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新疆2011年高考备考数学基础知识训练(16)


高考数学基础知识训练( ) 备考 2011 高考数学基础知识训练(16)
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 复数 z=(m-1)i+ m -1 是纯虚数,则实数 m 的值是
2



uuu uuur uuu uuu r r r 2. 化简: AB + DF + CD + BC =



[来源:学科网 ZXXK][来源:学科网 ZXXK]

?2 x ? 1,x < 1, ? 3. 设 f ( x) = ? 1 则 f(f(2) )的值是 ? x ,x ≥1, ?



4. 若数列{an}的通项公式 an=

1 ,记 f (n) = 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ,试通过计算 (n + 1) 2

f (1) , f (2) , f (3) 的值,推测出 f (n) =



5. 函数 y=cosx 的图象在点( [来源:学科网] 6 .

π 1 , )处的切线方程是 3 2



已 知 α , β 均 为 锐 角 , 且 sin α ? sin β = ? . [来源:Zxxk.Com]

1 1 , cos α ? cos β = , 则 2 3

cos(α ? β ) =

7. 估测函数 f(x)= e ?
x

1 1 的零点所在区间是_________(要求区间长度 ≤ ,e ≈ 2.71) x 4

8. 某海域上有 A,B,C 三个小岛,已知 A,B 之间相距 8 n mile,A,C 之间相距 5 n mile, 在 A 岛测得∠BAC 为 60°,则 B 岛与 C 岛相距 n mile.

9.函数 f ( x) = log 1 (3 ? 2 x ? x ) 的单调递增区间是
2 2



10.若经过点 P(-1,0)的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y + 3 = 0 相切,则这条直线在 y 轴上的 截距是 .

11.集合 A= x x < 2 ,B= x x ? 5 x ? 6 < 0 ,则 A∩B=
2

{

}

{

}



12.当 x > 1 时,不等式 x +

1 ≥ a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1



13.下列各函数: ①y= x+
1 x

② y = sin x +

1 π x2 + 3 4 , x ∈ 0, ) ③ y = ( ④ y = ex + x ? 2 2 sin x 2 e x +2 . (写出符合的所有函数的序号)

其中最小值为 2 的函数有

?x ≥ 1 ? 2 2 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y + 1 ≤ 0 , 则x + y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = x + 2 x ,函数 g ( x ) 与 f ( x ) 的图象关于原点对称.
2

(1)求函数 g ( x ) 的解析式; (2)解不等式 g ( x ) ≥ f ( x ) ? x ? 1 .

, 16. (本题满分 14 分)已知向量 a=(3sinα,cosα) b=(2sinα, 5sinα-4cosα),α 3π ∈( , ) 2π ,且 a⊥b. 2
(1)求 tanα的值; (2)求 cos(

α
2

+

π )的值. 3

17. (本题满分 14 分)已知双曲线过点(3,-2) ,且与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.

[来源:学.科.网]

18. (本题满分 16 分) 已知各项均为正数的等差数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an +5an +6;等比数列{bn}满足 b1=a1,b2=a3,b3=a15;数列{cn}满足 cn=anbn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

2

19. (本题满分 16 分)国际上常用恩格尔系数(记作 n)来衡量一个国家和地区人民生活水 平的状况,它的计算公式为: n = 所示: 家庭类型 n 贫困 n>60% 温饱 50%<n≤60% 小康 富裕 最富裕 n≤30% 40%<n≤50%[来 30%<n≤40%

食品消费支出总额 × 100% ,各种类型家庭的 n 如下表 消费支出总额

源 :Z 。 xx 。 k.Com] 根据某市城区家庭抽样调查统计,2003 年初至 2007 年底期间,每户家庭消费支出总额 每年平均增加 720 元,其中食品消费支出总额每年平 均增加 120 元; (1)若 2002 年底该市城区家庭刚达到小康,且该年每户家庭消费支出总额 9600 元 , 问 2007 年底能否达到富裕?请说明理由; (2)若 2007 年比 2002 年的消费支出总额增加 36%,其中食品消费支出总额增加 12%, 问从哪一年底起能达到 富裕?请说明理由.

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = x3 + ax 2 ? 2 x + 5 . (1)若函数 (x) f 在(
2 ,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,求实数 a 的值; 3

1 1 f 在( , )上既不是单调递增函数也不是 单调递 (2)是否存在正整数 a,使得 (x) 3 2 减函数?若存在,试求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.-1 uuur 2. AF 3.0 4.
n+2 n +1 3 1 3π x? ? =0 2 2 6

5. y + 6.
59 72

7. (0.5,0.75)不唯一 8.7 9. [?1,1) 10.1

11. (-1,2) 12. a ≤ 3 ; 13.④ 14.5 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. [来源:Zxxk.Com] 15.解: (1)设 g (x ) 任一点 P ( x0 , y 0 ) ,其关于原点对称点 P ′( ? x0 ,? y0 ) 在 f (x) 图象上, 则

? y 0 = (? x0 ) 2 + 2(? x0 ) ,即 y0 = ? x0 + 2x0
2

……………..4 分 ……………..7 分

∴ g ( x) = ? x 2 + 2 x
(2)Q g ( x ) ≥ f ( x ) ? x ? 1

∴ ? x 2 + 2 x ≥ x 2 + 2 x ? | x | ?1 ,

……………..9 分

2 化简得 2 | x | ? | x | ?1 ≤ 0 ,即 (2 | x | +1)(| x | ?1) ≤ 0 …………11 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ≤ x ≤ 1}

………………14 分

[来源:学科网 ZXXK] 16. 解: (1)∵a⊥b,∴a·b=0. , 而 a=(3sinα,cosα) b=(2sinα, 5sinα-4cosα),[来源:Z|xx|k.Com] 2 2 故 a·b=6sin α+5sinαcosα-4cos α =0.…… …………………………2 分 2 由于 cosα≠0,∴6tan α+5tanα-4 =0.

4 1 ,或 tanα= .………………………………………6 分 3 2 1 4 3π ∵α∈( , ) 2π ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- .………7 分 2 2 3 α 3π 3π (2)∵α∈( , ) 2π ,∴ ∈ ( ,π) . 2 2 4 4 α 1 α 由 tanα=- ,求得 tan = ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2 α 5 α 2 5 ∴ sin = , cos = ? ,………………………………………………12 分 2 5 2 5 α π α π α π cos( + )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3
解之,得 tanα=-
=?

2 5 1 5 3 2 5 + 15 × ? × =? . …………………………14 分 5 2 5 2 10

17. 解: (1)由题意,椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 的焦点为( ± 5, 0 ) ,……………… …2 分 即 c= 5 ,∴ 设所求双曲线的方程为

x2 y2 ? = 1 .…………………… 4 分 a2 5 ? a2

∵双曲线过点(3,-2) ,∴

9 4 ? =1. 2 a 5 ? a2

∴ a 2 = 3 ,或 a 2 = 15 (舍去) ……………………………………………7 分 . 2 x y2 = 1 .…………………………………………8 分 ∴所求双曲线的方程为 ? 3 2 3 (2)由(1) ,可知双曲线的右准线为 x = . 5 6 ( ,则 p = . ………………12 分 设所求抛物线的 标准方程为 y 2 = ?2 px p > 0) 5
∴所求抛物线的标准方程为 y 2 = ?
2

12 5 x . …………………………………14 分 5
2

18. 解(1)∵10Sn=an +5an+6, ① ∴10a1=a1 +5a1+6.[来源:学科网] 解之,得 a1=2,或 a1=3.………………………………………………………2 分 2 又 10S n-1=an-1 +5an-1+6(n≥2) ② , 2 2 由①-②,得 10an=(an -an-1 )+6(an-an-1) ,即(a n+an-1) an-an-1-5)=0. ( .…………………………………………5 分 ∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2) 当 a1=3 时,a3=13,a15=73.a1, a3,a15 不成等比数列,∴a1≠3. 2 当 a1=2 时,a3=12,a15=72,有 a3 =a1a15.………………… …………………7 分 n-1 ∴数列{bn}是以 6 为公比,2 为首项的等比数列,bn=2×6 . ……………9 分 n-1 (2)由(1)知,an=5n-3 ,cn=2(5n-3)6 . 2 n-1 ∴Tn=2[2+7×6+12×6 +…+(5n-3)6 ], ………………………11 分 2 3 n 6 Tn=2[2×6+7×6 +12×6 +…+(5n-3)6 ], 2 n-1 n ∴-5 Tn=2[5×6+5×6 +…+5×6 ] +4-2(5n-3)6 ………………13 分 = 10 × 6(1 ? 6n?1 ) n n +4-2(5n-3)6 =(8-10n)6 -8. 1? 6

T n= ?

8 5

(8 ? 10n)6n .……………………………………………………………16 分 5

19.解: (1)因为 2002 年底刚达到小康,所以 n=50% …………2 分 且 2002 年每户家庭消费支出总额为 9600 元, 故食品消费支出总 额为 9600×50%=4800 元 …………4 分 则 n 2007 =

4800 + 5 × 120 5400 = ≈ 41% > 40% ,即 2007 年底能达到富裕 9600 + 5 × 720 13200
…………8 分

(2)设 2002 年的消费支出总额为 a 元,则 a + 5 × 720 = a (1 + 36%), 从而求得 a = 10000 元, …………10 分 又设其中食品消费支出总额为 b元, 则b + 5 × 120 = b(1 + 12%), 从而求得 b = 5000 元 …………12 分

当恩格尔系数为 30% < n ≤ 40%时, 有30% < 解得 5.95 ≤ x < 20.8. …………14 分

5000 + 120 x ≤ 40% , 10000 + 720 x

则 6 年后即 2008 年底起达到富裕 …………16 分

20. 解 (1)∵ f ( x ) = x3 + ax 2 ? 2 x + 5 在( ∴f′(x)=3x +2ax-2,
2

2 ,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 3

……………………………………………2 分

1 f′(1)=0,∴a=- . ………………… …………………………6 分 2 2 (2)令 f′(x)=3x +2ax-2=0. 2 ∵△=4a +24>0,∴方程有两个实根,……………………………… ……8 分
分别记为 x1 x2.由于 x1·x2=- 即在(
2 ,说明 x1,x2 一正一负, 3

2 ,1)内方程 f′(x)=0 不可能有两个解.……………………10 分 3

1 1 故要使得 (x) f 在( , )上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是 3 2

1 1 1 2 3 f′( )·f′( )<0,即( + a-2) +a-2)<0.…………… 13 分 ( 3 3 3 4 2
解得
5 5 < a < . …………………………………………………………………15 分 4 2

∵a 是正整数,∴a=2.…………………………………………………………16 分


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