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最新人教版高一数学必修1第一章《集合的基本运算》教材梳理

疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、并集 1.并集的定义 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,记作 A∪B,读作“A 并 B” ,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 2.并集的图形表示 “A∪B”可用 Venn 图中的阴影部分来表示. 3.并集的运算性质 ①A∪B=B∪A; ②A∪A=A; ③A∪ ? = ? ∪A=A; ④如果 A ? B,则 A∪B=B. 要点提示 注意此处空半格(1)并集是研究集合间关系的,能正确使用集合符号表示出 并集,是求并集的关键. (2)用 Venn 图表示 A∪B 时,每一个图形扫过的面积都在“A∪B”中. (3)并集满足交换律;任何集合同自身或空集的并集等于集合自身;若 A 是 B 的子集,则 A∪B=B. 资料剖析 注意此处空半格(教材 P9)例 4 剖析:若集合 A、B 是元素能够一一列举出来的有限集时,可直接求 A∪B,但要注意 两个集合的公共元素在并集中只能出现一次,如例 4 中 A ∪ B 的结果不能写成 A ∪ B={3,4,5,5,6,7,8,8},因为这种写法不符合集合中元素的互异性. 资料剖析 注意此处空半格(课本 P10)例 5 集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求 A∪B. 剖析:由于集合 A、B 都是无限数集,A、B 的元素无法一一写出来,此时要求 A∪B 只能借助于数轴的直观性求解,由于集合 A 中不含有-1,2,集合 B 中不含有-1,3,所以 在用数轴表示不等式的解集时,要把这些端点值用虚点来表示(包括时要用实点去表示). 虽然 A 中不含 2,但 B 中含有 2;虽然 B 中不含 1,但 A 中含有 1,因此,在 A∪B 中含有 数值 1 和 2. 二、交集 1.交集的定义 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记 作 A∩B,读作“A 交 B” ,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. 集合的对象可以是自然界的所有事物, 点集是数学中常见的一种集合, 因此我们可以用 集合的运算判断几何图形的位置关系.比如例 7,由于 L1,L2 分别是直线 l1,l2 上点的集合, 两条直线的位置关系就可以用集合的运算符号来表示了,即当 l1 与 l2 相交时,只有一个交 点;当 l1 与 l2 平行时,没有交点,交集是空集;当 l1 与 l2 重合时,有无数个交点,交集是 直线本身.若集合是用语言文字描述的, 求它们的交集时, 要紧扣交集的定义.又如若设 C={圆 C 上的点},L={直线 l 上点},则 (1)直线 l 与圆 C 相交于两点 P、Q,可以表示为 L∩C={点 P、点 Q}; (2)直线 l 与圆 C 相切于一点 P,可以表示为 L∩C={点 P}; (3)直线 l 与圆 C 相离,可表示为 L∩C= ? . 依此我们也可以用集合的交集表示两圆的位置关系或是两曲线的位置关系. 2.交集的图形表示 “A∩B”可用 Venn 图来表示. 3.交集的运算性质 (1)A∩B=B∩A; (2)A∩A=A; (3)A∩ ? = ? ∩A= ? ; (4)若 A ? B,则 A∩B=A. 要点提示 注意此处空半格(1)交集是由集合的公共元素组成的集合,能正确使用集合 符号表示一些简单集合非常关键. (2)用韦恩图表示集合使集合间关系非常明确,因此常用韦恩图或数轴表示集合,来解决 综合性题目,往往起到事半功倍的效果. (3)交集满足交换律;任何一个集合同自身的交集等于集合本身;任何集合同空集的交集 都是空集;集合同它的子集的交集等于子集. 三、补集 1.补集的定义 如果 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中所有不属于 A 的元素构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集,简称集合 A 的补集,记作 A,即 A={x|x∈U 且 x ? A}. 如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集, 那么称这个给定的集合为全集, 通常用 “U”表示.全集是一个相对概念,是由研究的需要给出的,但它必须含有我们所要研究的所 有元素.如果把实数集 R 看作全集,那么有理数集 Q 的补集就是所有无理数组成的集合. A 的数学表达式是 A={x|x∈U,且 x ? A} ,它不同于集合的差集,A 与 B 的差集记作 A-B,即 A-B={x|x∈A,且 x ? B} ,虽然记法相似,但 A-B 中的 B 不一定是 A 的子集, 根据前面交集的定义可以得到:A-B=( 要点提示 注意此处空半格在补集“ A ? U.U 因研究的问题不同而不同. 2.补集的图形表示 补集可用 Venn 图表示. B)∩A. A”中, “ ”是一个专门的符号,U 表示全集, 利用 Venn 图,可以表示集合的并、交、补运算,如下图中的各部分所示,在求有关集 合的交、并、补运算时,可借助于该图求解. 3.补集的运算性质 ①A∪ ②A∩ ③ ( A=U; A =? ; A)=A. 记忆要诀 注意此处空半格 集合平时很常用,数学概念有不同. 理解集合并不难,三个要素是关键. 元素确定和互异,还有无序要牢记. 集合不论空不空,总有子集在其中. 集合用图很方便,子交并补很明显. 问题·思路·探究 问题 两个集合的补集的交(并)集与它们的并(交)集的补集之间有何关系? 思路:将文字语言转化为集合语言,猜想并证明即可. 探究:两个集合的补集的交(并)集与它们的并(交)集的补集相等,即( (A∪B) ; ( x∈( A)∪( B)= (A∩B).设 x∈( A)∩( A)∩( B) B) ,则 x∈( A)且 B) B) ,即 x ? A 且 x ? B,所以 x ?(A∪B) ,即 x∈ (A∪B) ,故有( A)∩( ? (A∪B) ; 若 x∈ (A∪B) ,则 x ? (A∪B),即 x ? A 且 x ? B,即 x∈( A)∩( B

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