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第一章 鞅 第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理

第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理
一、样本函数的性质 以下,记 T = [0,+∞), T + = (0,+∞) 对一个给定的随机过程 {xt ; t ∈ T } ,指定 T 的一个可列子集

D = {t1 , t 2 ,?}

U n = {t1 , t 2 , ? , t n }

为 D 的前 n 个元素,将 U n 的元素按大小重新排列,设

tα 1 < tα 2 < ? < tα n
用 Va (U n ) 表示
b

xtα1 , xtα 2 ,? , xtα n
严格上穿区间 [a, b] 的次数。这里严格上穿指的是 xtα1 , xtα 2 , ? , xtα n 的值由小于 a 变 到大于 b ,比如 xtα < a, xtα > b ,就称严格上穿区间一次。显然
1 2

Vab (U n ) ≤ Vab (U n +1 )



Vab ( D) = lim Vab (U n )
n →∞

则 Va ( D ) 是 {xt ; t ∈ D} 严格上穿区间 [ a, b] 的次数。
b

定 理 1-6-1 设 {xt , Ft , t ∈ T } 是 下 鞅 , D 是 T 中 的 一 个 可 列 子 集 , 又 设
r , s ∈ T , r < s ,设 [a, b] 为任意区间,令 λ > 0 ,于是有

1 1 + E ( x s ? a) + ≤ ( Ex s + | a |) b?a b?a (2) λP( sup xt ≥ λ ) ≤ E | x s |

(1) E{Vab ( D ∩ [r , s ])} ≤
t∈D ∩[ r , s ]

证明: 1)设 (

-1-

D ∩ [r , s ] = {t1 , t 2 , ? , t n , ?} U n = {t1 , t 2 , ? , t n } 为简单起见,设 t1 < t 2 < ? < t n ,则 t n ≤ s ,由定理 4—1
EVab (U n ) ≤ 1 E ( xtn ? a) + b?a

因为 E ( xt ? a ) + 也是下鞅,所以

E ( xt n ? a ) + ≤ E ( x s ? a ) +
EVab (U n ) ≤ 1 E ( x s ? a) + b?a

由单调收敛定理知

lim EVab (U n ) = E[lim Vab (U n )]
n →∞ n →∞

= EVab (D ∩ [r , s ]) ≤
(2)由定理 3-3

1 1 E ( x s ? a) + ≤ E ( x s+ + | a |) b?a b?a

λP (sup xt ≥ λ ) ≤
t∈U n

tn { sup xt ≥ }
t∈U n

∫ xλ dP



τ =?

?

min{k ; k ≥ n, xtk ≥ λ}

? n, 若上面的集合是空集

记 M = {w; sup x t ≥ λ} ,则 τ 为停时,且在 M 上, xτ ≥ λ 。事实上对任意 j ≥ n ,
t∈U n

M ∩ {τ = j} = {ω ; xtk (ω ) < λ , 0 < k < j , xt j (ω ) ≥ λ} ∈ F j ,
因为 τ ≥ n ,所以由有界停时定理知

j≥n

∫ E [x

tn

| Ftn dP ≥ ∫ xtτ dP
M

]

M

由条件期望的定义知

∫x
M

tn

dP = ∫ E xtn | Ftn dP
M

[

]



λP( M ) ≤ ∫ xtτ dP ≤ ∫ xt dP ≤ ∫ xt+ dP
n n

M

M

M

-2-

因为 xtn 为下鞅,所以 Extn

+

+

≤ Exs+ ≤ E | xs | ,从而得
t →U n

λ P (ω ; sup xt (ω ) ≥ λ ) ≤ E | x s |
令 n → ∞ ,得

λP (ω ; sup xt (ω ) ≥ λ ) ≤ E | x s |
t → D ∩[ r , s ]

推论 1-6-1 设 {xt } 是鞅,且 E | xt | p < ∞, t ≥ 0 ,则 (1) 对 ?p ≥ 1
P{ sup | xt |> λ} ≤
t∈D ∩[ r , s ]

1

λ

p

E | xs | p

(2) 对 ?p > 1
P{ sup | xt | p } ≤ (
t∈D ∩[ r , s ]

p p ) E | xs | p p ?1

(习题 1-6-1 证明推论 1-6-1) 推论 1-6-2 设 {xt } 是下鞅,且 ?N , P ( N ) = 0 ,当 ω ∈ N c 时,轨道 xt (ω ) 右连续, 则
(1) λP( sup xt ≥ λ ) ≤ E | x s |
t∈[ r , s ]

(2) P{ sup | xt |> λ} ≤
t∈D ∩[ r , s ]

1

λ

p

E | x s | p , ?p ≥ 1

(3) P{ sup | xt | p } ≤ (
t∈D ∩[ r , s ]

p p ) E | x s | p , ?p > 1 p ?1
t∈[ r , s ]
t∈[ r , s ]

证明:设 ω ∈ N c ,因为 xt (ω ) 右连续,所以 sup | xt (ω ) | 能达到。设 sup | xt |=| xt0 | , 且 t 0 ∈ [r , s ] 。于是对 t 0 ,

?{tα t }i∞ 1 ? D , tα i → t 0 + 0, i → ∞ =
从而
| x tα i (ω ) |→| x t 0 (ω ) | , i → ∞



-3-

t∈[ r , s ]∩ D

sup | xt (ω ) |=| xt0 (ω ) |= sup | xt (ω ) |
t∈[ r , s ]

若 t 0 = s ,显然
t∈[ r , s ]∩ D

sup | xt (ω ) |=| x s (ω ) |= sup | x t (ω ) |
t∈[ r , s ]

故(1) (2) (3)成立。 推论 1-6-3 设 {xt } 是下鞅, 是 T 上的可列子集, ?N , P ( N ) = 0 , ω ∈ N c 时, D 则 当 对 T 上的任一有穷区间 [a, b] , xt (ω ) 在 D ∩ [a, b] 上有界。若 ω ∈ N c 时, xt (ω ) 右 连续,则对 T 的任一有穷区间 [a, b] , xt (ω ) 在 [a, b] 上有界。 证明:由推论 1-6-1(1)知
P{ sup | xt |> λ} ≤
t∈D ∩[ a ,b ]

1

λ

E | xn |

令 n → ∞ ,则

P{ sup | xt |= ∞} = 0
t∈D ∩[ a ,b ]

所以
P ({ω ; xt (ω )有界, ω ∈ D ∩ [a, b], ?[a, b] ? T }) = P(∩ {ω ; sup | xt (ω ) |< ∞}) = 1
n =1 t∈[ 0 , n ] ∞

若 xt (ω ) 右连续,取 T 的一个稠密子集 D,则
t∈D ∩[ a ,b ]

sup | xt (ω ) |< ∞ ? sup | xt (ω ) |< ∞
t∈[ a ,b ]

(习题 1-6-2)



P({ω ; sup | xt (ω ) |= ∞}) = 0
t∈[ a ,b ]

由此知, ?N , P ( N ) = 0 ,当 w ∈ N c 时, sup | xt (ω ) |< ∞, (?[a, b] ? T ) 。
t∈[ a ,b ]

注 1-6-1 称鞅或下鞅右连续,如果所有的样本函数右连续。 注 1-6-2 记 Ft + = ∩ Fs
s >t

定理 1-6-2 设 {xt ; Ft , t ∈ T } 为鞅(或下鞅) D 为 T 中的一个可列稠密子集,则 ,
0 存在鞅(或下鞅) { y t ; F + , t ∈ T } ,使得

-4-

(1) { y t } 的所有轨道右连续,且 ?N , P ( N ) = 0 ,当 ω ∈ N c 时,
yt (ω ) = lim x s (ω ), t ∈ T
s →t + 0 s∈D

(1-6-1)

(2) ?N , P ( N ) = 0 ,当 ω ∈ N c 时,对 ?t ∈ T + , y t (ω ) 存在有穷的左极限,且 y t ?0 (ω ) = lim x s (ω ), t ∈ T
s →t ? 0 s∈D

(1-6-2)

(3) 对 ?t ∈ T + , xt = E[ y t | Ft ] (或 ≤) (4) { y t ; Ft + , t ∈ T } 是反向鞅(或反向下鞅) 。

(1-6-3)

证明:先构造 { y t } 如下,对 ?t ∈ T ,及区间 [a, b] ,令
H t ,a ,b = {ω ; sup | x s (ω ) |= ∞} ∪ {ω ; Vab ( D ∩ [0, t ]) = ∞}
s∈D ∩[ 0 ,t ]

(1-6-4)

则 H t , a ,b ∈ Ft ,由推论 1-6-3 知, P ( H t ,a ,b ) = 0. 令
H t = ∪ H t , a ,b , H = ∪ H n = ∪ H t
a <b a ,b∈Q n =1 t∈T ∞

(习题 1-6-3) (1-6-5)

则 H t ∈ Ft , P ( H ) = 0 ,对每一个 t ∈ T ,令
H t+ = ∩ H s
s >t

(1-6-6)

显然 H t+ ∈ Ft+ , 如果 ω ? H t+ , 则存在 t? > t , ω ? H t? , x s (ω ) 在区间 [0, t?] ? [0, t ] 使 故 上有穷, x s (ω ) 在 [t?, t ] 上有穷,故 lim x s (ω ) 存在且有穷,于是定义
s →t + 0 s∈D

? lim x s (ω ) , ω ? H t+ ? s →t + 0 yt (ω ) = ? s∈D ? 0 , ω ∈ H t+ ?

(1-6-7)

1 往证(1) 。任取 ω 和 t ∈ T ,若 w ∈ H t+ ,则 w ∈ H r+ , ?r > t ,由式(1-6-7)知当
r ≥ t 时, y r (ω ) = 0 ,从而 y t (ω ) 在 t 处右连续。若 ω ? H t+ ,则由 H t+ 的定义(式

-5-

(1-6-6) 知, r0 > t , ?r ∈ (t , t 0 ) , ω ? H r+ 。 ) ? 对 有 事实上, 若不这样, 即对 ?r0 > t , ?r ∈ (t , t 0 ) , 当 ω ∈ H r+ 时 则 可 得 {rn }∞=1 , rn > t , lim rn = t , 使 ω ∈ H r+ , 又 因 为 n n
n →∞

lim H r+ = H t+ ,故 ω ∈ H t+ ,矛盾。 n
n→∞

由 y t (ω ) 的定义 (1-6-7) 知, ε > 0, ?δ > 0, δ < r0 ? t , s ∈ D ∩ (t , t + δ ) (式 ) ? 当 时,有
| y t (ω ) ? x s (ω ) |< ε

于是当 r ∈ (t , t + δ ) 时,由于 ω ? H r+ , y r (ω ) = lim x s (ω ) ,有
s →t + 0 s∈D

| y t (ω ) ? y r (ω ) |= lim | y t (ω ) ? x s (ω ) |< ε
s →t + 0 s∈D

从而知, y t (ω ) 在 t 处右连续。 另一方面,当 ω ? H 时,对 ?t ∈ T + , ?ω ? H t ,由 y t (ω ) 的定义(式(1-6-7) ) 知,
yt (ω ) = lim x s (ω ), t ∈ T
s →t + 0 s∈D

令 N = H ,则结论(1)成立。
2 往证(2) 。对 ?ω ? H , ?t ? T + ,因为 ω ? H ,所以 lim x s (ω ) 存在且有穷。记
s →t ? 0 s∈D

~ (ω ) = lim x (ω ) xt s
s →t ? 0 s∈D

对 ?ε > 0 ,取 δ > 0 ,使对 ?s ∈ (t ? δ , t ) ∪ D ,有
| ~t (ω ) ? x s (ω ) | < x

ε
2

又 对 ?r ∈ (t ? δ , t ) , 由 于 ω ? H r+ , 由 y t (ω ) 的 定 义 ( 式 ( 1-6-7 ) , 可 取 )
s > t , s ∈ D ∩ (t ? δ , t ) ,使 | y t (ω ) ? x s (ω ) | <

ε
2

-6-

于是当 r ∈ (t ? δ , t ) 时

ε ε | y t (ω ) ? xt (ω ) |≤| y r (ω ) ? x s (ω ) | + | x s (ω ) ? ~t (ω ) | < + = ε x 2 2 由此知 lim y r (ω ) = ~t (ω ) ,即 yt ?0 (ω ) 存在且有穷。再取 N = H ,则结论(2)成 x
r →t ? 0

立。
3 往证(3) {rn }∞=1 ? D, rn > t , rn → t , n → ∞ ,因为 {xt ; Ft , t ∈ T } 为下鞅,所以 。令 n

?A ∈ Ft

∫ x dP ≤ ∫ x
t A A

rn

dP

(1-6-8)

又因为 { y t ; Ft + , t ∈ T } 是反向下鞅, 所以 x rn 一致可积。 又因为 yt (ω ) = lim x s (ω ) ,
s →t + 0 s∈D

从而 lim E | xrn (ω) ? yt (ω ) |= 0 。于是在式(1-6-8)中令 n → ∞ ,得
n→∞

∫ x dP ≤ ∫ y dP,
t t A A

?A ∈ Ft

从而知 E[ yt | Ft ] ≥ xt 。
4 往证(4) 。取 {s n }∞=1 ? D, {rn }∞=1 ? D ,满足 n n s < s n < t < t n , t n → t + 0, s n → s + 0, n → ∞

?A ∈ Fs+ ,因为 {xt ; Ft , t ∈ T } 是下鞅,所以

∫x
A

sn

dP ≤ ∫ xdP ≤ ∫ x tn dP
A A

(1-6-9)

与处理 3 中式(1-6-8)的方法相同,令式(1-6-9)的两边 n → ∞ 即得

∫ y dP ≤ ∫ y dP
s t A A

(习题 1-6-4)

E[ y t | Fs+ ] ≥ y s 。

推论 6-1 如下鞅 {xt ; Ft , t ∈ T } 右连续,则
0 (1) { y t ; F + , t ∈ T } 是反向下鞅。

-7-

(2) ?N , P ( N ) = 0 , ω ∈ N c 时, xt (ω ) 在一切 t > 0 上有有穷左极限。 证明: (习题 1-6-5) 。 定理 1-6-3 设 {xt ; Ft , t ∈ T } 是右连续下鞅,如果 {Ft } 右连续,则下列两条件等 价
(1) (2) E [xt ], t ≥ 0 右连续 {xt } 有右连续修正下鞅

证明:往证(1)? (2) 。设 D 为 T 的任一可列稠密子集,令 Ft = Ft+ ,则定理
1-6-2 中的 { y t ; Ft , t ∈ T } 是下鞅,且 xt ≤ E[ y t | Ft ] ≤ y t , a.e. yt ? xt ≥ 0, a.e.

对 ?t > 0 , 取 {t n }∞=1 ? D, t n → t + 0, n → ∞ , 则 因 为 {xtn } 一 致 可 积 , 有 n
Ey t = lim Extn 。又因为 Ext 右连续,所以 lim Extn = Ext = Ey t ,故有
n→ ∞ n →∞

∫(y

t

? xt )dP = 0, a.e.

故 y t = xt , a.e. ,所以 { y t } 是 xt 的右连续修正。 往 证 ( 2 ) ? ( 1 )。 设 { y t } 是 {xt } 的 右 连 续 修 正 下 鞅 。 对 任 意
{t n }∞=1 ? D, t n → t + 0, n → ∞ ,因为 {xtn } 一致可积,所以 { y tn } 一致可积。又因为 n E | y tn |= E | xtn |< ∞ ,所以
n →∞

lim E xtn = lim E y tn = E lim y tn = E [ y t ] = E [xt ]
n →∞ n →∞

[ ]

[ ]

[

]

可知, E [xt ] 右连续。 推 论 1 -6- 5 若 {Ft } 右 连续 , 则 如 果 {xt } 是 鞅 , 就一 定 存 在 右 连 续 修 正鞅

{ y t ; Ft , t ∈ T } 。

证明:因为对一切,t > s , E[ x s | Fs ] = x s , E[ E ( x s | Fs )] = E[ x s ] , E [xt ] = E [x s ] , 故 E [xt ] 右连续,由定理 1-6-3 知, E [xt ] 右连续。 定理 1-6-4 设 {xt ; Ft , t ∈ T } 是右连续下鞅,如果
sup E | x n |< +∞
t ≥0

则存在 F∞ 可积的随机变量 x∞ ,使
-8-

P (lim xt = x∞ ) = 1
t →∞

证明:令 } A = {ω ; lim xt (ω ) 存在(有穷或 ± ∞)
t →∞

A(a, b) {ω ; lim xt (ω ) < a < b < lim xt (ω )} =
t →∞ t →∞

记 Q 为全体有理数,则

Ac =

∪ A(a, b) ,
a <b a ,b∈Q

P( A c ) = P (

∪ A(a, b))
a <b a ,b∈Q

下面证明 P ( A(a, b)) = 0 ,从而证明了 P( A c ) = 0, P ( A) = 1 。 记 Vab 为 {xt ; t ∈ T } 严格上穿 [a, b] 的次数, 为 T 的一个可列稠密子集, ab (D ) D V 为 {xt } 严格上穿 [a, b] 的次数, 显然 Vab ≥ Vab (D ) 。 设 xta < a, xtb < b , xt 在 [t a , t b ] 且 上 上 穿 一 次 [a, b] 。 因 xt 右 连 续 , ?ε > 0 , 当 t ∈ [t b , t b + ε ] 时 , xt > b , 作
{t n }∞=0 ? D, t 0 = t a , t n ∈ [t b , t b + ε ], t n → b + 0, n → ∞ 。于是 xt 在 {t n }∞=0 上上穿 [a, b] n n

一次,所以 Vab ≤ Vab ( D ) ,从而 Vab = Vab ( D ) 。由定理 1-6-1 知

EVab ( D) = lim EVab ( D ∩ [0, n])
n →∞

1 + ( Ex n + | a |) n→ ∞ b ? a 1 ≤ (sup Ext+ + | a |) < ∞ b ? a t ≥0 ≤ lim
故 P(Vab < ∞) = P(Vab ( D) < ∞) = 1 。 事 实 上 若 P(Vab < ∞)) = 1 ? ε , 则

P(Vab = +∞)) = ε ,有

EVab = ∫ Vab dP >

∫V

b a

dP > ∞

{Vab = +∞}

矛盾。另一方面, A(a, b) {w;Vab = ∞} ,故 ?

P( A(a, b)) ≤ P(Vab = ∞) = 1 ? P(Vab < ∞) = 0
从而 lim xt 几乎出处存在,记
t →∞

x∞ = lim xt
t →∞

由于 {xt } 是右连续的,所以 x∞ 是 F∞ 可测的,则

P(lim xt = x∞ ) = 1
t →∞

-9-

对 {xt } 引用 Fatou 引理,有 E | x∞ |≤ lim E | xt |< ∞
t →∞

定理 1-6-5 设 {xt } 是一致可积的右连续下鞅(或鞅) ,则存在 F∞ 可测且可积的 随机变量 x∞ ,使得 (1) xt → x∞ , a.e. (2) ?t ≥ 0, xt ≤ E ( x ∞ | Ft )(或 =) 证明:习题 1-6-6。 推论 1-6-6 设 σ - 代数流 {Ft } 右连续,Y 为一可积随机变量,如果 {xt } 是

{E (Y | Ft )} 的右连续修正,则当 t → ∞ 时,有
xt → E (Y | F∞ ), a.e. 且 E | xt ? E (Y | F∞ ) |→ 0, t → ∞ 。 证明:习题 1-6-7。

- 10 -


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