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湖南省怀化市2012-2013学年高一数学上学期期末考试试题

湖南省怀化市 2012-2013 年高一期末考试数学试题
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卡上) 1.全集 U={0,1,3,5,6,8 },集合 A={ 1,5, 8 }, B ={ 2 },则集合 ?CU A? ? B 为 A.{ 0,2,3,6 }
2

B.{ 0,3,6 }

C. { 1,2, 5,8 }

D. ?

2.若函数 f ( x) ? log1 ( x ? 3) ,则 f (5) 等于 A. 1 A.2 B. ? 1 B.3 C. 0 C.9 D. 5 D. ? 9

3.若三点 A(3, 1) , B(?2, b) , C (8, 11) 在同一直线上,则实数 b 等于

4.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 A. k ? ?

1 2

B. k ? ?

1 2

C. b ? 0

D. b ? 0

? 5. 如图,在 Rt ?ABC 中, ?ABC ? 90 , p 为△ABC 所

在平面外一点,PA⊥面 ABC,则四面体 P-ABC 中共有直 角三角形个数为 A.4 C. 2
2

B. 3 D. 1

6. 圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 2) 2 ? 1 与圆 C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 16 的位置关系是 A.外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 7.设 m 、 n 为两条不重合的直线, ? , ? 为两个不重合的平面,下列命题中正确命题的是 A.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n B.若 n // ? , m // ? , ? ∥ ? ,则 m // n C.若 n ? ? , m ? ? , m // n ,则 ? // ? D.若 n ? ? , m ? ? , ? ⊥ ? ,则 n ? m 8. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4? ,那么圆柱的体积等于 A. ? B. 2? C. 4? D. 8?

9. 已知 f ( x) ? g ( x) ? 2 ,且 g ( x) 为奇函数,若 f (2) ? 3 ,则 f (?2) 的值为 A. 0 B. ? 3
2

C. 1

D. 3

x 10. 二次函数 y ? ax ? bx 与指数函数 y ? ( ) 在同一坐标系中的图象可能是

b a

-1-

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共计 20 分. 请把答案填在答题卡上的相应横 线上.) 11. 已知 f ( x) ? ?

? x ? 5?x ? 1? ,则 f ? f ?1?? ? 2 ?2 x ? 1?x ? 1?
.

.

12. 如果一个几何体的三视图如右(单位长度: cm) , 则此几何体的体积是

13. 已知 A(?3, 1, ? 4) ,则点 A 到平面 14. 函数 f ( x) ?

yoz 的距离为___.
.

2? x ?

1 的定义域是 x ?3
x ?2

?1? 15. 若函数 f ( x) ? x ? ? ? ?2?
3

,零点 x0 ? (n, n ? 1) (n ? Z ) ,则 n=______.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 40 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 6 分) 求经过两条直线 2 x ? y ? 3 ? 0 和 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 的交点,并且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂 直的直线方程的一般式. 17.(本小题满分 6 分) (1)计算 log3
1
4

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log7 2 3
? 1 2

(2)已知 x 2 ? x

? 3 ,求

2 的值. x ? x?3
?1

18. (本小题满分 6 分) 已知直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 截圆心在点 C (1, 1) 的圆 C 所得弦长为 2 3 . (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 (?1, 2) 的圆 C 的切线方程.

-2-

19.(本小题满分 6 分)
? 如图,在边长为 a 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60 , PC ? 面 ABCD , PC ? 2a , E 、

F 分别是 PA 和 AB 的中点.
(1)求证: EF // 面 PBC ; (2)求证:平面 PDB ⊥平面 PAC ; (3)求 EF 与平面 PAC 所成的角的正切值.

20.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ? x ? ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)求证:函数 f ?x ? 在 R 上为增函数; (2)当函数 f ?x ? 为奇函数时,求 a 的值; (3)当函数 f ?x ? 为奇函数时, 求函数 f ?x ? 在 [?1, 2] 上的值域.

21.(本小题满分 8 分) 某商店经营的消费品进价每件 14 元,月销售量 Q (百件)与销售价格 p (元)的关系如 下图,每月各种开支 2000 元. (1) 写出月销售量 Q (百件)与销售价格 p (元)的函数关系; (2) 写出月利润 y (元)与销售价格 p (元)的函数关系; (3) 当商品价格每件为多少元时,月利润最大?并求出最大值.

-3-

2012 年下学期期末教学质量统一检测 高一数学参考答案 一. 选择题: ( 10 ? 4 ? 40 ) 题号 1 2 3
/ /

4 A

5 A

6 D

7 D

8 B

9 C

10 A

答案

A
/

B
/

D

二. 填空题: ( 5 ? 4 ? 20 ) 11.8; 12.

224 ; 3

13.3;

14. (??, ? 3) ? (?3, 2] ;

15.1;

三. 解答题 16 解.由 ?

?x ? 2 ? 2x - y ? 3 ? 0 解得 ? ,则两直线的交点为 ?2, 1? ………2 分 ?y ?1 ?4 x ? 3 y ? 5 ? 0
-4-

直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 的斜率为 ? 故所求的直线为 y ? 1 ?

3 2 ,则所求的直线的斜率为 ……………4 分 3 2

3 ?x ? 2? 即 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ………………6 分 2

17 解. (1) 原式 ? log 3

3 ? lg 52 ? lg 22 ? 2 ……………1 分 3

3 4

1 15 ? - ?( 2 lg 5 ? lg 2) ? 2 ? ……………3 分 4 4
(2)由x 2 ? x

18 解. (1)设圆 C 的半径为 R , 圆心到直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离为 d .

? 3得 ( x 2 ? x 2 ) 2 ? 9 即 x ?1 ? x ? 7 ………5 分 2 1 故 ?1 ? ……………………6 分 x ? x?3 5

1

?

1 2

1

?

1

则d ?

4 ? 3 - 12 4 2 ? 32

? 1 , 则R ?
2 2

d

2

?2 3 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

2

? 2

故圆 C 的方程为:(x ? 1) ? (y ? 1) ? 4 ………………3 分 (2)当所求切线斜率不存在时,即 x ? ?1 满足圆心到直线的距离为 2, 故 x ? ?1 为所求的圆 C 的切线.…………………4 分 当切线的斜率存在时,可设方程为: y - 2 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

k ? (?1) 整理得: 3x ? 4y ? 11 ? 0
2 2

则d ?

k ?1? k ? 2

? 2 解得 k ?

3 3 3 故切线为: x ? y ? ? 2 ? 0 4 4 4

所以所求圆的切线为: x ? ?1 与 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ……………6 分 19 证明(1)? AE ? PE, AF ? BF ,? EF / / PB …………1 分 又 EF ? 平面PBC, PB ? 平面PBC, 故 EF / /平面PBC ……………2 分 (2)? PC ? 面ABCD ? PC ? BD ? 四边形ABCD 为菱形 ? AC ? BD 又 PC ? AC ? C P

? BD ? 面PAC ? BD ? 面PBD ?面PBD ? 面PCD ……………4 分
(3)解: 记BD ? AC ? O, 连PO 。由 (2)知 BD ? 面PAC 又 EF∥PB, 故 EF 与平面 PAC 所成的角为∠BPO………5 分 因为 BC=a ?ABC ? 60? , 则 CO=

E

D O A F

C

a 3 a。 ,BO= 2 2

B

在 Rt△POC 中 PO= CO 2 ? PC2 ?

BO 51 17 ? a ,故 tan ∠BPO= 2 PO 17

51 ……………6 分 17 1 1 ? ? 20 解: (1)任取 x 1 ? x 2 ? R 则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? a ? x ? ? a ? x2 ?? 1 2 ?1 ? 2 ?1?
所以直线 EF 与平面 PAC 所成的角的正切值为
-5-

1 1 2 x1 ? 2 x2 x x ? ? 因为 x1 ? x2 所以 2 1 ? 2 2 ? 0 , x2 x1 x2 x1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 故 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 所以 函数f ?x ?在 R 上为增函数………………3 分 (2)因 函数f ?x ?在 x=0 有意义,又 函数f ?x ? 为奇函数,则 f ?0? ? 0 1 1 即 f ?0? ? a ? ? 0, 得a ? ……………………5 分 2 2 1 ?1 ? ?1 2 ? (3)由 x∈[-1,2]得 2 x ? ? ,4?则有 x ?? , ? 2 ?1 ?5 3 ? ?2 ? 1 1 ? 1 3? 故f ?x ? ? ? x ? ?- , ? ……… ……8 分 2 2 ? 1 ? 6 10? ? 2P ? 50?14 ? P ? 20? ? ? 21 解: (1) Q ? ? 3 ……………………2 分 ? P ? 40?20 ? P ? 26? ? ? 2 (2)当 14 ? P ? 20 时,y=100(P-14) (-2P+50)-2000 2 即 y ? ?200( p - 39 p ? 360) 3 当 20 ? P ? 26 时,y=100(p-14)( ? p+40)-2000 2 2 即 y ? ?50(3 p ? 122p ? 1160 ) …………………4 分

? ? 200( P 2 - 39P ? 360)?14 ? P ? 20? 所以 y ? ? ……………5 分 2 )?20 ? P ? 26? ?? 50(3P ? 122P ? 1160
(3)当商品价格为 19.5 元时,利润最大,为 4050 元………………8 分

5

12

19

21

17(看看)

-6-


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