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(教师用书)高中数学 第一章 常用逻辑用语章末归纳提升课件 新人教B版选修2-1_图文

命题的关系及其真假的判定 1.四种命题的形式和关系如下图: 因为互为逆否命题的两命题同真同假,所以讨论四种命 题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个,逆命题和否 命题中的一个,即只讨论两种就可以了,不必对四种命题形 式一一加以讨论. 2.对于命题“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”是用联结词 “或”、“且”、“非”联结命题“p”与“q”,“p”与“q”必须是 命题,“p”、“q”的真假决定“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”的 真假. 写出命题:“若 x-2 +(y+1)2=0,则 x=2 且 y=-1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假. 【思路点拨】 结合四种命题的概念写出其他命题,再 结合它们的相互关系进行真假的判断. 【规范解答】 原命题:若 x-2 +(y+1)2=0,则 x=2 且 y=-1,是真命题. 逆命题:若 x=2 且 y=-1,则 x-2 +(y+1)2=0,是 真命题. 否命题:若 x-2 +(y+1)2≠0,则 x≠2 或 y≠-1,是 真命题. 逆否命题:若 x≠2 或 y≠-1,则 x-2 +(y+1)2≠0, 是真命题. 5 (2012· 大连高二检测)已知命题 p: ?x0∈R, 使 sin x0= 2 , 命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0,给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题; ③命题“(綈 p)∨綈 q”是真命题; ④命题“p∧(綈 q)”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.③④ 【解析】 ) B.②④ D.①②③ 5 ∵ |sin x|≤1, >1, 2 5 ∴命题 p:?x0∈R,使 sin x0= 是假命题. 2 12 3 3 对?x∈R,x +x+1=(x+ ) + ≥ >0. 2 4 4 2 ∴命题 q 是真命题. 因此綈 p 为真,綈 q 为假, 故①②错误,③④正确. 【答案】 C 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件的判断 (1)直接利用定义判断: 即“若 p?q 成立, 则 p 是 q 的充 分条件,q 是 p 的必要条件”.(条件与结论是相对的) (2) 利用等价命题的关系判断:“p ? q”的等价命题是 “綈 q?綈 p”,即“若綈 q?綈 p 成立,则 p 是 q 的充分条 件,q 是 p 的必要条件”. 2.充分条件、必要条件和充要条件的应用 此类问题是指根据已知条件是结论的充分但不必要条 件、必要但不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或 范围,涉及的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列 不等式(组)求解. x-2 已知全集 U=R, 非空集合 A={x| <0}, x-3a-1 x-a2-2 B={x| <0}. x-a 1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件, 求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】 化简 A、B 集合,由已知得 A B,解不 等式组求出 a 的取值范围,注意分类讨论. 1 【规范解答】 (1)当 a=2时, ? ?x|x-2 <0? ? 5 A=? 5 ?={x|2<x< }, 2 x- 2 ? ? ? ? 9 ? ? ? x-4 ? 1 9 B=?x| 1<0?={x|2<x<4}, ? x- ? 2 ? ? 1 9 ∴?UB={x|x≤2或 x≥4}. 9 5 ∴(?UB)∩A={x|4≤x< 2}. (2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}. ①当 3a+1>2, 1 即 a>3时,A={x|2<x<3a+1}. ∵q 是 p 的必要条件, ∴A ?a≤2, ? B.∴? 2 ? 3 a + 1 ≤ a +2, ? 3- 5 1 即3<a≤ 2 . 1 ②当 3a+1=2,即 a=3时,A=?,不符合题意. 1 ③当 3a+1<2,即 a< 时, 3 A={x|3a+1<x<2}, 由A B ? ?a≤3a+1, 得? 2 ? ?a +2≥2, 1 1 ∴- ≤a< . 2 3 1 1 1 3- 5 综上所述:a 的取值范围为[-2,3)∪(3, 2 ]. 已知 p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若 p 是 q 的充分而不必要条件,求正实数 a 的取值范围. 【解】 A={x|x2-8x-20>0}={x|x<-2 或 x>10}, B={x|x2-2x+1-a2>0}={x|x<1-a 或 x>1+a}. 由于 p 是 q 的充分而不必要条件,可知 A B, ?a>0, ? 从而?1-a≥-2, ?1+a<10, ? ?a>0, ? 或?1-a>-2, ?1+a≤10, ? 解得 0<a≤3. 故所求正实数 a 的取值范围为(0,3]. 全称命题与存在性命题 1.全称命题与存在性命题真假的判断方法 (1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判 断全称命题为假命题,只需举出反例. (2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称 命题为假命题时,要有严格的逻辑证明. 2.含有一个量词的命题否定的关注点 全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全 称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论. (2013· 安庆高二检测)已知命题 p:?x∈R,mx2 +1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0,若 p∧q 为真命题, 则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-2) C.(-2,0) ) B.[-2,0) D.(0,2) 【思路点拨】 由 p∧q 为真命题,知特称命题 p 是真命 题,全称命题也是真命题,分别求出 m 满足的条件,问题可 解. 【解析】 ∵p∧q 为真命题, ∴命题 p 和命题 q 均为真命题, 若 p 真,则 m<0, 若 q 真,则 Δ=m2-4<0,∴-2<m<2. ∴p∧q 为真,由①②知-