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高中数学解题方法


数学解题方法与技巧
一,换元法
"换元"的思想和方法,在数学中有着广泛的应用,灵活运用换元法解题,有助于数量关系明朗化, 变繁为简,化难为易,给出简便,巧妙的解答. 在解题过程中,把题中某一式子如 f(x),作为新的变量 y 或者把题中某一变量如 x,用新变量 t 的式子 如 g(t)替换,即通过令 f(x)=y 或 x=g(t)进行变量代换,得到结构简单便于求解的新解题方法,通常称为换元 法或变量代换法. 用换元法解题,关键在于根据问题的结构特征,选择能以简驭繁,化难为易的代换 f(x)=y 或 x=g(t). 就换元的具体形式而论,是多种多样的,常用的有有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换,三 角式代换,反三角式代换,复变量代换等,宜在解题实践中不断总结经验,掌握有关的技巧. 例如,用于求解代数问题的三角代换,在具体设计时,宜遵循以下原则: (1)全面考虑三角函数的定 义域,值域和有关的公式,性质; (2)力求减少变量的个数,使问题结构简单化; (3)便于借助已知三角 公式,建立变量间的内在联系.只有全面考虑以上原则,才能谋取恰当的三角代换. 换元法是一种重要的数学方法,在多项式的因式分解,代数式的化简计算,恒等式,条件等式或不等 式的证明,方程,方程组,不等式,不等式组或混合组的求解,函数表达式,定义域,值域或最值的推求, 以及解析几何中的坐标替换,普通方程与参数方程,极坐标方程的互化等问题中,都有着广泛的应用. 例1 分解因式:(x2-x-3)(x2-x-5)-3
3

例2 在实数集上解方程:

14 + x + 3 14 x = 4

例3 设 sinx+siny=1,求 cosx+cosy 的取值范围.

例4 设 x,y∈R,且

x2 + y 2 = 1 ,求函数 f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y 的最小值和最大值. 4

二,消元法
对于含有多个变数的问题,有时可以利用题设条件和某些已知恒等式(代数恒等式或三角恒等式) ,通 过适当的变形,消去一部分变数,使问题得以解决,这种解题方法,通常称为消元法,又称消去法. 消元法是解方程组的基本方法,在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中,也有着重要的 应用. 用消元法解题,具有较强的技巧性,常常需要根据题目的特点,灵活选择合适的消元方法. 例1 解方程组:

4 5 =1 x 1 y +1
x+1=y x-y-z=6

例2

解方程组:

y-z-x=0 z-x-y= -12 ax=by=cz ①

例 3,设 a,b,c 均为不等于 1 的正数,若

1 1 1 + + =0 x y z
求证: abc=1



三,待定系数法
按照一定规律,先写出问题的解的形式(一般是指一个算式,表达式或方程) ,其中含有若干尚待确定 的未知系数的值,从而得到问题的解.这种解题方法,通常称为待定系数法;其中尚待确定的未知系数, 称为待定系数. 确定待定系数的值,有两种常用方法:比较系数法和特殊值法. 一, 比较系数法 比较系数法,是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数,得到关于待定系数的若干关系式(通常 是多元方程组) ,由此求得待定系数的值. 比较系数法的理论根据,是多项式的恒等定理:两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等, 即 a0xn+a1xn-1+ …+an≡b0xn+b1xn-1+… +bn 的充分必要条件是 a0=b0, 二, 特殊值法 特殊值法,是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式,由左右两边数值相等得到关于待定系数的 若干关系式,由此求得待定系数的值. 特殊值法的理论根据,是表达式恒等的定义:两个表达式恒等,是指用字母容许值集内的任意值代替 表达式中的字母,恒等式左右两边的值总是相等的. 待定系数法是一种常用的数学方法,主要用于处理涉及多项式恒等变形问题,如分解因式,证明恒等 式,解方程,将分式表示为部分分式,确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等. 例1 例2 例3 设二次函数的图象通过点 A(-1,0) ,B(7,0) ,C(3,-8) ,求此二次函数的解析式. 以 x-1 的幂表示多项式 x3-x2+2x+2. 分解因式:6x2+xy-2y2+x+10y-12. a1=b1,…… an=bn .

四,判别式法
实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0
2

(a≠0)



的判别式△=b -4ac 具有以下性质: >0,当且仅当方程①有两个不相等的实数根 △ =0,当且仅当方程①有两个相等的实数根; <0,当且仅当方程②没有实数根. 对于二次函数 y=ax2+bx+c
2

(a≠0)②

它的判别式△=b -4ac 具有以下性质: >0,当且仅当抛物线②与 x 轴有两个公共点; △ =0,当且仅当抛物线②与 x 轴有一个公共点; <0,当且仅当抛物线②与 x 轴没有公共点. 利用判别式是中学数学的一种重要方法,在探求某些实变数之间的关系,研究方程的根和函数的性质, 证明不等式,以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面,都有着广泛的应用. 在具体运用判别式时,①②中的系数都可以是含有参数的代数式. 例1 例2, 已知关于 x 的二次方程 x2+px+q=0 有两正根 x,y,z∈R, a∈R+,且 x+y+z=a, 求证:对于一切实数 r≥0,方程 qx2+(p-2rq)x+1-p=0 也必有两正根.

x2+y2+z2= 例3,

1 2 a 2

试确定 x,y,z 的取值范围.

已知 a,x 为实数,|a|<2,求函数 y=f(x)=

xa 的最大值与最小值. x ax + 1
2

从总体上说,解答数学题,即需要富有普适性的策略作宏观指导,也需要各种具体的方法和技巧进行 微观处理,只有把策略,方法,技巧和谐地结合起来,创造性地加以运用,才能成功地解决面临的问题, 获取良好的效果.

五, 分析法与综合法
分析法和综合法源于分析和综合,是思维方向相反的两种思考方法,在解题过程中具有十分重要的作 用. 在数学中,又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法,而综合被看成是从原 因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法.通常把前者称为分析法,后者称为综合法. 具体的说,分析法是从题目的等证结论或需求问题出发,一步一步的探索下去,最后达到题设的已 知条件;综合法则是从题目的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证的结论或需求问题. 例 1:设 a,b∈R+,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2 例 2:已知 A1,A2,…,An 为凸多边形 A1A2…An 的内角,且 lgsinA1+lgsinA2+…+lgsinAn=0 例 3:设α,β∈(0, 值范围. , 试确定凸多边形的形状.

π
2

),x 的一元二次方程 f(x)=x2+4ax+3a+1=0 的两个根为 tg

α
2

,tg

β
2

,求 a 的取

六, 数学模型法
例(哥尼斯堡七桥问题)18 世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河,这条河有两个支流,在城中心汇 合后流入波罗的海.市内办有七座各具特色的大桥,连接岛区和两岸.每到傍晚或节假日,许多居 民来这里散步,观赏美丽的风光.年长日久,有人提出这样的问题:能否从某地出发,经过每一座 桥一次且仅一次,然后返回出发地? 数学模型法,是指把所考察的实际问题,进行数学抽象,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究, 使实际问题得以解决的一种数学方法. 利用数学模型法解答实际问题(包括数学应用题) ,一般要做好三方面的工作: (1) 建模.根据实际问题的特点,建立恰当的数学模型.从总体上说,建模的基本手段,是数学抽象 方法.建模的具体过程,大体包括以下几个步骤: 1o 考察实际问题的基本情形.分析问题所及的量的关系,弄清哪些是常量,哪些是变量,哪些是已知 量,哪些是未知量;了解其对象与关系结构的本质属性,确定问题所及的具体系统. 2o 分析系统的矛盾关系.从实际问题的特定关系和具体要求出发,根据有关学科理论,抓住主要矛盾, 考察主要因素和量的关系. 3o 进行数学抽象.对事物对象及诸对象间的关系进行抽象,并用有关的数学概念,符号和表达式去刻 画事物对象及其关系.如果现有的数学工具不够用,可以根据实际情况,建立新的数学概念和数学方法去 表现数学模型. (2)推理,演算.在所得到的数学模型上,进行逻辑推理或数学演算,求出相应的数学结果. (3) 评价,解释.对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价和解释,返回到原 来的实际问题中去,形成最终的解答. 例 1:把一根直径为的圆木,加工成横截面为矩形的柱子,问何锯法可使废弃的木料最少?

例 2:有一隧道处于交通拥挤,事故易发地段,为了保证安全,交通部门规定,隧道内的车距 d 正比于车 速 v(千米/时)的平方与车身长(米)的积,且车距不得小于半个车身长.假定车身长为 l(米) ,当车速 为 60(千米/时)时,车距为 1.44 个车身长,在交通繁忙时,应规定臬的车速成,可使隧道的车流量最大? 例 3, (1998 年保送生综合试题)渔场中鱼群的最大养殖为 m 吨.为保证鱼群生长空间,实际养殖量不能 达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲的乘积成正 比,比例系数为 K(K>0) (1) 写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域. (2) 求鱼群年增长量的最大值. 例 4:某公司有资金 100 万元,董事会决定全部投资到甲,乙两工厂,投资甲厂可获得的利润为投资额的 20%;投资乙厂可获得的利润由公式 M=

16 x 19 (M 为利润额,x 为投资额,单位均为万元)确定,问 5

公司如何分配 100 万元资金投资这两个工厂,使获得利润最大?最大利润是多少? 作业: 作业: 1, 设 x 的二次方程 x2-2x+lg(2a2-a)=0 有一正根和一负根,求 a 的范围. 2, (1994 年高考题)在测量某物理的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1,a2,……, an 共 n 个数据.我们规定所测物理量的"最佳近似值"a 是这样一个量:与其它近似值比较,a 与各数据的差 的平方和最小,依此规定,从 a1 ,a2 , ……an,推出的 a 的值. 3, 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋, 经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格, 而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查,看看在不同的价格下会进多少货.通过一番调查,确定的 需求关系是 p=-750x+15000(p 为零售商进货的总数量,x 为每双鞋的出厂价) 并求得工厂生产塑料 , 鞋固定成本是 7000 元,估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为 4 元,为了获得最大利润,工厂 应把每双鞋的出厂价定为多少元? 4,建筑一个容积为 2400 米 ,深为 6 米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为 a 元,池底每平方米粉 的造价为 2a 元,则如何建造才能使总造价为最小. 4, 某一信托公司,考虑投资 1600 万元建造一座涉外宾馆.经预测,该宾馆建成后,每年年底可获利 600 万元,假设银行每年复利计息,利率为 10%.若需要在三年内收回全部投资,每年至少应该收益多少 万元(结果保留一位小数)?
3

七,试验法
解答数学题,需要多方面的信息.数学中的各种试验,常常能给人以有益的信息,为分析问题和解决 问题提供必要的依据. 用试验法处理数学问题时,必须从问题的实际情形出发,结合有关的数学知识,恰当选择试验的对象 和范围;在制定试验方案时,要全面考虑试验的各种可能情形,不能有所遗漏;在实施试验方案时,要讲 究试验技巧,充分利用各次试验所提供的信息,以缩小试验范围,减少试验次数,尽快找出原题的解答. 任何试验都和观察相联系.观察依赖于试验,试验离不开观察.因此,要用好试验法,必须勤于观察, 善于观察,有目的,有计划,有条理地进行观察. 例 1:在正整数集 N+上解方程:xy+3x-5y=3 例 2,已知方程 x2+(m+1)x+2m-1=0 的两个根都是整数,求 m 的整数值. 例 3,求所有的实数 k,使得方程 kx2+(k+1)x+(k-1)=0 的根都是整数. .

八,分类法
分类法是数学中的一种基本方法,对于提高解题能力,发展思维的缜密性,具有十分重要的意义.

不少数学问题,在解题过程中,常常需要借助逻辑中的分类规则,把题设条件所确定的集合,分成若 干个便于讨论的非空真子集,然后在各个非空真子集内进行求解,直到获得完满的结果.这种把逻辑分类 思想移植到数学中来,用以指导解题的方法,通常称为分类或分域法. 用分类法解题,大体包含以下几个步骤: 第一步:根据题设条件,明确分类的对象,确定需要分类的集合 A; 第二步:寻求恰当的分类根据,按照分类的规则,把集合 A 分为若干个便于求解的非空真子集 A1, A2,…An; 第三步:在子集 A1,A2,…An 内逐类讨论; 第四步:综合子集内的解答,归纳结论. 以上四个步骤是相互联系的,寻求分类的根据,是其中的一项关键性的工作.从总体上说,分类的主要依 据有:分类叙述的定义,定理,公式,法则,具有分类讨论位置关系的几何图形,题目中含有某些特殊的 或隐含的分类讨论条件等.在实际解题时,仅凭这些还不够,还需要有较强的分类意识,需要思维的灵活 性和缜密性,特别要善于发掘题中隐含的分类条件. 例 1:求方程

lg 2 x = 2 的实数解,其中 lg( x + a )
1 AB 2

a

为实参数. 例 2:△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,M 是 BC 的中点,且∠B=2∠C.求证:DM= 例 3:解方程:2|x+2|-|2x+1-1|=2x+1+1

九,数形结合法
数形结合,是研究数学的一个基本观点,对于沟通代数,三角与几何的内在联系,具有重要的指导意 义.理解并掌握数形结合法,有助于增强人们的数学素养,提高分析问题和解决问题的能力. 数和形这两个基本概念,是数学的两块基石.数学就是围绕这两个概念发展起来的.在数学发展的进 程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以互相转化. 数形结合的基本思想,是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形, 把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简 单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案. 中学数学中,数形结合法包含两个方面的内容:一是运用代数,三角知识,通过对数量关系的讨论, 去处理几何图形问题;二是运用几何知识,通过对图形性质的研究,去解决数量关系的问题.就具体方法 而论,前者常用的方法有解析法,三角法,复数法,向量法等;后者常用的方法主要是图解法. 例:方程 sinx= A,1 B,2

x 解的个数为 2
C,3 D,4

例:已知实数 x,y 满足 3x+4y-1=0,求

( x 1) 2 + ( y 2) 2

的最小值.

例:设 x∈R,求

x 2 + 2 x + 17 + x 2 8 x + 80 的最小值.

例:对每个实数 x,记-x,x2,x+2 三者中的最大者为 F(x),求 F(x)及 F(x)的最小值. 例:如果方程|x2-4x+3|=px 有四个不同的实数根,求 p 的取值范围

十,反证法与同一法
反证法和同一法是间接证明的两种方法,在解题中有着广泛的应用. (一)反证法是一种重要的证明方法.这里主要研究反证法的逻辑原理,解题步骤和适用范围.

反证法的解题步骤: 第一步:反设.假设命题结论不成立,即假设原结论的反面为真. 第二步:归谬.由反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果.这里所说的矛 盾结果,通常是指推出的结果与已知公理,定义,定理,公式矛盾,与已知条件矛盾,与临时假设矛盾, 以及自相矛盾等各种情形. 第三步:存真.由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立. 反证法的三个步骤是互相联系的.反设是前提,归谬是关键,存真是目的.只有正确地作出反设,合乎逻 辑地进行推导,才能间接地证出原题. 例 1:已知 A1,A2,…An 是凸 n 边形的 n(n>3)个内角.求证:这 n 个内角中至多有 3 个内角是锐角. 例 2:设平面α‖平面β,直线 l∩平面α=A.求证:直线 l 与平面β相交. 例 3:求证:方程 x=qsinx+a (0<q<1,a∈R) 的解是唯一的.

十一, 十一,同一法
互逆的两个命题未必等效.但是,当一个命题条件和结论都唯一存在,它们所指的概念是同一概念时, 这个命题和它的逆命题等效.这个道理通常称为同一原理. 对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证和它等效的逆命题,只要它的逆命题正确, 这个命题就成立.这种证明方法叫做同一法. 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题.应用同一法解题,一般包括下面几个步骤: 第一步:作出符合命题结论的图形. 第二步:证明所作图形符合已知条件. 第三步:根据唯一性,确定所作的图形与已知图形重合. 第四步:断定原命题的真实性. 例 1:在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 的中点,求证:DE‖BC 例 2:矩形 ABCD 中,AB= 1, 2,

1 BC,E 是 AD 上一点,且∠DCE=15°.求证:BE=BC 作业: 2

已知函数 f(x)的定义域是[2,10],求函数 F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域,其中 a>0. 已知α,β∈(0,

π
2

) ,且 sin(α+β)=2sinα.求证:α<β

3, 在梯形 ABCD 中,E 为一腰 BC 上的一点,已知△AED 的面积是梯形 ABCD 的面积的一半,求证: CE=EB


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