 5 a 2 ∴ 在 Rt ? PHB 中,

………(8 分)

(Ⅲ)在平面 ABCD 内过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于点 G,连结 PG,则 HG 是 PG 在平面 ABCD 上 的射影,故 PG⊥AB,所以∠PGH 是二面角 P—AB—D 的平面角, ………(10 分)

1 2 a a 由 AB=2 a , HA= 2 ,∠HAB=45°,∴ HG= 2 ,

………(11 分)

2 a PH 2 tan ? PGH ? ? ? 2 HG 1 a 2 ∴在 Rt ? PHG 中,
·8·

2 ∴二面角 P—AB—D 的大小为 arctan
解法二(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 AB=2 a ,同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB=90°, 如图以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DB 所在直线 为 y轴,过 D 点且垂直于

……(12 分)

平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系, ………(5 分)

2 2 a a 则 B(0, 2 a ,0) ,P( 2 ,0, 2 ) , 2 2 a a ∴ PB ? (- 2 , 2 a ,- 2 ) , ? 平面 ABCD 的一个法向量为 m (0,0,1) ,
cos ? PB , m ??
所以,

………(6 分)

PB ? m | PB || m |

?

?

2 a 2 ?? 6 6 3a

………(7 分)

6
可得 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 6 ,

5
所以 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为 5 , ………(8 分)

(Ⅲ)易知 A( 2 a ,0,0) ,则 AB =(- 2 a , 2 a ,0, ) , 设平面 PAB 的一个法向量为 n =(

………(9 分)

x0, y0, z0

)则

? ? n ? AB ? 0 ? ? n ? PB ? 0 由?


? ? 2 ax ay 0 0? 2 0? ? ? 2 2 ? ax ay az 0 0? 2 0? 0? ? 2 => ? 2
……(11 分)

=>

? y0 ? x0 ? ? z0 ? x0

x0 ? 1

可得 n =(1,1,1)

·9·

1
从而 cos ? m, n ?

3

?

3 3 arctan 3 ,所以二面角 P—AB—D 的大小为 3

……(12 分)

20、解:(Ⅰ)由题意

? S 3 ? a5 ? ?25 ? a1 ? S 5
? a1 ? ? 1 ? d ? ?2 或?

可得

2a ? 1 ?d ? a 5 a 10 d) ?25 1( 1? ?

即 a1 ? 1
2

?a1 ? 1 ? d ? 2 ∴ ?



?a n ? 为递增的等差数列,
* a 2 n ? 1 ( n ? N ) n?

∴ (Ⅱ)

?a1 ? 1 ? d ?0,∴ ? d ? 2 ,



………(6 分)

b ? pn ? 2 n ? 1 ? ( p ? 2 ) n ? 1 n

p ? 22 p T n? n n? 2 2 ,由 T n ≤ T6 , n ? 6时最大,知 T n 开口向下,

p ∴ p<2 且 5.5≤ 2 ( 2 ? p ) ≤6.5

11 13 ∴ 6 ≤ p≤ 7

………(12 分)

1 1 21、解:(Ⅰ)由题意,点 C 到定点 F(- 4 ,0)和直线 x = 4 的距离相等,
所以点 C 的轨迹方程为 y ? ?x
2

………(4 分)

? y 2 ? ?x ? y ? k ( x ? 1) (Ⅱ)由方程组 ? 消去 x 后,
整理得
2 ky ?y? k? 0

………(5 分)

x2
设 A(x1,y1) ,B( ,

y

2

),由韦达定理有

? y1 ? y2 ??

12t 2 y1 y2 ? ? 2 1 t, ?1 ………(6 分) = tk ? , -1
2

设直线 l与 x 轴交于点 N,则 N(-1,0)



1 S ? S ? S ? OAB ? OAN ? OBN 2


1 |ON|| y 1 |+ 2 |ON|| y 2 |

1 1 1 2 ( y y )? 4 y y 1? 2 1 2 = 2 1 ? y2 |= 2 ·1· = 2 |ON|·| y
·10·

1 ( )2 ? 4 k

S ? 10 ∴ ∵ ?OAB

1 10 = 2
2

1 ( )2 ? 4 k ,解得

k ??

1 6

………(8 分)

(Ⅲ)∵A、B 在抛物线 y ? ?x 上,

? x ? ? ( y? y) 1 2 所以 x
设点 M(

2 1

2 2 =

?(

1 ? 2) 2 2 x y 1 k2 1 2? 1y 2 ? ,x ,

………(9 分)

x 0 , y 0 ),MA⊥MB ?

1 1 2 2 x? y ? y ? 2 x ? x 0 0 0 0 0? 2 0 (( y ? y y ? y )( y ? y ) ? ( x ? x )( x ? x ) 11 00 2 0 k 1 02 0 =0? k ?

x0 ? 0 ? ? y0 ? 0 ? ? y 2 ? 2x ? x 2 ? 0 0 0 ? 0

?

? x0 ? 0 ? ? y0 ? 0

………(11 分) ………(12 分)

故存在唯一的合乎题意的点 M(0,0).

22、解:(Ⅰ) 当 a ? ?3 时, ∴

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3 +3

f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)(x ? 1)
x2 ? 3
………(1 分) ………(2 分)

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1

当 x <-1 时, f ' ( x) >0,则 f ( x) 在 ?? ?,?1? 上单调递增;

当-1< x <3 时, f ' ( x) <0,则 f ( x) 在(-1,3)上单调递减; ……(3 分) 当 x >3 时, f ' ( x) >0, f ( x) 在 ?3,??,? 上单调递增; ……(4 分)

1 14 f (?1) ? ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 3 ∴ 当 x =-1 时, f ( x) 取得极大值为

…(5 分)

当 x =3 时, f ( x) 取得极小值为

f (3) ?

1 3

? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6
…(6 分)

(Ⅱ) ∵ f ' ( x) ? x ? 2 x ? a
2



? ? 4 ? 4a ? 4(1 ? a)
·11·

1)若 a ? 1 ,则 ? ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 在 R 上恒成立,∴ f ( x) 在 R 上单调递增。……(7 分) ∵ f (0) =- a <0, f (3) =2 a >0 ∴当 a ≥1 时, f ( x) 函数的图象与 x 轴有且只有一个交点。…(8 分)

2)若 a <1,则 ? ? 0 ∴ f ' ( x) ? 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1 、 x2 ( x1 < x2 ) ∴ x1 + x2 =2, x1 · x2 = a , 当 x 变化时, f ' ( x) f ( x) 的取值情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

?? ?, x1 ?
+

x1
0 极大值

( x 1 , x2 ) -

x2
0 极小值

?x2 ,??,?
+

∵ x1 ? 2 x1 + a =0, ∴

2

2 a =- x1 ? 2 x1

………(9 分)



f ( x1 ) ?

1 3 1 3 2 2 x1 ? x1 ? ax1 ? a x1 ? x1 ? ax1 ? 2 x1 ? 2 x1 3 =3

1 3 1 2 x1 ? ( a ? 2) x1 x1 [ x1 ? 3(a ? 2)] =3 =3 1 2 x 2 [ x 2 ? 3( a ? 2)] f ( x ) ? 3 2 同理 1 2 x x [ x ? 3(a ? 2)] 2 f ( x1 ) · f ( x2 ) = 9 1 2 1 · [ x2 ? 3(a ? 2)]

………(10 分)

………(11 分)



1 2 2 ( x1 x 2 )[( x1 x 2 ) 2 ? 3(a ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 9(a ? 2) 2 ] =9 1 a a 2 ?3(a ? 2)[( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? 9(a ? 2) 2 =9

?

?

·12·

4 a ( a 2 ? 3a ? 3) =9
令 f ( x1 ) · f ( x2 ) >0,解得 a >0,

…………(12 分)

而当 0 ? a ? 1 时, f (0) =- a <0, f (3) =2 a >0, 故当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点。 综上所述, a 的取值范围是 ?0,??,? ………(13 分) ……… (14 分)

·13·


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