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陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案


西安市第一中学 2013-2014 学年度第一学期期末
高二年级数学(文科)试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.曲线 y ? 2 x 2 ? 3 在点 x ? ?1 处的切线方程为( A. y ? 4x ? 1 B. y ? ?4 x ? 5 ) D. y ? 4x ? 5 )

C. y ? ?4 x ? 1

2. 设 a, b 是向量,命题“若 a =—b,则∣ a ∣= ∣ b ∣”的逆命题是( A.若 a ? ?b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ C.若∣ a ∣ ? ∣ b ∣,则 a ? — b

B.若 a =—b,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ D.若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a = - b )

3.平面上动点 M 到点 F(3,0)的距离等于 M 到直线 l : x ? ?3 的距离,则动( 点 M 满足的方程 A. y 2 ? 6 x B. y 2 ? 12 x C.
x2 ? 6y

D. x 2 ? 12 y

4. 若命题“ p且q ”为假,且“ ?p ”为假,则( A. p 或 q 为假 B. q 真 C. q 假

) D.不能判断 q 的真假 )

5.函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.
19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

6.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为 ( A.2 ) B.1 C.
1 2

D.4 )

7.” m ? n ? 0 ”是”方程 mx 2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 8.曲线 f ( x) = x + x - 2 在点 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标 为( )

A. (1, 0) 9.设函数 f(x)= A.x=

B. (1, 0) 和 (?1, ?4)
2 +lnx 则 x

C. (2,8) )

D. (2,8) 和 (?1, ?4)



1 为 f(x)的极大值点 2

B.x=

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点

x2 y 2 10.已知 F1 , F2 是双曲线 ? ? 1 的左右焦点,P 是双曲线右支上一点,M 是 PF1 的 16 9

中点 , 若|OM|=1,则| PF1 |是( A.10 B. 8 ) C. 6 D.4

二.填空题(本题共 5 小题,满分共 20 分) 11. 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 9

.

12. 已知双曲线错误!未找到引用源。和椭圆错误!未找到引用源。有相同的焦 点,且双曲线的 离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为__ __ ___ 13. 若 f ( x ) ? e x ? ln x , 则 此 函 数 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 的 斜 率 为 .

14. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽______ 米.

15. 一个边长为 12cm 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为 x 的小正方 形,然后 做成一个无盖方盒, 要使方盒的容积最大,x 的值应为 .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 16. 已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=logax 在(0,+∞)上单调递减,

q:曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.若“p 且 q”为假, “﹁ q”为假,求 a 的取值范围.

17. 在区间 (?2,1) 内,函数 f ( x ) ? ? x 3 ? ax 2 ? bx 在 x ? ?1 处取得极小值,在 2 x ? 处取得极大值. 3 (Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在 (??, ??) 上的单调性.

18. 已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 X 轴上,离心 率e ?
1 。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的右顶点为 B,直线 l 过左焦点 F1 且垂直于 X 轴,交椭圆于 M、N 两 点,求 ?BMN 的面积.

19. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 x ? 1 处 的 切 线 为
3 2

l : 3x ? y ? 1 ? 0, 若 x ?

2 时, y ? f ( x) 有极值. 3

(1)求 a, b, c 的值; (2)求 y ? f ( x) 在 [?3, 1] 上的最大值和最小值.

20. 如图,已知抛物线 C:y 2 ? 4 x 焦点为 F ,直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相 交于 A , B 两点 (Ⅰ)若线段 AB 的中点在直线 y ? 1上,求直线 l 的方程;

(Ⅱ)若线段 AB ? 20 ,求直线 l 的方程 .

西安市第一中学高二数学(文科)数学答案
一 、选择题 题号 1 2 答案 C D 二、填空题 11.
5 4

3 B

4 C

5 D

6 A

7 C

8 B

9 D

10 A

12、 15. 2cm

=1

13 . e ? 1

14、 2 6 三、解答题

16、16 解:p:0<a<1, 5 1 由Δ =(2a-3)2-4>0,得 q:a> 或 a< . 2 2 假, “﹁q”为假,所以 p 假 q 真, a>1, 5 1 2 ? 2 5 ∴a> . 2 17. 解: (Ⅰ)∵ f ?( x ) ? ?3 x 2 ? 2ax ? b 即? 因为“p 且 q”为

?

a> 或a< .

又由已知得 f ?( ?1) ? 0 , (4 分)

2 f ?( ) ? 0 3 2 2 ∴ ?3( ?1)2 ? 2a ? ( ?1) ? b ? 0 , ?3( )2 ? 2a ? ( ) ? b ? 0 3 3 1 联立求解得 a ? ? , b ? 2 2
x2 ? 2x , 2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ?( x ) ? ?3 x 2 ? x ? 2 , f ( x ) ? ? x 3 ?

2 当 x ? ? ?2,1? 时,∴ f ( x ) 在 ( ??, ?1) , ( , ?? ) 上单调递减; (14 分) 3
2 f ( x ) 在 ( ?1, ) 上的单调递增. 3

18. 解:(1)由 e ?

c 1 ? ? a 2 ? 4c 2 ,? b 2 ? 3c 2 a 2
x2 y2 ? ? 1 把 A(2,3)代入得 c 2 ? 4 2 2 4c 3c x2 y2 ? ?1 16 12

于是可设椭圆方程为

∴所求椭圆 E 的方程为

(2)由(1)可知 a ? 4, c ? 2 , ∴左焦点 F1 (-2,0),B(4,0), BF1 ? a ? c ? 6 把 x ? ?2 代入方程得 M(-2,3)、N(-2,-3), 1 1 ∴ ?BMN 的面积= MN ? BF1 ? ? 6 ? 6 ? 18 2 2 19. 解:(1)由 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b, 当 x ? 1时, 切线 l 的斜率为 3, 可得 2a ? b ? 0
2? 有极值,则 f ?? ? ? ? 0 ,可得 4a ? 3b ? 4 ? 0 ?3?

2 时, y ? f ( x) 3 ②由①②解得: a ? 2, b ? ?4. 由



当x ?

于切点的横坐标为 x ? 1, ? f (1) ? 4. ?1 ? a ? b ? c ? 4. ? c ? 5 . ? a ? 2, b ? ?4, c ? 5. ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 , ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 4, 2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? .当 x 变化时, y , y ′的取值及变化如下表: 3 -? ? 2, 2 ? 2? 2 ? ? ,1? ? ? x (?3, ? 2) 3 3? 3 ? ? ? 3 2

1

y ′

+ 单 调 递 增 ↗

0 单 1 3 调 递 减 ↘
95 . 27

0 + 单
95 27

y

8

调 递 增 ↗

4

∴ y ? f ( x) 在 [?3, 1] 上的最大值为 13,最小值为 20. 解:(Ⅰ)由已知得交点坐标为 F ?1, 0 ? ,
B ? x2 , y2 ? , AB 中点 M ? x0 , y0 ?

设直线 l 的斜率为 k , A ? x1 , y1 ? ,

x ? x2 ? x0 ? 1 ? y 2 ? 4 x1 ? ? 2 ,? 1 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? , 则? 2 y ? 4 x y ? y ? 2 2 2 ?y ? 1 0 ? ? 2

所以 2 y0 k ? 4 ,又 y0 ? 1 ,所以 k ? 2 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , 消元得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,
AB ? ? ? m 2 ? 1 y1 ? y2

故直线 l 的方程是: y ? 2 x ? 2

? x ? my ? 1 与抛物线方程联立得 ? 2 , ? y ? 4x

所以有 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 ,

m2 ? 1 m2 ? 1

? y1 ? y2 ? ? 4m ?
2

2

? 4 y1 y2

所 以 有 4 ? m 2 ? 1? ? 20 , 解 得 m ? ?2 ,

? 4 ? ? ?4 ?

? 4 ? m 2 ? 1?

所以直线 l 的方程是: x ? ?2 y ? 1 ,即 x ? 2 y ? 1 ? 0


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