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13.6(2) 实系数一元二次方程(大同)


实系数一元二次方程(2)

知识回顾

实系数一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在复数集内的根

? b ? b ? 4ac 当? ? 0时, x ? 2a b 当? ? 0时, x1 ? x2 ? ? 2a
2

? b ? 4ac ? b 2 i 当? ? 0时, x ? 2a

讲解新课

实系数一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

b ? ? x1 ? x2 ? ? a 当? ? 0时, ? c ? x1 ? x2 ? a ?

? b ? 4ac ? b i ? b ? 4ac ? b i 当? ? 0时, x1 ? , x2 ? 2a 2a
2 2

b c x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? , 根与系数的关系仍成立 a a

应用举例

例1、已知 ? 2 ? 3i是方程2 x 2 ? px ? q ? 0的一个根, 求实数p、q的值。
解:实系数方程2 x 2 ? px ? q ? 0在复数集中 有两个共轭虚根x1 ? ?2 ? 3i, x2 ? ?2 ? 3i
p ? ? x1 ? x2 ? (?2 ? 3i ) ? (?2 ? 3i ) ? ?4 ? ? 2 由根与系数的关系: ? q ? x1 ? x2 ? (?2 ? 3i ) ? (?2 ? 3i ) ? 4 ? 9 ? ? 2

? p ?8 ?? ?q ? 26

1、已知方程x ? px ? p ? 2 p ? 0( p ? R)有一个
2 2

模为1的虚根, 求实数p的值。

例2、已知方程x ? px ? 1 ? 0( p ? R)的两根为x1、x2,
2

若 | x1 ? x2 |? 1, 求实数p的值。
设一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的两根为x1 , x2

?b? ? ?b? ? ? ? ? 0时,x1 ? x2 |?| | ? |? 2a 2a |a|

?b? ?? i ?b? ?? i ?? ? ? 0时,x1 ? x2 |?| | ? |? 2a 2a |a|

|?| 综上:x1 ? x2 |? | |a|

2、已知方程x 2 ? 4 x ? p ? 0( p ? R)的两根为x1、x2, 若 | x1 ? x2 |? 2, 求实数p的值。

应用举例

例3、已知方程x ? px ? 1 ? 0( p ? R)的两根为x1、x2,
2

若 | x1 | ? | x2 |? 3, 求实数p的值。

思考
已知方程x 2 ? 2 x ? t ? 0(t ? R)的两根为x1、x2, 若定义 | x1 | ? | x2 |? f (t ), 求函数f (t )的解析式。

课堂小结

一. 数学方法:
在复数集范围内实系数一元二次方程的 根与系数的关系仍成立

二. 数学思想: 分类讨论

作业布置

必做题 练习册P59第5题,P60第6、7题 ? 选做题 练习册P61第5题
?


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