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江西省南昌三中2013届高三第三次模拟测试数学文试题(WORD解析版)


2013 年江西省南昌三中高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 2 1. (5 分) (2012?西区一模)集合 P={x∈Z|0≤x<2},M{x∈Z|x ≤4},则 P∩ M 等于( ) A.{1} B.{0,1} C.[0,2) D.[0,2] 考点:交集及其运算. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:先化简集合 P,M,再求 P∩ M 即可. 2 解答:解:∵ P={x∈Z|0≤x<2}={0,1},M{x∈Z|x ≤4}={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴ P∩ M={0,1} 故选 B. 点评:本题考查集合的运算,考查学生的计算能力,属于基础题.

2. (5 分)i 是虚数单位, A.i B.﹣i

等于(

) C.1 D.﹣1

考点:复数代数形式的混合运算. 专题:计算题. 分析:复数的分子、分母分别化简,可得选项. 解答: 解: = =﹣1; 故选 D. 点评:本题考查复数的基本运算,考查计算能力,注意 i 的幂运算. 3. (5 分) (2012?保定一模)已知等比数列{an}中有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 a7=b7,则 b5+b9=( ) A.2 B.4 C.8 D.16 考点:等差数列的性质;等比数列的性质. 专题:计算题. 分析:由 a3a11=4a7,解出 a7 的值,由 b5+b9=2b7 =2a7 求的结果. 解答:解:等比数列{an}中,由 a3a11=4a7,可知 a72=4a7,∴ a7=4, ∵ 数列{bn}是等差数列,∴ b5+b9=2b7 =2a7 =8, 故选 C. 点评:本题考查等差数列、等比数列的性质,求出 a7 的值,是解题的关键. 4. (5 分) 某程序的框图如图所示, 执行该程序, 若输入的 P 为 24, 则输出的 n, S 的值分别为 ( )

A.n=4,S=30

B.n=4,S=45

C.n=5,S=30

D.n=5,S=45

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:由已知中的程序框图及已知中输入 24,可得:进入循环的条件为 S<24,即 S=0,1,2,3, 模拟程序的运行结果,即可得到输出的 n,S 值. 解答:解:开始 S=0 时, S=0+3=3,n=2; S=3+6=9,n=3; S=9+9=18,n=4; S=18+12=30,n=5; 此时 S>24,退出循环,故最后输出的 n,S 的值分别为 n=5,S=30. 故选 C. 点评:本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程 序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.

5. (5 分) (2012?山东)已知双曲线 C1:

的离心率为 2.若抛物线 )

的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( A. B. 2 x= y C.x2=8y D.x2=16y

考点:抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:利用双曲线的离心率推出 a,b 的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距离求出 p, 即可得到抛物线的方程. 解答: 解:双曲线 C1: 的离心率为 2.

所以

,即:

=4,所以

;双曲线的渐近线方程为:

抛物线

的焦点(0, )到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,

所以 2=
2

,因为

,所以 p=8.

抛物线 C2 的方程为 x =16y. 故选 D. 点评:本题考查抛物线的简单性质,点到直线的距离公式,双曲线的简单性质,考查计算能力.

6. (5 分)等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,∠ B=30°,P 为 BC 边中线上任意一点,则 为( A. ) B. C.5 D.

的值

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析: 以 C 为原点,BC 所在直线为 x 轴,建立如图坐标系,可得向量 量数量积的坐标运算公式,即可算出 的值.



的坐标,结合平面向

解答:解:∵ 等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,∠ B=30°, ∴ BC= AB=5 ,AD=

以 C 为原点,BC 所在直线为 x 轴,建立如图坐标系 可得 B(﹣5 ∴ =(﹣ 可得 故选:D ,0) ,P(﹣ ,t) , =﹣ ×5 =(5 ,t) ,其中 0<t< ,0)

+t×0=﹣

点评:本题在底角为 30 度的等腰三角形中,求两个向量的数量积,着重考查了平面向量数量积的定 义与坐标运算公式等知识,属于基础题. 7. (5 分) (2011?安徽模拟)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这 个几何体的体积为( )

A.

B.(4+π)

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:几何体是一个组合体,是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体,圆柱的底面直径和母线 长都是 2,四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形,做出圆锥的高,根据圆锥和圆柱的体积 公式得到结果. 解答:解:由三视图知,几何体是一个组合体, 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, 圆柱的底面直径和母线长都是 2, 四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形, 四棱锥的高与圆锥的高相同,高是 ∴ 几何体的体积是 = , = ,

故选 D. 点评:本题考查由三视图求组合体的体积,考查由三视图还原直观图,本题的三视图比较特殊,不 容易看出直观图,需要仔细观察. 8. (5 分)已知函数 y=g(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,g(x)=log2x,函数 f(x)=4 2 ﹣x ,则函数 f(x)?g(x)的大致图象为( ) A. B. C. D.

考点:函数的图象. 专题:阅读型. 分析:先根据奇函数的图象性质判断图象的对称性,再根据函数值的变化规律判断 x>0 时的情况, 从而确定答案. 解答:解:根据奇函数的图象关于原点对称,故选项 A、B 错误; 又∵ x>0 时,g(x)=log2x,x>1 时,g(x)>0;0<x<1 时,g(x)<0, 2 f(x)=4﹣x ,x>2 时,f(x)<0;0<x<2 时,f(x)>0,故 C 选项错误,D 选项正确. 故选 D. 点评:本题考查寄偶函数的图象与性质,及数形结合思想.

9. (5 分)已知函数 f(x)= 间(1,2)内取得极小值,则 A. ( ,2) B. ( ,4)

(a,b,c∈R)在区间(0,1)内取得极大值在区 的取值范围为( C.(1,2) ) D.(1,4)

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:先求导函数,由已知得到 a,b 的取值范围,再由线性规划得到所求值即可. 解答: 2 解:由于 ,则 f’(x)=x +ax+2b 又由函数 f(x)在区间(0,1)内取得极大值在区间(1,2)内取得极小值,



亦即

得到可行域如下图所示,

则 B(﹣2,0) ,C(﹣1,0) ,A(﹣3,1) 又由 故 表示阴影部分内的点(﹣3,0)点的距离, 的取值范围是( ,2)

故答案为 A. 点评:本题考查线性规划问题与导数在研究函数极值的应用,属于基础题. 10. (5 分)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1、F2 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当∠ F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的 离心率是( ) A. B. C. D.2

考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.

专题:压轴题;新定义;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析:设 F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,由余弦定理 4c =m +n ﹣mn,设 a1 是椭圆的长半轴,a1 是双曲 线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得 m+n=2a1,m﹣n=2a1,由此能求出结果. 解答:解:设 F1P=m,F2P=n,F1F2=2c, 2 2 2 由余弦定理得(2c) =m +n ﹣2mncos60°, 2 2 2 即 4c =m +n ﹣mn, 设 a1 是椭圆的实半轴,a2 是双曲线的实半轴, 由椭圆及双曲线定义,得 m+n=2a1,m﹣n=2a2, ∴ m=a1+a2,n=a1﹣a2, 将它们及离心率互为倒数关系代入前式得 a1 ﹣4a1a2+
2

=0,

a1=3a2,e1?e2=

?

=

=1,

解得 e2= . 故选 A. 点评:本题考查双曲线和椭圆的简单性质,解题时要认真审题,注意正确理解“相关曲线”的概念. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11. (5 分)已知向量 , 与 垂直,| |= 2 .

考点:平面向量数量积坐标表示的应用. 专题:计算题. 分析:由两个向量垂直可得他们的数量积等于 0,利用两个向量的坐标运算法则,求出这两个向量 的坐标,代入数量积 公式,解出 n ,从而得到| |. 解答: 解:∵ 向量
2 2 2



与 垂直,∴ ( =2,

)? =0,

∴ (3,n)?(﹣1,n)=﹣3+n =0,∴ n =3,∴ | |=

故答案为:2. 点评:本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运算.

12. (5 分)若函数

,则函数 f(x)的零点为

1、0 .

考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. x 分析:当 x>0 时,由 log2x=0,求得 x 的值.当 x≤0 时,由﹣2 +1=0,求得 x 的值.从而得到函数 的零点.

解答:解:当 x>0 时,由 log2x=0,可得 x=1. x 当 x≤0 时,由﹣2 +1=0,可得 x=0. 综上,函数 f(x)的零点为 1、0, 故答案为 1、0. 点评:本题主要考查函数零点的定义和求法,属于基础题.

13. (5 分)实数对(x,y)满足不等式组

,则目标函数 z=kx﹣y 当且仅当 x=3,y=1

时取最大值,则 k 的取值范围是 (﹣ ,1) .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部.将目标函数 z=kx﹣y 对应的 直线进行平移,当且仅当 l 经过点 C(3,1)时目标函数 z 达到最大值,由此观察直线斜率的 范围结合斜率计算公式,即可得到 l 斜率 k 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组 ,表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(1,2) ,B(4,2) ,C(3,1) 设 z=F(x,y)=kx﹣y,将直线 l:z=kx﹣y 进行平移, 可得直线在 y 轴上的截距为﹣z,因此直线在 y 轴上截距最小时目标函数 z 达到最大值 ∵ 当且仅当 l 经过点 C(3,1)时,目标函数 z 达到最大值 ∴ 直线 l 的斜率应介于直线 AC 斜率与直线 BC 斜率之间, ∵ kAC= =﹣ ,kBC= =1

∴ k 的取值范围是(﹣ ,1) 故答案为: (﹣ ,1) .

点评:本题给出二元一次不等式组,讨论目标函数 z=kx﹣y 的最大值有唯一最优解的问题,着重考 查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

14. (5 分)在区间[2,5]和[2,4]分别取一个数,记为 a,b 则方程

=1(a>0,b>0)表示焦

点在 x 轴上的椭圆的概率为



考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出方程

=1(a>0,b>0)表示焦点

在 x 轴上的椭圆时(a,b)点对应的平面图形的面积大小和区间[2,5]和[2,4]分别各取一个 数(a,b)点对应的平面图形的面积大小,并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解. 解答: 解:若方程 =1(a>0,b>0)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 a>b>0, 它对应的平面区域如下图中阴影部分所示: 则方程 故答案为: . =1 (a>0, b>0) 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率 P= = = ,

点评:几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何 度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件 对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P=N(A)/N 求解. 15. (5 分)已知数列{an}中 a1=1,a2=2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn﹣1=2 (Sn+S1)都成立,则数列{ }的前 n 项和为 .

考 数列的求和.

点: 专 压轴题;等差数列与等比数列. 题: 分 首先要由前 n 项和的关系式得到数列的递推公式,进而得到数列的通项公式,再由数列求和的 析:裂项法即可得到正确结论. 解 解:由于 a1=1,a2=2,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+S1)都成立, 答:所以 S1=a1=1,S2=3,S3=7,故 a3=4, 由于数列{an}中数列{an}的前 n 项和为 Sn,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+S1)都成立, 则 Sn+2+Sn=2(Sn+1+S1)所以 an+2+an=2an+1,则数列{an}从第二项起为等差数列, 则数列 an= ,所以 n>1 时,

=

=



故数列{

}的前 n 项和为

Tn= . 故答案为 .

=

=

点 本题主要考查数列求和的裂项法.着重考查学生的运算能力.属于基础题. 评: 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 A; (2)设函数 f(x)=sinx+2sinAcosx 将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短 到原来的 ,把所得图象向右平移 心及单调递增区间. 考点:余弦定理;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:解三角形. 分析: (1)△ ABC 中,由余弦定理可得 cosA= 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的对称中

,再由已知

可得

sinA= ,

从而求得 A 的值. (2)由(1)可得函数 f(x)的解析式,再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 函数 y=g(x)= sin(2x﹣ ) ,由此求得函数 g(x)的对称中心.令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,求

得 x 的范围, 可得函数 y=g(x)的单调递增区间. 解答: 解: (1)△ ABC 中,由余弦定理可得 cosA= 得 tanA= ,sinA= ,∴ A= ,或 A= .

,再由已知



(2)由(1)可得函数 f(x)=sinx+2sinAcosx=

sin(x+

) , sin

将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,可得 y= (2x+ )的图象; 个单位, 得到函数 y=g (x) = sin[2 (x﹣ ) + ]=

把所得图象向右平移 的图象. 令 2x﹣ k∈z. 令 2kπ﹣ ≤2x﹣

sin (2x﹣



=kπ,k∈z,可得 x=

+

,k∈z,故函数 g(x)的对称中心为(

+

,0) ,

≤2kπ+

,k∈z,求得 kπ﹣ ,kπ+

≤x≤kπ+ ],k∈z.

,k∈z,

故函数 y=g(x)的单调递增区间为[kπ﹣

点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性,对称性,余弦定理 的应用,属于中档题. 17. (12 分)2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车 中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在 某段高速公路的车速(km/t)分成六段: (60,65) ,[65,70)[70,75)[80,85)[85,90)后得到 如图的频率分布直方图. (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.

考点:等可能事件的概率;用样本的频率分布估计总体分布. 专题:概率与统计. 分析:(1) 这个抽样是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行 询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样; (2)选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数;求出从左边开始小矩形的面积和 为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数;利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的 和为数据的平均数. (3)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数和车速在[65,70)的车辆数.从车速在(60, 70)的车辆中任抽取 2 辆,设车速在[60,65)的车辆设为 a,b,车速在[65,70)的车辆设 为 c,d,e,f,列出各自的基本事件数,从而求出相应的概率即可. 解答:解: (1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系 统抽样. 故调查公司在采样中,用到的是系统抽样, (2 分) (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 (4 分) 设图中虚线所对应的车速为 x,则中位数的估计值为: 0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x﹣75)=0.5, 解得 x=77.5,即中位数的估计值为 77.5 (6 分) (3)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为:m1=0.01×5×40=2(辆) , (7 分) 车速在[65,70)的车辆数为:m2=0.02×5×40=4(辆) (8 分) 设车速在[60,65)的车辆设为 a,b,车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f, 则所有基本事件有: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f)共 15 种 (10 分) 其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有: (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f)共 14 种 (12 分) 所以,车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为 . (13 分)

点评:解决频率分布直方图的有关特征数问题,利用众数是最高矩形的底边中点;中位数是左右两 边的矩形的面积相等的底边的值;平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点 的和.此题把统计和概率结合在一起,比较新颖,也是高考的方向,应引起重视. 18. (12 分) (2011?西城区二模)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠ BAD=60°,AC∩ BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B﹣ACD,点 M 是棱 BC 的中点, . (Ⅰ )求证:OM∥ 平面 ABD; (Ⅱ )求证:平面 ABC⊥ 平面 MDO; (Ⅲ )求三棱锥 M﹣ABD 的体积.

考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:计算题;证明题. 分析:(Ⅰ ) 根据点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 则 O 是 AC 的中点. 又点 M 是棱 BC 的中点, 根据中位线定理可知 OM∥ AB,而 OM?平面 ABD,AB?平面 ABD,满足线面平行的判定定 理; (Ⅱ )根据 OM=OD=3,而 ,则 OD⊥ OM,根据菱形 ABCD 的性质可知 OD⊥ AC,而 OM∩ AC=O,根据线面垂直的判定定理可得 OD⊥ 平面 ABC,OD?平面 MDO,满足面面垂直 的判定定理,从而证得结论; (Ⅲ )根据三棱锥 M﹣ABD 的体积等于三棱锥 D﹣ABM 的体积,由(Ⅱ )知,OD⊥ 平面 ABC, 则 OD=3 为三棱锥 D﹣ABM 的高,最后根据三棱锥的体积公式解之即可. 解答:(Ⅰ )证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是△ ABC 的中位线,OM∥ AB.…(2 分) 因为 OM?平面 ABD,AB?平面 ABD, 所以 OM∥ 平面 ABD.…(4 分) (Ⅱ )证明:由题意,OM=OD=3, 因为 ,所以∠ DOM=90°,OD⊥ OM.…(6 分) 又因为菱形 ABCD,所以 OD⊥ AC.…(7 分) 因为 OM∩ AC=O, 所以 OD⊥ 平面 ABC,…(8 分) 因为 OD?平面 MDO,

所以平面 ABC⊥ 平面 MDO.…(9 分) (Ⅲ )解:三棱锥 M﹣ABD 的体积等于三棱锥 D﹣ABM 的体积.…(10 分) 由(Ⅱ )知,OD⊥ 平面 ABC, 所以 OD=3 为三棱锥 D﹣ABM 的高.…(11 分) △ ABM 的面积为 BA×BM×sin120°= ×6×3× 所求体积等于 = ,…(12 分)

.…(13 分)

点评:本题主要考查了线面平行的判定,以及面面垂直的判定和体积的计算,同时考查了推理论证 和计算能力,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)求出 f(1)及 f′ (1)的值,代入点斜式方程即可得到答案; (2)确定函数的定义域,求导函数.利用导数的正负,分类讨论,即可求得和的单调区间. 解答: 2 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣3x+lnx,f′ (x)=2x﹣3+ . 因为 f′ (1)=0,f(1)=﹣2,所以切线方程为 y=﹣2. 2 (2)函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx 的定义域为(0,+∞) . 当 a>0 时,f′ (x)=2ax﹣(a+2)+ = (x>0) ,
2

令 f′ (x)=0,即 f′ (x)= 所以 x= 或 x= . ① a>2 时,令 f′ (x)>0,可得 x> 或 ② a=2 时,f′ (x)≥0 恒成立; ③ 0<a<2 时,令 f′ (x)>0,可得 x> 或 ④ a≤0 时,令 f′ (x)>0,可得

=

=0,

;令 f′ (x)<0,可得 <x< ;

;令 f′ (x)<0,可得 <x< ;

;令 f′ (x)<0,可得 x> ;

∴ a>2 时,函数的单调增区间是(0, ) , (

) ;单调减区间为( , ) ;a=2 时,f(x)

在(0,+∞上单调递增;0<a<2 时,函数的单调增区间是( ,+∞) , (0, ) ;单调减区间 是( , ) ;a≤0 时,函数的单调增区间是(0, ) ;单调减区间是( ,+∞) . 点评:本题考查导数的几何意义,考查函数的单调区间,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 20. (13 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=Sn+1(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明: (n∈N ) .
* *

考点:数列与不等式的综合;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:(1)利用数列递推式,再写一式,两式相减,可得数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比 数列,从而可求数列的通项; (2)将通项化简,裂项,再利用放缩法,即可证明不等式. 解答:(1)解:∵ a1=1,an+1=Sn+1 ∴ a2=S1+1=2,an=Sn﹣1+1(n≥2) 两式相减可得 an+1=2an, ∵ a2=2a1,∴ 数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 n﹣1 ∴ an=2 ; (2)证明: = =



=





=





=









点评:本题考查等比数列的证明,考查数列的通项,考查数列与不等式的综合,考查学生分析解决

问题的能力,属于中档题.

21. (14 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,其左、右焦点为 F1、F2,点 P 是

坐标平面内一点,且|OP|= (1)求椭圆 C 的方程;



= 其中 O 为坐标原点.

(2)过点 S(﹣ ,0) ,且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在定点 M, 使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 P(x0,y0) ,已知|OP|= ,

= ,可得

, 即可解得 c, 再利用

及 a =b +c

2

2

2

即可; (2)存在定点 M(﹣2,0) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点.设点 A(x1,y1) ,B(x2, y2) .把直线 l: 与系数的关系,只有证明 解答: 解: (1)设 P(x0,y0) ,∵ |OP|= 代入椭圆方程 =0 即可. , = , 得到关于 x 的一元二次方程,利用根



,化为



解得





,解得



∴ 椭圆 C 的方程为



(2)存在定点 M(﹣2,0) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点.证明如下: 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 把直线 l: 代入椭圆方程 得 ,







∴ =

=(x1+2,y1)?(x2+2,y2)

=(1+k )x1x2+

2

+4+

=

+

+4+

= =0. ∴ MA⊥ MB. 即以 AB 为直径的圆恒过这个定点 M(﹣2,0) . 点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系 数的关系、数量积运算、两点间的距离关系等基础计算与基本技能,考查了推理能力和计算 能力.


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