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导数第一周测试题


高二选修 2-2 导数第一周测试题
姓名:___________ 一、选择题(50) 1. 设a? R, 函数 f ( x ) ? e ? ae
x ?x

班级:___________

的导函数为 f ?( x ) , 且 f ?( x ) 是奇函数, 则 a ?( ) C. 2 D. ? 1

A. 0 2.若曲线 f ( x) ?

B. 1

1 3 x ? x 2 ? mx 的所有切线中,只有一条与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直, 3
) B.2 C.0 或 2 D.3 )

则实数 m 的值等于( A.0
x

3.曲线 y ? e 在点 A 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,则点 A 的坐标为(
?1 (A) ?1, e

?

?

(B) ? 0,1?

(C) ?1, e ?

(D) ? 0, 2 ?

4.曲线 f ( x) ? x ? x ? 2 的一条切线平行于直线 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则除切点外切线与
3

曲线的另一交点坐标可以是( A. (1, 0) 5.曲线 y ? ? x ? 3x
3 2

) C. (?1, ?4) ) D.y=2x ) D. (2, 8)

B. (?2, ?10)

在点(1,2)处的切线方程为( B.y=-3x+5

A.y=3x-1
4

C.y=3x+5

6.已知曲线 y ? x ? ax ? 1 在点 ? -1,a ? 2 ? 处切线的斜率为 8, a= (
2

(A) 9 (B) 6 (C) -9 7.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是 y
f(x)

(D) -6 ( ) y O x
f ?( x )

y

f ?( x)

f ?( x)

y x

y O

f ?( x)

O

x

O A

x

O B C

x D ( C. ? 2 ( D. ?1 ) )

8.已知 f ? x ? ? x , 且 f
3

/

? x0 ? ? 6
B. ? 2

则 x0 =

A. 2
3 2

9.已知 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值等于

A.

19 3
3

B.

10 3

C.

16 3

D.

13 3

10.已知 f ( x) ? ax ? 9 x ? 6 x ? 7, 若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值等于(
2

) D.

A.

19 3

B.

16 3

C.

10 3

13 3

试卷第 1 页,总 2 页

二、填空题(20) 11.经过点 P(2,1 且与曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 相切的直线 l 的方程是____________. )
3 2

12.直线 y ? 2 x ? b 与曲线 y ? ? x ? 3ln x 相切,则 b 的值为 13.曲线错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。的切线方程是 14.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 5 x ? 4 的导数 f ?( x) ?
3 2

. .

, f ?(?3) ?

三、解答题(50) 15. 求下列函数的导数: (1) y ? x ;
12

(2) y ?
2

1 ; x4

5 (3) y ? x . 3

16.求下列函数的导数: y ? x 1 ? x ; 17.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。 18.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ?6) 处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 19.求函数 y ?

x 在 x ? 1 处的导数;

试卷第 2 页,总 2 页

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:? f ( x ) ? e ? ae
x ?x

x ?x ,? f ?( x) ? e ? ae ,由于 f ?( x ) 是奇函数,

? e x ? ae? x ? e ? x ? aex ? 0 ,? a ? ?1 ,选 D.
考点:导数的计算,奇函数的性质. 2.B 【解析】 试题分析: f ?( x) ? x ? 2 x ? m ,直线 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 ?1 ,由题意知关于 x 的方程
2

,所以 m ? 2 ,所以选 B. x2 ? 2 x ? m ? 1 即 ( x ? 1)2 ? 2 ? m 有且仅有一解, 考点:导数的几何意义. 3.B 【解析】 试题分析:直线 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 1,所以切线的斜率为 1,即 k ? y ' ? e
x0

? 1 ,解得

x0 ? 0 ,此时 y ? e0 ? 1 ,即点 A 的坐标为 ? 0,1? .
考点:导数的几何意义. 4.D 【解析】
2 试题分析:设切点 P?x0 , y 0 ? ,则 f ' ?x ? ? 3x ? 1 ,于是 K 切 ? f ' ?x ? | x ? x0 ? 3x0 ? 1 ,因为

2

2 切线平行于直线 4 x ? y ? 1 ? 0 ,所以 3 x 0 ? 1 ? 4 ,即 x 0 ? ?1 .则 P?1,0?或?? 1,?4? ,切线

方 程 为 : y ? 4?x ? 1? 或 y ? 4 ? 4?x ? 1? 分 别 与 曲 线 方 程 联 立 可 解 得 另 一 交 点 坐 标 为

?? 2,?12 ? 或 ?2,8? ,故选 D.
考点:导数的几何意义. A 5. 【解析】
3 2 2

试题分析:因为, y ? ? x ? 3x ,所以, y ' ? ?3x ? 6 x , 曲线在点(1,2)处的切线的斜率为

y ' |x ?1 ? ?3x 2 ? 6 x |x ?1 ? 3



所以,由直线方程的点斜式并整理得,y=3x-1。 关系 A。 考点:导数的几何意义,直线方程。 点评:简单题,曲线切线的斜率,等于在切点的导函数值。 6.D
' 2 【解析】由题意知 y |x ??1 ? (4 x ? 2ax) |x ??1 ? ?4 ? 2a ? 8 ,则 a ? ?6 .故选 D.

答案第 1 页,总 5 页

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【考点定位】导数的几何含义 7.D 【解析】 试题分析:先根据导函数 f'(x)的图象得到 f'(x)的取值范围,从而得到原函数的斜率 的取值范围, 从而得到正确选项. 由于原函数都是递减区间可知导数都小于零, 故排除 A,B,C, 只能选 D. 考点:导数的几何意义 点评:题主要考查了导数的几何意义,同时考查了识图能力,属于基础题. 8.C 【解析】 试题分析:根据题意,由于 f ? x ? ? x ,? f ' ? x ? ? 3x , ,故可知 f
3 2
/

? x0 ? ? 6 时

,则有

3x0 2 ? 6, x0 2 ? 2 ? x0 ? ? 2 ,故可知选 C。
考点:导数的计算 点评:主要是考查了 x 9.B 【解析】
3 2
2
n

的导数的计算,属于基础题。

试题分析: f ( x ) ? ax ? 3x ? 2 ? f ? ? x ? ? 3ax ? 6 x ? f ? ? ?1? ? 4 ? a ? 考点:函数导数 点 评 :
n n ?1 x

10 3
熟 记 :


x

















, ?sin x ?? ? cos x, ? cos x ?? ? ? sin x ? x ?? ? nx , ? e ?? ? e , ?ln x ?? ? 1 x
10.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于

f ( x) ? ax3 ? 9 x 2 ? 6 x ? 7, ,则可知 f '( x) ? 3ax 2 ? 18 x ? 6 且

f ?(?1) ? 4 ,可知 3a-18+6=4,解得 a=

16 3 ,故答案为 B.

考点:导数的运算 点评:解决的关键是根据函数求解导数,然后代值得到结论,属于基础题。 【答案】 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 【解析】
2 试题分析:设切点为 ( x 0 , x 0 ? 2 x 0 ? 1) ,由 k ? f '( x0 ) ? 3 x0 ? 4 x0 ,可得切线方程为

3

2

y ? ( x0 ? 2 x0 ? 1) ? (3x0 ? 4 x0 )( x ? x0 ) ,代入点 P ( 2,1) 解得: x 0 ? 0 或 x 0 ? 2 . 当
x0 ? 0 时 切 线 为 y ? 1 ; 当 x0 ? 2 时 切 线 为 4x ? y ? 7 ? 0 . 综 上 得 直 线 l 的 方 程 是 :
4x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1.

3

2

2

答案第 2 页,总 5 页

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考点:1.利用导数求曲线的切线;2.直线方程 14.-3 【解析】 试题分析:由 y ? ? x ? 3ln x 得 y ' ? ?1 ?

b ? ?3 .
考点:利用导数求切线方程. 15. y ? 【解析】

3 ? 2 ? x ? 1 ,得切点为 (1, ?1) ,代入切线得 x

1 x ?1 e
1 1 ,则可知, y'|x ?e ? ,那么 x e

试题分析:根据题意,由于曲线 y ? ln x ? 1,那么可知 y' ? 可知在点 (e, 2) 的切线方程为 y ?

1 1 x ?1 y ? x ?1 e e ,故答案为 。

考点:导数的几何意义 点评:主要是考查了导数的几何意义的运用,属于基础题。 16. 6 x ? 6 x ? 5 ;67
2

【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 以 及 导 数 的 计 算 可 知 函 数 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 5 x ? 4 的 导 数
3 2

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 5 ,故可知 f ' (?3) ? 54 ? 18 ? 5 ? 67 ,故可知答案为 6 x2 ? 6 x ? 5 ;
67 考点:导数的计算 点评:主要是考查了导数的计算,属于基础题。 17. 【解析】 (1) y? ? ( x )? ? 12 x
12 12?1

? 12 x11.
4 . x5

(2) y? ? ( x ?4 )? ? (?4) x ?4?1 ? ?4 x ?5 ? ?
5 3 3 5 3 2

3 ?1 3 ? 3 . (3) y? ? ( x )? ? ( x )? ? x 5 ? x 5 ? 5 5 5 5 x2
18. 取 y 的绝对值,得 y ? x ? x ? 1 ,两边取寻数,得 ln y ? ln x ?
2

1 ln x 2 ? 1. 2

根据导数的运算法则及复合函数的求导法则,两端对 x 求导,得

1 1 2x 2x2 ?1 ? y? ? ? ? , y x 2( x 2 ? 1) x( x 2 ? 1)
∴ y? ? y ?

2x2 ?1 2x2 ?1 2x2 ?1 2 ? x x ? 1 ? ? . x( x 2 ? 1) x( x 2 ? 1) x2 ?1

答案第 3 页,总 5 页

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【解析】式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系.对于这种结构形式的函数,可 通过两边取对数后再求导, 就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决. 但必须注意 取寻数时需要满足的条件是真数为正实数,否则将会出现运算失误 19. ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) 【解析】解: y ? ( x ? a) ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)
' ' ' '

? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)
20. (1) y ? 13x ? 32 ; (2)直线 l 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 (?2, ? 26) . 【解析】 试题分析: (1) Q f ( x) ? 3x ? 1
' 2

? 6) 处的切线的斜率 k ? f ?(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13 , ?在点 (2,

?切线的方程为 y ? 13x ? 32 ;
2 ?1 , (2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? 3x0

2 3 ? 1)( x ? x0 ) ? x0 ? x0 ? 16 . ?直线 l 的方程为: y ? (3x0

又直线 l 过点 (0, 0) ,
2 3 ? 0 ? (3x0 ? 1)(? x0 ) ? x0 ? x0 ? 16 ,
3 整理,得 x0 ? ?8 , ? x0 ? ?2 ,

? y0 ? (?2)3 ? (?2) ? 16 ? ?26 ,

l 的斜率 k ? 3 ? (?2)2 ? 1 ? 13 ,?直线 l 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 (?2, ? 26) .
考点:本题主要考查导数的几何意义,直线方程的点斜式。 点评:中档题,曲线的切线斜率,等于切点的导函数值。求切线方程,有两种情况,一是给 定点在曲线上,二是给定点在曲线外。本题包含了上述两种情况,比较典型。 21. . 【解析】解法一(导数定义法) : ?y ? 1 ? ?x ? 1 ,

1 2

?y 1 ? ?x ? 1 1 ? ? , ?x ?x 1 ? ?x ? 1 1 1 1 lim ? ,? y? x ?1 ? . ?x ? 0 1 ? ? x ? 1 2 2
答案第 4 页,总 5 页

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解法二(导函数的函数值法) : ?y ?

x ? ?x ? x ,

?y ? ?x

x ? ?x ? x ? ?x

1 , x ? ?x ? x

?x ?0

lim

?y 1 1 ? lim ? . ? x ? 0 ?x x ? ?x ? x 2 x
1 ,? y? x ?1 ? . 2 2 x 1

∴ y? ?

答案第 5 页,总 5 页


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