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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:1.2.2 第2课时 组合2]


选修 2-3

第一章

1.2

1.2.2

第 2 课时

一、选择题 1.(2013· 福州文博中学高二期末)盒中有 4 个白球,5 个红球,从中任取 3 个球,则抽 出 1 个白球和 2 个红球的概率是( 10 A. 63 5 C. 14 [答案] D
1 2 [解析] 从 9 个球中任取 3 个球有 C3 9种取法,其中含有 1 白球 2 红球的取法有 C4C5种, 2 C1 10 4C5 ∴所求概率 P= 3 = . C9 21

) 11 B. 21 10 D. 21

2.(2013· 景德镇市高二质检、河南安阳中学期中)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方 法的总数是(
2 A.C2 8A3 2 C.C2 8A6

)
6 B.C2 8A6 2 D.C2 8A5

[答案] C [解析] 第一步从后排 8 人中抽 2 人有 C2 8种抽取方法,第二步前排共有 6 个位臵,先从 中选取 2 个位臵排上抽取的 2 人,有 A2 6种排法,最后把前排原 4 人按原顺序排在其他 4 个
2 位臵上,只有 1 种安排方法,∴共有 C2 8A6种排法.

3.从编号为 1、2、3、4 的四种不同的种子中选出 3 种,在 3 块不同的土地上试种,每 块土地上试种一种,其中 1 号种子必须试种,则不同的试种方法有( A.24 种 C.12 种 [答案] B
3 [解析] 先选后排 C2 3A3=18,故选 B.

)

B.18 种 D.96 种

4.把 0、1、2、3、4、5 这六个数,每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百位 上排成三位数,这样的三位数有( A.40 个 C.360 个 [答案] A [解析] 先选取 3 个不同的数有 C3 6种方法,然后把其中最大的数放在百位上,另两个不 ) B.120 个 D.720 个

3 2 同的数放在十位和个位上,有 A2 2种排法,故共有 C6A2=40 个三位数.

5.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不 同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为( A.10 C.12 [答案] B [解析] 与信息 0110 至多有两个对应位臵上的数字相同的信息包括三类: 第一类:与信息 0110 只有两个对应位臵上的数字相同,有 C2 4=6(个); 第二类:与信息 0110 只有一个对应位臵上的数字相同,有 C1 4=4(个); 第三类:与信息 0110 没有对应位臵上的数字相同,有 C0 4=1(个); 综上知,与信息 0110 至多有两个对应位臵上的数字相同的信息有 6+4+1=11(个). 6.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医 生都有,则不同的组队方案共有( A.70 种 C.100 种 [答案] A [解析] 可分两类,男医生 2 名,女医生 1 名或男医生 1 名,女医生 2 名,
1 2 ∴共有 C2 C1 C4=70,∴选 A. 5· 4+C5·

) B.11 D.15

) B.80 种 D.140 种

二、填空题 7. 一排 7 个座位分给 3 人坐, 要求任何两人都不得相邻, 所有不同排法的总数有________ 种. [答案] 60 [解析] 对于任一种坐法, 可视 4 个空位为 0,3 个人为 1,2,3 则所有不同坐法的种数可看 作 4 个 0 和 1,2,3 的一种编码, 要求 1,2,3 不得相邻故从 4 个 0 形成的 5 个空档中选 3 个插入 1,2,3 即可. ∴不同排法有 A3 5=60 种. 8.已知集合 A={x|1≤x≤9,且 x∈N},若 p、q∈A,e=logpq,则以 e 为离心率的不 同形状的椭圆有________________个. [答案] 26 [解析] 由于 e∈(0,1),∴9≥p>q>1, 当 q=2 时,p=3、4、?、9,椭圆的不同形状有 7 个; 当 q=3 时,p=4、5、?、9,椭圆的不同形状有 6 个; 当 q=4 时,p=5、6、?、9,椭圆的不同形状有 5 个;

当 q=5 时,p=6、7、8、9,椭圆的不同形状有 4 个; 当 q=6 时,p=7、8、9,椭圆的不同形状有 3 个; 当 q=7 时,p=8、9,椭圆的不同形状有 2 个; 当 q=8 时,p=9,椭圆的不同形状有 1 个; 其中 log42=log93,log32=log94, ∴共有(7+6+5+4+3+2+1)-2=26 个. [点评] 上面用的枚举解法,也可由 p、q∈A,e=logpq∈(0,1)知 9≥p>q>1,因此问题 成为从 2 至 9 这 8 个数字中任取两个数字并作一组的不同取法. ∴有 C2 8-2=26 个. 三、解答题 9. (2013· 八一中学高二期末)袋中装有 m 个红球和 n 个白球(m≥n≥2), 这些红球和白球 除了颜色不同之外,其余都相同,从袋中同时取出 2 个球. (1)若取出的两个球都是红球的概率是取出的两个球是 1 红 1 白的概率的整数倍,试证: m 必为奇数. (2)若取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率, 试求适合 m+n≤40 的所有数 组(m,n). C2 m C2 m+n [解析] (1)证明:由 1 1=k(k∈Z)得 m=2kn+1,∵k∈Z,n∈N,∴m 必为奇数. CmCn C2 m+n (2)由
2 1 1 C2 m+Cn CmCn = 2 得(m-n)2=m+n, 2 Cm+n Cm+n

∴m+n 为完全平方数,又∵m+n≤40,m>n≥2, ∴m+n=36 或 25 或 16 或 9 或 4 m-n=6 或 5 或 4 或 3 或 2, 符合题意的数组共四组,结果为(21,15),(15,10),(10,6),(6,3). 10.在∠MON 的边 OM 上有 5 个异于 O 点的点,边 ON 上有 4 个异于 O 点的点,以这 10 个点(含 O 点)为顶点,可以得到多少个三角形? [解析] 解法 1:(直接法)分几种情况考虑:O 为顶点的三角形中,必须另外两个顶点 分别在 OM、ON 上,所以有 C1 C1 5· 4个,O 不为顶点的三角形中,两个顶点在 OM 上,一个顶
1 2 点在 ON 上有 C2 C1 C4个.由分类加法计数 5· 4个,一个顶点在 OM 上,两个顶点在 ON 上有 C5· 2 1 原理知,共有 C1 C1 C4+C1 C2 5· 4+C5· 5· 4=5×4+10×4+5×6=90(个).

解法 2: (间接法)先不考虑共线点的问题, 从 10 个不同元素中任取三点的组合数是 C3 10, 但其中 OM 上的 6 个点(含 O 点)中任取三点不能得到三角形,ON 上的 5 个点(含 O 点)中任
3 3 3 3 3 取 3 点也不能得到三角形,所以共可以得到 C3 10-C6-C5个,即 C10-C6-C5=

10×9×8 - 1×2×3

6×5×4 5×4 - =120-20-10=90(个). 1×2×3 1×2 解法 3:也可以这样考虑,把 O 点看成是 OM 边上的点,先从 OM 上的 6 个点(含 O 点)
2 1 中取 2 点,ON 上的 4 点(不含 O 点)中取一点,可得 C6 · C4个三角形,再从 OM 上的 5 点(不

含 O 点)中取一点,从 ON 上的 4 点(不含 O 点)中取两点,可得 C1 C2 5· 4个三角形,所以共有
2 1 C6 · C4+C1 C2 5· 4=15×4+5×6=90(个).

一、选择题 11. (2013· 河南安阳中学高二期中)在某地的奥运火炬传递活动中, 有编号为 1、 2、 3、 ?、 18 的 18 名火炬手,若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列 的概率为( A. 1 51 ) 1 B. 68 D. 1 408

1 C. 306 [答案] B

[解析] 从 18 人中任选 3 人,有 C3 18种选法,选出的 3 人编号能构成公差为 3 的等差数 12 1 列有 12 种情形),∴所求概率 P= 3 = . C18 68 12. 以圆 x2+y2-2x-2y-1=0 内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为 ( ) A.76 C.81 [答案] A [解析] 如图,首先求出圆内的整数点个数,然后求组合数,圆的方 程为(x-1)2+(y-1)2=3,圆内共有 9 个整数点,组成的三角形的个数为
3 C9 -8=76.故选 A.

B.78 D.84

13. (2014· 合肥八中联考)将 4 个颜色互不相同的球全部收入编号为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( A.10 种 C.36 种 [答案] A [解析] 根据 2 号盒子里放球的个数分类: 第一类, 2 号盒子里放 2 个球, 有 C2 4种放法, 第二类,2 号盒子里放 3 个球,有 C3 4种放法,剩下的小球放入 1 号盒中,共有不同放球方法
2 3 C4 +C4 =10 种.

)

B.20 种 D.52 种

14.(2013· 揭阳一中高二联考)编号为 1、2、3、4、5 的五个人,分别坐在编号为 1、2、 3、4、5 的座位上,则至多有两个号码一致的坐法种数为( A.120 C.110 [答案] D
5 [解析] 5 个人坐在 5 个座位上, 共有不同坐法 A5 种, 其中 3 个号码一致的坐标有 C3 5种, 3 有 4 个号码一致时必定 5 个号码全一致,只有 1 种,故所求种数为 A5 5-C5-1=109.

)

B.119 D.109

二、填空题 15. 北京市某中学要把 9 台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学, 每所小学至 少得到 2 台,共有________________种不同送法. [答案] 10 [解析] 每校先各得一台,再将剩余 6 台分成 3 份,用插板法解,共有 C2 5=10 种. 16.(2014· 辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中,有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着 舰方法有________种. [答案] 36 种 [解析] ∵甲、乙相邻,∴将甲、乙看作一个整体与其他 3 个元素全排列,共有 2A4 4= 48 种,其中甲、乙相邻,且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体,甲中间,有 A2 2 A3 3=12 种,∴共有不同着舰方法 48-12=36 种. 三、解答题 17.(2013· 景德镇市高二质检)7 名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多 少种不同的排法? (1)7 人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减; (2)任取 6 名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮. [解析] (1)第一步,将最高的安排在中间只有 1 种方法;第二步,从剩下的 6 人中选取
3 3 人安排在一侧有 C6 种选法,对于每一种选法只有一种安排方法,第三步,将剩下 3 人安排

在另一侧,只有一种安排方法,∴共有不同安排方案 C3 6=20 种. (2)第一步从 7 人中选取 6 人, 有 C6 第二步从 6 人中选 2 人排一列有 C2 7种选法; 6种排法, 第三步,从剩下的 4 人中选 2 人排第二列有 C2 4种排法,最后将剩下 2 人排在第三列,只有 一种排法,故共有不同排法 C6 C2 C2 7· 6· 4=630 种. 18.有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分 法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本; (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本;

(3)甲、乙、丙各得 3 本. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①9 本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学; ②题目中的 3 个问题的条件不同. 解答本题先判断是否与顺序有关,然后利用相关的知识去解答. [解析] (1)分三步完成: 第一步:从 9 本不同的书中,任取 4 本分给甲,有 C4 9种方法; 第二步:从余下的 5 本书中,任取 3 本给乙,有 C3 5种方法; 第三步:把剩下的书给丙有 C2 2种方法, ∴共有不同的分法有 C4 C3 C2 9· 5· 2=1260(种). (2)分两步完成:
4 3 2 第一步:将 4 本、3 本、2 本分成三组有 C9 · C5· C2种方法;

第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A3 3种方法, ∴共有 C4 C3 C2 A3 9· 5· 2· 3=7560(种). (3)用与(1)相同的方法求解, 得 C3 C3 C3 9· 6· 3=1680(种).


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