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云南省普洱中学2013届高三理科数学测试题含答案


云南省普洱中学高三理科数学测试题(一)
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

一、选择题:第小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 1. 设复数 A. ?2 2.集合 M ? { x | A. [ 2, ? ? )
1 2
a ? 3i 1 ? 2i

( a ?R, i 是虚数单位)是纯虚数,则 a 实数的值为( ) B. 4
x

C.?6

D.2

? 2 ? 4} , N ? { x | x ? k ? 0} , 若 M ? N ? ? ,则 k 的取值范围是()

B. (2, ? ? )

C. ( ? ? , ? 1)

D. ( ? ? , ? 1] ( ) D.58 ( )

3.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 3 ? a 7 ? a11 ? 1 2 ,则 S 1 3 等于 A.52 4、若 f ( x ) ?
1 lo g 1 ( 2 x ? 1)
2

B.54 ,则 f ( x ) 定义域为

C.56

A. ( ?

1 2

, 0)

B. ( ?

1 2

, 0]

C. ( ?

1 2

, ?? )

D. (0, ? ? )

5.某几何体的三视图如图所示,它的体积为 A. 7 2 ? B. 4 8 ? C. ? ? ? D. ? ? ?





b ,  cos 2 ,且 6、设 a ? (sin x ,3 ),   ? (       x )   a // b ,则锐角 x 为( 3

??

??

1

??

??



A.

?
6

B.
x a
2 2

?
4

C.

?
3

D.

5 12

?

7.已知双曲线

? y

2

? 1( a ? 0 ) 的渐近线为 x ? y ? 0 ,则双曲线的焦距为(



A. 2 2

B.2

C.

2

D.4
?
2

8.已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ? k 的最大值为 4, 最小值为 0, 最小正周期为 是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为 A. y ? 4 sin( 4 x ?
?
6 ) )?2

, 直线 x ?

?
3

( )

B. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)?2

C. y ? 2 sin( 4 x ?

?
3

D. y ? 2 sin( 4 x ?

?
6

)?2

9.如果执行右面的程序框图,则输出的结构是 A. ` B. C. D.
5 2 5 3 5 4 5 1

( )

10、 a ?

?

2

3 x dx

2

,函数 f ( x ) ? 2 e x ? 3 x ? a 的零点所在的区间是( B、 (-1,0)
2

) 。

1

A、 (-2,-1)

C、 (1,2)

D、 (0,1)

11、若函数 f ( x ) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 ? k ? 1, k ? 1 ? 上不是单调函数,则实 数 k 的取值范围 A. ? 1,
? ? 3? ? 2?

( ) B. ? ? ? , ?
? ? 1? ? 2?

C. ?

?3

? , ?? ? ?2 ?

D. ?

?1 3? , ? ?2 2?

12.已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

,双曲线 x ? y ? 1 的渐近线与
2 2

椭圆有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 C 的方程为 ( A.
x
2



?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

8

2

12

6

16

4

20

5

第 II 卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.在 (1 ? x ) 展开式中,含 x
6
3

项的系数是
x ? 2 x ? 2
2

.(用数字作答)

x ?1 ? 2e 14. 设 f ( x ) ? ? 2 ? log 3 ( x ? 1)

,则不等式 f ( x ) ? 2 的解集为

15.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是
2

?x ? y ? 5 ? 0 ? 16、若不等式组 ? y ? a ?0 ? x ? 2 ?

表示的平面区域的面积为 5,则 a 的值为



三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上)

17、已知等差数列 ? a n ? 满足 a 2 ? a 4 ? 22 , a 3 ? a 5 ? 14 , S n 为 ? a n ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 a n 及 S n ; (Ⅱ)设 ? b n ? a n ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求数列 ? b n ? 的通项公式及 其前 n 项和 T n .

18.现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? = | X ? Y | , 求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E ? .

19、如图,四棱锥 S ? A B C D 的底面是矩形, S A ? 底面 A B C D , P 为 B C 边的中 S 点, AD ? 2 , SA ? AB ? 1 . (Ⅰ)求证: P D
?

平面 SA P ;

A

(Ⅱ)求二面角 A ? S D ? P 的余弦值的大小.
B P
第 18 题图

D

C

20.(本题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln
2 (1 ? x )

(1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f ? x 0 ? ? m ? 0 成立,求实数 m 的最小值; (2) g ? x ? ? f ? x ? ? x ? x ? a 在区间[0,3]上恰有两个不同的零点,求 a 范围
2

20.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F ( ? 2 , 0 ) ,点 F 到右顶点的距离为

3?

2.

(I)求椭圆的方程; (II) 设直线 l 与椭圆交于 A、 两点, B 且与圆 x ? y ?
2 2

3 4

相切, 当△AOB 的面积为

3 2

时,求直线 l 的斜率。

23、选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直接坐标系 xO y 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3co s ? ? (?为参数) ? ? y ? sin ? ?



(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xO y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 ( 4 ,
?
2 ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.





C AAAC 13 17. .-20

BCDBD 14.

AD
10 , ??

?1, 2 ? ? ?

?

15.

?? 3 ,1?

16.

3 2

18.解: (1)每个人参加甲游戏的概率为 p ?

1 3

,参加乙游戏的概率为 1 ? p ?
8 27

2 3

这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 C 42 p 2 (1 ? p ) 2 ?

(2) X ? B (4, p ) ? P ( X ? k ) ? C 4k p k (1 ? p ) 4 ? k ( k ? 0,1, 2, 3, 4) ,这 4 个人中去参加 甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 P ( X ? 3) ? P ( X ? 4 ) ? (3) ? 可取 0, 2, 4
P (? ? 0 ) ? P ( X ? 2 ) ? 8 27 P (? ? 2 ) ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 3) ? P (? ? 4 ) ? P ( X ? 0 ) ? P ( X ? 4 ) ? 40 81 17 81
1 9

随机变量 ? 的分布列为
?
P

0

2

4

8 27

40 81

17 81

E? ? 0 ?

8 27

? 2?

40 81

? 4?

17 81

?

148 81

19.:因为 SA ? 底面 ABCD , 所以,∠SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角. ……1 分

由已知∠SBA=45° ,所以 AB=SA=1 建立空间直角坐标系(如图) 由已知,P 为 BC 中点. 于是 A(0,0,0) 、B(1,0,0) 、P(1,1,0) 、D(0,2,0) 、S(0,0,1)……………3 分
( (Ⅰ)易求得 A P ? 1 , 1 , 0 ) , ??? ?

PD ? (? 1,1, 0 ) , PS ? ( ? 1, ? 1,1) . …………………4 分 ??? ???? ? ???? ??? ? 1, ? 1, 1, ? ? 1) 因为 A P ? P D ? ? 1, 0 ?( ? 1, 0 )? 0 , P D ? P S ? ? ? 1, 0 ?( ? 1, 1, ? 0 .

所以 AP ? PD



PS ? PD

.

由于 A P ? SP ? P ,所以 PD ? 平面 SA P . …………………6 分 (Ⅱ)设平面 SPD 的法向量为 n ? ( x , y ,1) .
? n ? PS ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 1 ? ? ? x ? y ? 1 1 ? n ? PD ? 0 ? x ? y ? 0 解得 2 ,所以 n ? ( , ,1) . 由? ,得 ? 2 2

……9 分

又因为 AB⊥平面 SAD,所以 AB 是平面 SAD 的法向量, 易得 A B ? ? 1, 0, 0 ? . …………………9 分
??? ? ? ??? ? ? AB ? n 所以 C O S ? A B , n ? ? ??? ? ? ? AB ? n 1 2 1 4 ? 1 4
6 6

??? ?

? ?1

6 6

.

…………………13 分

所以所求二面角 B ? SA ? C 的余弦值为

.…………………14 分

20

.

P (4,

?

23、解: (I)把极坐标系下的点

) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 。

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 co s ? , sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为
2 co s(? ? ? 2

?
6

d ?

|

3 co s ? ? sin ? ? 4 | 2

)?4 ? 2 co s(? ?

?
6

)?2 2



co s(? ?

?
6

) ? ?1

由此得,当

时,d 取得最小值,且最小值为 2 .


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