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人教A版高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案


2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与b的夹 角. 说明:(1)当 θ =0时,a与b同向; (2)当 θ =π 时,a与b反向; (3)当 θ = ? 2 时,a与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180? (2)两向量共线的判定 (3)练习 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 C ) D.8 B )? B.5 B.-1 C.7 2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 C.1 D.3 (4)力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ , 则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?,(0≤θ ≤π ). 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是两个向量 的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用 “×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因 为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c ? a?b = b?c 但a ? c a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一 般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图 定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 当? = 0?时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 探究:两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量, 1、a?b ? a?b = 0 2、当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|; 特别的 a?a = |a| 或 | a |? 2 当?为钝角时投影为负值; 当? = 180?时投影为 ?|b|. 当?为直角时投影为 0; 当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. |a?b| ≤ |a||b|

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