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# 第一章 鞅 第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理

D = {t1 , t 2 ,?}

U n = {t1 , t 2 , ? , t n }

tα 1 < tα 2 < ? < tα n

b

xtα1 , xtα 2 ,? , xtα n

1 2

Vab (U n ) ≤ Vab (U n +1 )

Vab ( D) = lim Vab (U n )
n →∞

b

r , s ∈ T , r < s ，设 [a, b] 为任意区间，令 λ > 0 ，于是有

1 1 + E ( x s ? a) + ≤ ( Ex s + | a |) b?a b?a （2） λP( sup xt ≥ λ ) ≤ E | x s |

（1） E{Vab ( D ∩ [r , s ])} ≤
t∈D ∩[ r , s ]

-1-

D ∩ [r , s ] = {t1 , t 2 , ? , t n , ?} U n = {t1 , t 2 , ? , t n } 为简单起见，设 t1 < t 2 < ? < t n ，则 t n ≤ s ，由定理 4—1
EVab (U n ) ≤ 1 E ( xtn ? a) + b?a

E ( xt n ? a ) + ≤ E ( x s ? a ) +
EVab (U n ) ≤ 1 E ( x s ? a) + b?a

lim EVab (U n ) = E[lim Vab (U n )]
n →∞ n →∞

= EVab (D ∩ [r , s ]) ≤
（2）由定理 3-3

1 1 E ( x s ? a) + ≤ E ( x s+ + | a |) b?a b?a

λP (sup xt ≥ λ ) ≤
t∈U n

tn { sup xt ≥ }
t∈U n

∫ xλ dP

τ =?

?

min{k ; k ≥ n, xtk ≥ λ}

? n, 若上面的集合是空集

t∈U n

M ∩ {τ = j} = {ω ; xtk (ω ) < λ , 0 < k < j , xt j (ω ) ≥ λ} ∈ F j ,

j≥n

∫ E [x

tn

| Ftn dP ≥ ∫ xtτ dP
M

]

M

∫x
M

tn

dP = ∫ E xtn | Ftn dP
M

[

]

λP( M ) ≤ ∫ xtτ dP ≤ ∫ xt dP ≤ ∫ xt+ dP
n n

M

M

M

-2-

+

+

≤ Exs+ ≤ E | xs | ，从而得
t →U n

λ P (ω ; sup xt (ω ) ≥ λ ) ≤ E | x s |

λP (ω ; sup xt (ω ) ≥ λ ) ≤ E | x s |
t → D ∩[ r , s ]

P{ sup | xt |> λ} ≤
t∈D ∩[ r , s ]

1

λ

p

E | xs | p

（2） 对 ?p > 1
P{ sup | xt | p } ≤ (
t∈D ∩[ r , s ]

p p ) E | xs | p p ?1

（习题 1-6-1 证明推论 1-6-1） 推论 1-6-2 设 {xt } 是下鞅，且 ?N , P ( N ) = 0 ，当 ω ∈ N c 时，轨道 xt (ω ) 右连续， 则
(1) λP( sup xt ≥ λ ) ≤ E | x s |
t∈[ r , s ]

(2) P{ sup | xt |> λ} ≤
t∈D ∩[ r , s ]

1

λ

p

E | x s | p , ?p ≥ 1

(3) P{ sup | xt | p } ≤ (
t∈D ∩[ r , s ]

p p ) E | x s | p , ?p > 1 p ?1
t∈[ r , s ]
t∈[ r , s ]

?{tα t }i∞ 1 ? D , tα i → t 0 + 0, i → ∞ =

| x tα i (ω ) |→| x t 0 (ω ) | , i → ∞

-3-

t∈[ r , s ]∩ D

sup | xt (ω ) |=| xt0 (ω ) |= sup | xt (ω ) |
t∈[ r , s ]

t∈[ r , s ]∩ D

sup | xt (ω ) |=| x s (ω ) |= sup | x t (ω ) |
t∈[ r , s ]

P{ sup | xt |> λ} ≤
t∈D ∩[ a ,b ]

1

λ

E | xn |

P{ sup | xt |= ∞} = 0
t∈D ∩[ a ,b ]

P ({ω ; xt (ω )有界, ω ∈ D ∩ [a, b], ?[a, b] ? T }) = P(∩ {ω ; sup | xt (ω ) |< ∞}) = 1
n =1 t∈[ 0 , n ] ∞

t∈D ∩[ a ,b ]

sup | xt (ω ) |< ∞ ? sup | xt (ω ) |< ∞
t∈[ a ,b ]

（习题 1-6-2）

P({ω ; sup | xt (ω ) |= ∞}) = 0
t∈[ a ,b ]

t∈[ a ,b ]

s >t

0 存在鞅（或下鞅） { y t ; F + , t ∈ T } ，使得

-4-

(1) { y t } 的所有轨道右连续，且 ?N , P ( N ) = 0 ，当 ω ∈ N c 时，
yt (ω ) = lim x s (ω ), t ∈ T
s →t + 0 s∈D

（1-6-1）

(2) ?N , P ( N ) = 0 ，当 ω ∈ N c 时，对 ?t ∈ T + ， y t (ω ) 存在有穷的左极限，且 y t ?0 (ω ) = lim x s (ω ), t ∈ T
s →t ? 0 s∈D

（1-6-2）

(3) 对 ?t ∈ T + ， xt = E[ y t | Ft ] (或 ≤) (4) { y t ; Ft + , t ∈ T } 是反向鞅（或反向下鞅） 。

（1-6-3）

H t ,a ,b = {ω ; sup | x s (ω ) |= ∞} ∪ {ω ; Vab ( D ∩ [0, t ]) = ∞}
s∈D ∩[ 0 ,t ]

（1-6-4）

H t = ∪ H t , a ,b , H = ∪ H n = ∪ H t
a <b a ,b∈Q n =1 t∈T ∞

（习题 1-6-3） （1-6-5）

H t+ = ∩ H s
s >t

（1-6-6）

s →t + 0 s∈D

? lim x s (ω ) , ω ? H t+ ? s →t + 0 yt (ω ) = ? s∈D ? 0 , ω ∈ H t+ ?

（1-6-7）

1 往证（1） 。任取 ω 和 t ∈ T ，若 w ∈ H t+ ，则 w ∈ H r+ , ?r > t ，由式（1-6-7）知当
r ≥ t 时， y r (ω ) = 0 ，从而 y t (ω ) 在 t 处右连续。若 ω ? H t+ ，则由 H t+ 的定义（式

-5-

（1-6-6） 知， r0 > t ， ?r ∈ (t , t 0 ) ， ω ? H r+ 。 ） ? 对 有 事实上， 若不这样， 即对 ?r0 > t ， ?r ∈ (t , t 0 ) ， 当 ω ∈ H r+ 时 则 可 得 {rn }∞=1 , rn > t , lim rn = t ， 使 ω ∈ H r+ ， 又 因 为 n n
n →∞

lim H r+ = H t+ ，故 ω ∈ H t+ ，矛盾。 n
n→∞

| y t (ω ) ? x s (ω ) |< ε

s →t + 0 s∈D

| y t (ω ) ? y r (ω ) |= lim | y t (ω ) ? x s (ω ) |< ε
s →t + 0 s∈D

yt (ω ) = lim x s (ω ), t ∈ T
s →t + 0 s∈D

2 往证（2） 。对 ?ω ? H , ?t ? T + ，因为 ω ? H ，所以 lim x s (ω ) 存在且有穷。记
s →t ? 0 s∈D

~ (ω ) = lim x (ω ) xt s
s →t ? 0 s∈D

| ~t (ω ) ? x s (ω ) | < x

ε
2

s > t , s ∈ D ∩ (t ? δ , t ) ，使 | y t (ω ) ? x s (ω ) | <

ε
2

-6-

ε ε | y t (ω ) ? xt (ω ) |≤| y r (ω ) ? x s (ω ) | + | x s (ω ) ? ~t (ω ) | < + = ε x 2 2 由此知 lim y r (ω ) = ~t (ω ) ，即 yt ?0 (ω ) 存在且有穷。再取 N = H ，则结论（2）成 x
r →t ? 0

3 往证（3） {rn }∞=1 ? D, rn > t , rn → t , n → ∞ ，因为 {xt ; Ft , t ∈ T } 为下鞅，所以 。令 n

?A ∈ Ft

∫ x dP ≤ ∫ x
t A A

rn

dP

（1-6-8）

s →t + 0 s∈D

n→∞

∫ x dP ≤ ∫ y dP,
t t A A

?A ∈ Ft

4 往证（4） 。取 {s n }∞=1 ? D, {rn }∞=1 ? D ，满足 n n s < s n < t < t n , t n → t + 0, s n → s + 0, n → ∞

?A ∈ Fs+ ，因为 {xt ; Ft , t ∈ T } 是下鞅，所以

∫x
A

sn

dP ≤ ∫ xdP ≤ ∫ x tn dP
A A

（1-6-9）

∫ y dP ≤ ∫ y dP
s t A A

（习题 1-6-4）

E[ y t | Fs+ ] ≥ y s 。

0 （1） { y t ; F + , t ∈ T } 是反向下鞅。

-7-

（2） ?N , P ( N ) = 0 ， ω ∈ N c 时， xt (ω ) 在一切 t > 0 上有有穷左极限。 证明： （习题 1-6-5） 。 定理 1-6-3 设 {xt ; Ft , t ∈ T } 是右连续下鞅，如果 {Ft } 右连续，则下列两条件等 价
(1) (2) E [xt ], t ≥ 0 右连续 {xt } 有右连续修正下鞅

1-6-2 中的 { y t ; Ft , t ∈ T } 是下鞅，且 xt ≤ E[ y t | Ft ] ≤ y t , a.e. yt ? xt ≥ 0, a.e.

Ey t = lim Extn 。又因为 Ext 右连续，所以 lim Extn = Ext = Ey t ，故有
n→ ∞ n →∞

∫(y

t

? xt )dP = 0, a.e.

{t n }∞=1 ? D, t n → t + 0, n → ∞ ，因为 {xtn } 一致可积，所以 { y tn } 一致可积。又因为 n E | y tn |= E | xtn |< ∞ ，所以
n →∞

lim E xtn = lim E y tn = E lim y tn = E [ y t ] = E [xt ]
n →∞ n →∞

[ ]

[ ]

[

]

{ y t ; Ft , t ∈ T } 。

sup E | x n |< +∞
t ≥0

-8-

P (lim xt = x∞ ) = 1
t →∞

t →∞

A（a, b） {ω ; lim xt (ω ) < a < b < lim xt (ω )} =
t →∞ t →∞

Ac =

∪ A(a, b) ,
a <b a ,b∈Q

P( A c ) = P (

∪ A(a, b))
a <b a ,b∈Q

{t n }∞=0 ? D, t 0 = t a , t n ∈ [t b , t b + ε ], t n → b + 0, n → ∞ 。于是 xt 在 {t n }∞=0 上上穿 [a, b] n n

EVab ( D) = lim EVab ( D ∩ [0, n])
n →∞

1 + ( Ex n + | a |) n→ ∞ b ? a 1 ≤ (sup Ext+ + | a |) < ∞ b ? a t ≥0 ≤ lim

P(Vab = +∞)) = ε ，有

EVab = ∫ Vab dP >

∫V

b a

dP > ∞

{Vab = +∞}

P( A(a, b)) ≤ P(Vab = ∞) = 1 ? P(Vab < ∞) = 0

t →∞

x∞ = lim xt
t →∞

P(lim xt = x∞ ) = 1
t →∞

-9-

t →∞

{E (Y | Ft )} 的右连续修正，则当 t → ∞ 时，有
xt → E (Y | F∞ ), a.e. 且 E | xt ? E (Y | F∞ ) |→ 0, t → ∞ 。 证明：习题 1-6-7。

- 10 -

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