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陕西师大附中2012—2013学年度第一学期期中考试高一年级数学试题附答案[好6页]


陕西师大附中 2012—2013 学年度第一学期 期中考试高一年级数学试题附答案
一、选择题(本题共12小题,每题4分,共48分) 1.设全集 U ? R ,集合 M ? {x | x ? 1} , P ? {x | x2 ? 1},则下列关系中正确 的是( ) (B) P ? M ? (C) ?U (M ? P) ? ? ) (D) M ? P ?

(A) M ? P

2.下列四个函数中,在 (0, ? ?) 上是增函数的是(
1 (B) f ( x) ? x2 ? 3x x ?1 3.下面的函数中是幂函数的是( )

(A) f ( x ) ? ?

(C) f ( x) ? 3 ? x (D) f ( x) ? ? x

① y ? x2 ? 2 ;② y ? x 2 ;③ y ? 2x3 ;④ y ? x 4 ;⑤ y ? x 3 ? 1 . (A)①⑤ (B)①②③ (C)②④ (D)②③⑤ )

1

3

1

4.若函数 y ? a x ? 2 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像恒过点 P ,则点 P 为( (A) (3, 0) (B) (?1, 0) (C) (0, 3) (D) (0, ? 1) )

5.函数 f ( x) ? loga x (a ? 0 且 a ? 1) 对任意正实数 x, y 都有( (A) f ( xy) ? f ( x) f ( y) (C) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) (B) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

(D) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

6.国内快递 1000 g 以内的包裹的邮资标准如下表: 运送距离 x ( km ) 邮资 y (元) 0< x ≤500 5.00 500< x ≤1000 6.00 1000< x ≤1500 7.00 … …

如果某人在西安要快递 800 g 的包裹到距西安 1200 km 的某地,那 么他应付的邮资是( (A)5.00 元 ) (C)7.00 元 (D)8.00 元 )
1/6

(B)6.00 元

7.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 3a) 在区间 [2, ??) 上递增,则实数 a 的取值范围是(

(A) (??, 4)

(B) (?4, 4]

(C) (??, ?4) ? [2, ??)

(D) [?4, 2)

8.若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,则以下结 论中正确的是( ) (B) f (?2) ? f (5) ? f (0) (D) f (0) ? f (5) ? f (?2) )

(A) f (0) ? f (?2) ? f (5) (C) f (?2) ? f (0) ? f (5)

?a x ( x ? 0), 9.已知函数 f ( x) ? ? 是减函数,则 a 的取值范围是( (a ? 3) x ? 4a( x ? 0) ?
1 (A) (0, ] 4

(B) (0,1)

1 (C) [ ,1) 4

(D) (0,3)

10.把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个 正三角形面积之和的最小值为( (A) 3cm2 (B) 2 3cm2 ) (C) 3 2cm2 (D) 4cm 2

11.已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? x2 ? a x ,当 x ? (?1,1) 时,均有 f ( x) ? 1 ,则实 2 数 a 的取值范围是( (A) (0, 1 ] ? [2, ? ?) 2 (C) (0, 1 ] ? [4, ? ?) 4 ) (B) [ 1 ,1) ? (1, 4] 4 (D) [ 1 ,1) ? (1, 2] 2

12.若函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 在 (??, ? ?) 上既是奇函数又是增 函数,则函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分) 13.比较大小: log2 0.3 _________ 2 0.3 .

?log 2 ( x ? 2), x ? 0 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? x , f (a) ? 2 ,则 a ? _________. ? x ?1, x ? 0 ?
2/6

15.在用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,现在已经将一根锁 定在 (1, 2) 内,则下一步可断定该根所在的区间为_________. 16.下列几个命题: ①若方程 x2 ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ②函数 y ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数; ③函数 f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] ; ④设函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,则函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图像关 于 y 轴对称; ⑤一条曲线 y ?| 3 ? x2 | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m ,则 m 的值 不可能是 1. 其中正确的有_________.

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陕西师大附中 2012—2013 学年度第一学期 期中考试高一年级数学试题参考答案
一、选择题(本题共12小题,每题4分,共48分) 题号 答案 题号 答案 1 D 2 A 13 3 C 4 D 5 B 14 -2或2 6 C 7 B 8 A 15
(1.5, 2)

9 A

10 B

11 D 16 ①⑤

12 C

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分)

?

三、解答题(17,18题每题10分,19,20,21题每题12分,共56分) 17.已知集合 A ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} , B ? {x | x2 ? cx ? 15 ? 0} ,
A ? B ? {3, 5} , A ? B ? {3} ,求实数 a , b , c 的值.

解:∵ A ? B ? {3} ,∴ 9 ? 3a ? b ? 0 , 9 ? 3c ? 15 ? 0 .故 c ? ?8 .
x 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,故 A ? {3} .故 ? ? a 2 ? 4b ? 0 ,即 a ? ?6 , b ? 9 .

18.(Ⅰ)计算: 0.064

?

1 3

5 1 0 log7 2 ? (? ) ? 7 ? 0.25 2 ? 0.5?4 ; 8

(Ⅱ)已知 a ? lg 2 , 10b ? 3 ,用 a , b 表示 log6 30 . 解: (Ⅰ)原式 ?
10 1 1 5 1 ? 1 ? 2 ? ( )5 ? ( ) ?4 ? ? 1 ? ? 4 . 4 2 2 2 2
4/6

(Ⅱ)∵ 10b ? 3 ,∴ b ? lg3 ,
1 1 ∴ log 6 30 ? log 6 30 ? (1 ? log 6 5) 2 2

1 lg 5 1 1 ? lg 2 1 1? a b ?1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )? 2 lg 6 2 lg 2 ? lg 3 2 a?b 2(a ? b)

19.已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x) , g ( x) ? lg(2 ? x) ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求函数 h( x) 的定义域及值域; (Ⅱ)判断函数 h( x) 的奇偶性,并说明理由.

?2 ? x ? 0 解: (Ⅰ)由 ? 得 ?2 ? x ? 2 . ?2 ? x ? 0
所以函数 h( x) 的定义域是 {x | ?2 ? x ? 2} .

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? lg(4 ? x2 ) .

?2 ? x ? 2 ,∴ 0 ? 4 ? x 2 ? 4 ,

∴ lg(4 ? x2 ) ? 2lg 2 ,所以函数 h( x) 的值域是 (??, 2lg 2] . (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数 h( x) 的定义域 {x | ?2 ? x ? 2} 关于原点对称, 且 h(? x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) ? h( x) ,∴ h( x) 是偶函数. 20.销售甲、乙两种商品所得利润分别是 P (万元)和 Q (万元),它们 与投入资金 t (万元)的关系有经验公式 P ?
3 1 t , Q ? t .今将 3 5 5

万元资金投入经营甲、乙两种商品,其中对甲种商品投资 x (万 元).求: (Ⅰ)经营甲、乙两种商品的总利润 y (万元)关于 x 的函数表达式; (Ⅱ)怎样将资金分配给甲、乙两种商品,能使得总利润 y 达到最 大值,最大值是多少?
3 1 x ? (3 ? x) , x ? [0, 3] . 5 5 3 1 1 3 21 x ? (3 ? x) ? ? ( x ? ) 2 ? . (Ⅱ) y ? 5 5 5 2 20

解: (Ⅰ)根据题意,得 y ?

5/6

3 3 9 3 21 ? [0, 3] ,∴ 当 x ? 时,即 x ? , 3 ? x ? 时, ymax ? . 2 2 4 4 20 9 3 即给甲、乙两种商品分别投资 万元、 万元可使总利润达到最 4 4 21 大值 万元. 20



21.已知 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 a, b ?[?1,1] ,且 a ? b ? 0 时,
f (a ) ? f (b) ? 0. a?b

(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的单调性,并给予证明; (Ⅱ)若 f (1) ? 1, f ( x) ? m2 ? 2bm ? 1 对所有 x ?[?1,1], b ?[?1,1] 恒成 立,求实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)证明:对任意的 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则
f ( x1 ) ? f (? x2 ) ?0. x1 ? x2

∵ x1 ? x2 ? 0 , f ( x) 是奇函数,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∵ x1 ? x2 ,∴ f ( x) 是增函数. (Ⅱ)∵ f ( x) 是增函数, 则 f ( x) ? m2 ? 2bm ? 1 对所有 x ?[?1,1], b ?[?1,1] 恒成立, 等价于 f ( x)max ? m2 ? 2bm ? 1 对所有 b ?[?1,1] 恒成立, 等价于 f (1) ? m2 ? 2bm ? 1 对所有 b ?[?1,1] 恒成立, 等价于 m2 ? 2bm ? 0 对所有 b ?[?1,1] 恒成立,
??2m ? (?1) ? m 2 ? 0 ? 等价于 ? , 2 ??2m ?1 ? m ? 0 ?

等价于 m ? ?2 ,或 m ? 0 ,或 m ? 2 .
? ? ∴ m 的取值范围是 (??, 2] ? {0} ? [2, ?) .

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