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等差数列前n项和教案2

研卷知古今;藏书教子孙。

课 题:3.3 等差数列的前 n 项和(二)
教学目的: 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题.
教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点:灵活应用求和公式解决问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:
本节是在集合与简易逻辑之后学习的,映射概念本身就属于集合的 教学过程:
一、复习引入:
首先回忆一下上一节课所学主要内容:

1.等差数列的前 n 项和公式 1: Sn

?

n(a1 ? an ) 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: Sn

?

na1

?

n(n ?1)d 2

3. Sn

?

d n2 2

? (a1

?

d )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1) 利用 an :

当 an >0,d<0,前n项和有最大值可由 an ≥0,且 an?1 ≤0,求得n的值

当 an <0,d>0,前n项和有最小值可由 an ≤0,且 an?1 ≥0,求得n的值

(2) 利用 S n :由 Sn

?

d n2 2

? (a1

?

d )n 二次函数配方法求得最值时n的值 2

二、例题讲解

例 1 .求集合 M={m|m=2n-1,n∈N*,且 m<60}的元素个数及这些元素的和.

解:由 2n-1<60,得 n< 61 ,又∵n∈N* 2

∴满足不等式 n< 61 的正整数一共有 30 个. 2

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即 集合 M 中一共有 30 个元素,可列为:1,3,5,7,9,…,59,组成

一个以 a1 =1, a30 =59,n=30 的等差数列.



S

n

=

n(a1

? 2

an

)

,∴

S30

=

30(1 ? 2

59)

=900.

答案:集合 M 中一共有 30 个元素,其和为 900.

例 2.在小于 100 的正整数中共有多少个数能被 3 除余 2,并求这些数的和

分析:满足条件的数属于集合,M={m|m=3n+2,m<100,m∈N*}

解:分析题意可得满足条件的数属于集合,M={m|m=3n+2,m<100,n∈N*}

由 3n+2<100,得 n<32 2 ,且 m∈N*, 3
∴n 可取 0,1,2,3,…,32. 即 在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2. 把这些数从小到大排列出来就是:2,5,8,…,98.

它们可组成一个以 a1 =2,d=3, a33 =98,n=33 的等差数列.



S

n

=

n(a1

? 2

an

)

,得

S33

=

33(2 ? 2

98)

=1650.

答:在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2,这些数的和是 1650.

例 3 已知数列 ?an ?, 是等差数列, S n 是其前 n 项和,

求证:⑴ S 6 , S12 - S 6 , S18 - S12 成等差数列;

⑵设 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ( k ? N ? )成等差数列
证明:设?an ?, 首项是 a1 ,公差为 d

则 S6 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6
∵ S12 ? S6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12

? (a1 ? 6d ) ? (a2 ? 6d ) ? (a3 ? 6d ) ? (a4 ? 6d ) ? (a5 ? 6d ) ? (a6 ? 6d )

? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ) ? 36d ? S6 ? 36d





S18 ? S12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? a18

? (a7 ? 6d ) ? (a8 ? 6d ) ? (a9 ? 6d ) ? (a10 ? 6d ) ? (a11 ? 6d ) ? (a12 ? 6d )

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? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ) ? 36d ? (S12 ? S6 ) ? 36d

?S6 , S12 ? S6 , S18 ? S12 是以 36d 为公差的等差数列

同理可得 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 是以 k 2 d 为公差的等差数列.
三、练习: 1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,
求这个等差数列的通项公式. 分析:将已知条件转化为数学语言,然后再解.
解:根据题意,得 S 4 =24, S 5 - S 2 =27

则设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,



???4a1

?

4(4 ?1)d 2

?

24

? ???(5a1

?

5(5

? 1)d 2

)

?

(2a1

?

2(2

? 1)d 2

)

?

27

解之得:

???da1

?3 ?2

∴ an =3+2(n-1)=2n+1.

2.两个数列 1, x1 , x2 , ……, x7 , 5 和 1, y1 , y2 , ……, y6 , 5 均成等差数

列公差分别是 d1 ,

d2 ,

求 d1 与 x1 ? x2 ? ? ? ? x7 的值 d 2 y1 ? y2 ? ? ? ? y6

解:5=1+8 d1 ,

d1



1 2

,

又 5=1+7 d 2 ,

d2



4 7

,

∴ d1 d2

=7 ; 8

x1

+

x2

+……+

x7

=7

x

4

=7×

1

? 2

5

=21,

y1 + y2 + ……+ y6 =3×(1+5)=18,

∴ x1 ? x2 ? ? ? ? x7 = 7 . y1 ? y2 ? ? ? ? y6 6
3.在等差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和

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S n 的最小值

解法 1:∵ a4 = a1 +3d, ∴ -15= a1 +9, a1 =-24,



Sn

=-24n+

3n(n ?1) 2



3 2

[(n-

51 ) 2 6



51 2 36

],



当|n-

51 6

|最小时,

S

n

最小,

即当 n=8 或 n=9 时, S8 = S 9 =-108 最小.

解法 2:由已知解得 a1 =-24, d=3, an =-24+3(n-1),

由 an ≤0 得 n≤9 且 a9 =0,

∴当 n=8 或 n=9 时, S8 = S 9 =-108 最小.
四、小结 本节课学习了以下内容:?an ?是等差数列,S n 是其前 n 项和,则

S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ( k ? N ? )仍成等差数列
五、课后作业: 1.一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角为 100°,
求边数 n.
解:由(n-2)·180=100n+ n(n ?1) ×10, 2
求得 n 2 -17n+72=0, n=8 或 n=9,
当 n=9 时, 最大内角 100+(9-1)×10=180°不合题意,舍去,∴ n=8.
2.已知非常数等差数列{ an }的前 n 项和 S n 满足

10Sn ? m2 ? 3n ? 5 2(m?1)n2?mn (n∈N, m∈R), 求数列{ a5n?3 }的前 n 项和.
解:由题设知

S n =lg( m2

? 3n

?5

2(m?1)n2 ?mn

)=lgm 2 +nlg3+ (m ? 1)n 2 5

? mn
lg2,

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S

n

=[

(m ? 5

1)

lg

2

]n

2

+(lg3+

m 5

lg

2

)n+lgm

2

,

∵ { an }是非常数等差数列,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式

∴ (m ?1) lg 2 ≠0 且 lgm 2 =0, ∴ m=-1, 5



S

n

=(-

2 5

lg2)n

2

+(lg3-

1 5

lg2)n,





n=1

时,

a1



lg

3

?

3 5

lg

2



n≥2

时,

an



S

n



S

n?1 =(-

2 5

lg2)(2n-1)+(lg3-

1 5

lg2)

= ? 4 n lg 2 ? lg 3 ? 1 lg 2

5

5



a

n



?

4 5

n

lg

2

?

lg

3

?

1 5

lg

2

d=

a n ?1

?

an

=

?

4 5

lg

2

a5n?3

=

?

4 5

(5n

?

3)

lg

2

?

lg

3

?

1 5

lg

2

= ? 4n lg 2 ? lg 3 ? 11lg 2 5

数列{

a5n?3

}是以

a8

=

lg

3

?

31 5

lg

2

为首项,5d=

?

4

lg

2

为公差的等差数列,

∴数列{ a5n?3 }的前 n 项和为

n·( lg 3 ? 31lg 2 )+ 1 n(n-1)·( ? 4 lg 2 )= ? 2n2 lg 2 ? (lg 3 ? 21lg 2)n

5

2

5

3.一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的

和之比为 32:27,求公差 d.

解:设这个数列的首项为 a1 , 公差为 d,则偶数项与奇数项分别都是公

差为

2d

的等差数列,由已知得

???162aa21

? ?

66 d 30 d

?? 6a1 ? 30d

? 354 ? 32
27

,

解得 d=5.

解法 2:设偶数项和与奇数项和分别为 S 偶,S 奇,则由已知得

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?S ? ? ??



?S S偶 S奇


?

? 354 32 ,求得 S 偶=192,S 奇=162,S 偶-S 奇=6d, 27



d=5.

4.两个等差数列,它们的前 n 项和之比为 5n ? 3 , 求这两个数列的第九 2n ?1
项的比

解: a9 b9

?

a1 ? a17 b1 ? b17

?

17 2

(a1

?

a17

)

17 2

(b1

?

b17

)

?

S17 S1'7

? 8. 3

5.一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和

解:在等差数列中,

S10 , S20 - S10 , S30 - S20 , ……, S100 - S90 , S110 - S100 , 成等差数列,

∴ 新数列的前 10 项和=原数列的前 100 项和,

10

S10



10 ? 2

9

·D=

S100

=10,

解得 D=-22

∴ S110 - S100 = S10 +10×D=-120, ∴ S110 =-110.

6.设等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 a3 =12, S12 >0, S13 <0,(1) 求

公差 d 的取值范围;

(2) 指出 S1 , S 2 , S 3 , ……, S12 中哪一个最大,说明理由

解:(1)

??S12 ? ??S13

? 12a1 ? 13a1

? 12?11d 2
? 13?12 d 2

? ?

0 0

?

???2aa11

? ?

11d ? 0 6d ? 0

,

∵ a3 = a1 +2d=12, 代入得

?24 ? 7d ? 0

? ?

3?d ?0

,



- 24 7

<d<-3,

(2) S13 =13 a7 <0, ∴ a7 <0, 由 S12 =6( a6 + a7 )>0, ∴ a6 + a7 >0,

∴ a6 >0, S 6 最大.
六、板书设计(略) 七、课后记: