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高中数学


带着问题奔向课堂

Questioning

向量与数量的区别 向量与数量的区别

向量用什么来表示?

相等向量相反向量

认真听讲

仔细思考 积极发言

知识 方法 技能




授课人:

(第一课时)

新华网东京3月30日电:

日本部署“爱国者-3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境 内的朝鲜发射物。
不考虑其他因素,导弹击中 拦截目标取决于导弹运行的 路程还是位移?

目标

位移是有大小和方向的量

质量



速度

问题:请指出与位移具有同样特征的量。

(1 )

(2 )

(3)

力、速度也是有大小和方向的量

知识建构
一.向量的概念及表示 既有大小又有方向的量称为向量 1.定义: 1)几何方法——如何画 2.表示方法: 2)代数方法——如何写
3.向量的长度:即向量的大小(或称为模)
??? ? ? 记作 | AB | 或 | a |

? ? ? ? 讨论:已知 | a |?| b | ,是否有a ? b ? 1. 2)单位向量

4.两个特殊向量: 1)零向量

2.有两个大小非常特殊的向量,你能想到吗?

(1) 几何表示: 用有向线段表示; 有向线段的长度表示向量的大小
B(终点)

箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 代数表示:
A(起点)

i)用有向线段的起点与终点字母来表示; ??? ? 如:上述向量可表示为 AB ii)用小写字母来表示;

??? ? ? 思考:向量 AB 或 a 的长度(即大小)如何用符号来
表示?

? ? ? 如:, b, c…… a

两个特殊向量: 1、零向量:长度为 0 的向量。记作 0

规定: 0方向任意。
2、单位向量:长度为 1 个单位长度的向量。

讨论:平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量, 它们的终点构成的集合是什么图形?

有向线段的概念
一般地,在线段AB的两个端点
中,规定一个顺序,假设A为起 点,B为终点,我们就说线段 AB具有方向。
B(终点)

??? ? 具有方向的线段叫做有向线段,记作有向线段 AB
有向线段的三个要素:起点、方向、长度
??? ? ??? ? 辨析:能把有向线段 AB写成 BA吗?

A(起点)



注意:起点一定要写在终点的前面!

知识建构

? 二.向量的关系 ? b ? 1.平行向量: d c ?一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
? 规定:零向量与任一向量平行。 ? ? ? ? a ? 记 做:// b // c a

? a

b

? c

知识建构
2.相等向量: 长度相等且方向相同的向量叫做 ? ? 相等向量。记作:a ? d

? a 3.相反向量: 长度相等且方向相反的向量叫做 ?? C ? B ? 思考:单位向量和单位向量一定相等吗? ? 相反向量。记作: ? ?bc a ? ? d c AB ? DC ? a ? ? b ? d c

D 规定:零向量和零向量相等。 A

知识建构
4.共线向量与平行向量的关系
a,b,c为 共 线 向量

? ? ? a// b// c ? ? ?

? b ? c ?? ? bc a

? a

平行向量就是共线向量, 共线向量就是平行向量!
说明:我们所研究的向量为自由向量,只与大小 和方向有关,与有向线段的起点位置无关,有向线 段只是向量的一种几何表示!

知识建构
30秒后你将接受挑 1分钟后你将接受挑 你准备好了吗?! 战!
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量

向量
向量的关系 向平 量行 ( 共 线 ) 相 等 向 量

相 反 向 量

概念辨析
一、判断

温馨提示:
1.做题时要注意向量平行(共线)与直线平行、共线的区别 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定

?? ? ?? ? (1)若AB / /CD,则AB / /CD ;
(2)若AB / /CD,则AB / /CD; ? ? ? ? ? ? ( 3 ) a与 b共线, 与 c 共线,则 a与 c也共线; b
(4)模相等的两个平行向量是相等的向量;
??? ? ???

√ × × ×
C

(5)平行的向量,若起点不同,则终点一定不同

(6)共线向量一定在同一直线上;

A

B

× ×

二、选择 下列命题中正确的是

(D)

(A)向量的模是一个正实数;

? ? ? ? (B)若 a ? b,则 a ? b 或a ? b
(C)共线的向量,若起点不同,则终点一定 不同; (D)不平行的向量一定不相等;

知识应用
例1、如图设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中 与向量OA相等的向量。

请结合向量的两个要素: 大小、方向及平行(共线 )向量、相等向量、相反 向量、模相等的向量等相 关概念提出新的问题!

例2.在如图所示的向量 正方形的边长为1),是否存在:

? ? ? ? ? a ,b , ,d ,e c

中(小

(1)共线向量?
(3)相等向量?

(2)相反向量?
(4)模相等的向量?

若存在,分别写出这些向量.

? b

? a

? c

? d

? e

小结:
知识要点

向量
向量的概念 向量的关系 单 位 向 量 向平 量行 ( 共 线 ) 相 等 向 量

向 量 的 定 义

表 零 示 向 方 量 法

相 反 向 量

思考题.如图,以1 ?3方格中的格点为起点 和终点的所有向量中,有多少种大小不同的 模?有多少种不同的方向?


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