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辽宁省沈阳二中2013届高三数学上学期10月月考 理【会员独享】

沈阳二中 13 届(高三理)第二阶段测试 数学试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸上 第Ⅰ卷 (满分 60 分)

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
x?6 ? 0} ,则集合 A ? CR B ? x ?1

1.集合 A ? {x || x |? 4} ,集合 B ? {x | A、 (?4,1] B、 (?4,1)





C、 (1,4)

D、 [1,4) ( )

2.等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? a15 ? 12 ,则 a8 ? A、 2 B、3 C、 4 D、 6 3.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(

)

A.4 3 4. 设命题 p :m ?

B.8 3

C.12 3

D.24 3 )

1 2 , 命题 q : 一元二次方程 x ? x ? m ? 0 有实数解. ?p 是 q 的 则 ( 4
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件
?

5.向量 a ? (2,3) 在向量 b ? (3, ?4) 上的正射影的数量为

?





A、

6 13 13

B、 ?

6 13 13

C、

6 5

D、 ?

6 5
( )

6.函数 f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x 的单调减区间为 A、 [k? ?

?

6 7? ? C、 [2k? ? , 2k? ? ] , k ? Z 12 12

, k? ?

2? ] , k ?Z 3

B、 [k? ?

7? ? , k? ? ] , k ? Z 12 12 ? 5? D、 [k? ? , k? ? ],k ?Z 12 12

7.给出以下四个命题:

用心

爱心

专心

-1-

①若 ②若

,则 ,则



③若 a,b 全为零,则 ④ ,若 是奇数,则 x,y 中一个是奇数,一个是偶数. ( B、 ② 的逆命题为假 D、 ④的逆否命题为真 )

那么下列说法错误的是 A、 ①为假命题 C、 ③ 的否命题为真 8.已知函数 y= 1 ? x ?

x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则
2 C、 2

m 的值为 M





1 A、 4
9. 已知函数

1 B、 2

3 D、 2
在一个周期内的图象如图所示.则 ( )

的图象可由函数 y=cosx 的图象(纵坐标不变) A、 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位 B、 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 C、 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 D、 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 10.已知△ ABC 中 A ? B ,给出下列不等式: 个单位 个单位 个单位

(1)sin A ? sin B (2)cos A ? cos B (3)sin 2 A ? sin 2B (4)cos 2 A ? cos 2 B
正确的有 A.1 个 ( B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

?y≥x, ? 11.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
范 ( )

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值





A.(1,1+ 2)

B.(1+ 2,+∞)

C.(1,3)

D.(3,+∞)

12.一个盛满水的密闭三棱锥容器 S-ABC,不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D,E,F,且 知 SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的( ) 23 19 30 23 A. B. C. D. 29 27 31 27

用心

爱心

专心

-2-

第Ⅱ卷

(满分 90 分)

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.已知 sin(

?

1 ? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) ? _____________ 3 3 3
a n ?1
2 1 ? a n ?1

14.已知数 列 ?an ? 中, a1 =1,当 n ? N * , n ? 2 时, a n = 式 a n ? __________ 15.由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为 1 2 16.如图函数 F(x)=f(x)+ x 的图象在点 P 处的切线方程 5 是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=________.
2 3

,则数列 ?an ? 的通项公

17.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1 ? x) ? bx ? x ,其中 a 、 b 为常数,
2 3 2

f (1) ? 3 ,则 f (?1) =_________
18.定义一:对于一个函数 f (x) ( x ? D ) ,若存在两条距离为 d 的直线 y ? kx ? m1 和

y ? kx ? m2 ,使得在 x ? D 时, kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f (x) 在
D 内有一个宽度为 d 的通道。
定义二: 若一个函数 f (x) , 对于任意给定的正数 ? , 都存在一个实数 x 0 , 使得函数 f (x) 在 [ x0 , ? ?) 内有一个宽度为 ? 的通道,则称 f (x) 在正无穷处有永恒通道。 下列函数① f ( x) ? ln x ,② f ( x) ? ⑤ f ( x) ? e
?x

sin x 2 2 ,③ f ( x) ? x ? 1 ,④ f ( x) ? x , x

,其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_______________

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19. (本小题满分 12 分) ?ABC 中, A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , c sA = , 在 角 且o (1) 求 sin 2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

1 3

(2)若 a ?

3 ,求 bc 的最大值。

用心

爱心

专心

-3-

20. (本小题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1)已知梯形 ABCD 是直角梯形,按照斜二测画法 画 出 它 的 直 观 图 A' B 'C ' D ' 如 图 所 示 , 其 中 A ' D ' ? 2 , B ' C ' ? 4 , A ' B ' ? 1,求直角梯形以 BC 为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积。

y’ A’ O’(B’) D’ C’ x’

(2)定线段 AB 所在的直线与定平面 α 相交,P 为直线 AB 外的一点,且 P 不在 α 内,若直 线 AP、BP 与 α 分别交于 C、D 点,求证:不论 P 在什么位置,直线 CD 必过一定点.

21. (本小题满分 12 分)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后 墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米造价 45 元,屋顶每 平方米造价 20 元,试计算: (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?

22.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1an ?1 ? an an ?1 ? an 2 ? n ? N ? , n ? 2 ? , 且

an ?1 ? kn ? 1, an
an x n ?1 } 的前 n 项和。 (n ? 1)!

(1)求证: k ? 1 ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求数列 {

23.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x ? 1 ,
2

(1)求函数 h( x) ? f ( x) ?

1 g ( x) 的最值; 2
2

(2)对于一 切正数 x ,恒有 f ( x) ? k ( x ? 1) 成立,求 实数 k 的取值组成的集合。

用心

爱心

专心

-4-

沈阳二中 13 届(高三理)第二阶段测试 数学(理)参考答案 一.选择题: 1 2 A C 二.填空题: 13. 三.解答题: 19、解:(1)因为 , 3 A 4 A 5 D 6 D 7 A 8 C 9 B 10 C 11 A 12 D

14.

15.

1 12

16. -5

17.

18.○○○ 2 3 5

所以原式=

=

=

=

(2)由余弦定理得:

所以

所以当且仅当

时 取得最大值 .

20. 解: (1)由斜二测画法可知 AB=2,BC=4,AD=2 进而 DC= 2 2 , 旋转后形成的几何体的表面积

S ? ? AB 2 ? 2? AB ? AD ? 2? AB ? CD ? ? ? ? 22 ? 2? ? 2 ? 2 ? 2? ? 2 ? 2 2 ?

1 2

1 ? (12 ? 4 2)? 2

(2)设定线段 AB 所在直线为 l,与平面 α 交于 O 点,即 l∩α =O. 由题意可知,AP∩α =C,BP∩α =D,∴C∈α ,D∈α . 又∵AP∩BP=P. ∴AP、BP 可确定一平面 β 且 C∈β ,D∈β . ∴CD=α ∩β .∴A∈β ,B∈β .∴l? β .∴O∈β .∴O∈α ∩β ,即 O∈CD. ∴不论 P 在什么位置,直线 CD 必过一定点.

用心

爱心

专心

-5-

21: (1)设铁栅长 为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,则 S=xy, 由题意得 40x+2× 45y+20xy=3 200, 应用二元均值不等式,得 3 200≥2 40 x ? 90 y +20xy,即 S+6 S ≤160, 而( S +16) S -10)≤0. ( ∴ S ≤10 ? S≤100. 因此 S 的最大允许值是 100 米 . (2)当 ?
2

? xy ? 100 , [来源:学科网 ZXXK]即 x=15 米, ?40 x ? 90 y.

即铁栅的长为 15 米. 22、解: (1)?

an ?1 a ? kn ? 1 , 故 2 ? a2 ? k ? 1 , an a1
2

又因为 a1 ? 1, an ?1an ?1 ? an an ?1 ? an 则 a3 a1 ? a2 a1 ? a2 ,即
2

? n ? N? , n ? 2?

a3 a ? a2 ? 1, 又 3 ? 2k ? 1,? a2 ? 2k . a2 a2

所以 k ? 1 ? a2 ? 2k ,? k ? 1 . (2)

an ?1 a a a ? n ? 1, an ? n ? n ?1 ?????? 2 ? a1 = n ? ? n ? 1? ? ... ? 2 ?1 ? n ! an an ?1 an ?2 a1
因为 设其前 n 项和为 ,

(3)

所以,当 x ? 1 时, 当 x ? 1 时,

,

……… (1) ……(2 )

?1? ? x 得
由(1)-(2)得:

来源:学_科_网 Z_X_X_K]

用心

爱心

专心

-6-

综上所述:

23、解: (1)

所 以可知函数 所以

在(0,1)递增,在 .

递减。

的最大值为

(2) 令函数





时,

恒成立。所以 不满足题意。



递增,

故 x>1 时



时,当



恒成立,函数

递增;





恒成立 ,函数

递减。

所以

;即

的最大值



,则

[来源:学科网]

令函数

,

所以当 所以函数

时,函数 ,

递减;当

时,函数

递增;

用心

爱心

专心

-7-

从而

就必须当 综上错误!未找到引用源。 。

时成立。

用心

爱心

专心

-8-