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最新人教版高一数学必修1第一章《集合的基本运算》教材梳理


疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、并集 1.并集的定义 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,记作 A∪B,读作“A 并 B” ,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 2.并集的图形表示 “A∪B”可用 Venn 图中的阴影部分来表示. 3.并集的运算性质 ①A∪B=B∪A; ②A∪A=A; ③A∪ ? = ? ∪A=A; ④如果 A ? B,则 A∪B=B. 要点提示 注意此处空半格(1)并集是研究集合间关系的,能正确使用集合符号表示出 并集,是求并集的关键. (2)用 Venn 图表示 A∪B 时,每一个图形扫过的面积都在“A∪B”中. (3)并集满足交换律;任何集合同自身或空集的并集等于集合自身;若 A 是 B 的子集,则 A∪B=B. 资料剖析 注意此处空半格(教材 P9)例 4 剖析:若集合 A、B 是元素能够一一列举出来的有限集时,可直接求 A∪B,但要注意 两个集合的公共元素在并集中只能出现一次,如例 4 中 A ∪ B 的结果不能写成 A ∪ B={3,4,5,5,6,7,8,8},因为这种写法不符合集合中元素的互异性. 资料剖析 注意此处空半格(课本 P10)例 5 集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求 A∪B. 剖析:由于集合 A、B 都是无限数集,A、B 的元素无法一一写出来,此时要求 A∪B 只能借助于数轴的直观性求解,由于集合 A 中不含有-1,2,集合 B 中不含有-1,3,所以 在用数轴表示不等式的解集时,要把这些端点值用虚点来表示(包括时要用实点去表示). 虽然 A 中不含 2,但 B 中含有 2;虽然 B 中不含 1,但 A 中含有 1,因此,在 A∪B 中含有 数值 1 和 2. 二、交集 1.交集的定义 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记 作 A∩B,读作“A 交 B” ,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. 集合的对象可以是自然界的所有事物, 点集是数学中常见的一种集合, 因此我们可以用 集合的运算判断几何图形的位置关系.比如例 7,由于 L1,L2 分别是直线 l1,l2 上点的集合, 两条直线的位置关系就可以用集合的运算符号来表示了,即当 l1 与 l2 相交时,只有一个交 点;当 l1 与 l2 平行时,没有交点,交集是空集;当 l1 与 l2 重合时,有无数个交点,交集是 直线本身.若集合是用语言文字描述的, 求它们的交集时, 要紧扣交集的定义.又如若设 C={圆 C 上的点},L={直线 l 上点},则 (1)直线 l 与圆 C 相交于两点 P、Q,可以表示为 L∩C={点 P、点 Q}; (2)直线 l 与圆 C 相切于一点 P,可以表示为 L∩C={点 P}; (3)直线 l 与圆 C 相离,可表示为 L∩C= ? . 依此我们也可以用集合的交集表示两圆的位置关系或是两曲线的位置关系. 2.交集的图形表示 “A∩B”可用 Venn 图来表示. 3.交集的运算性质 (1)A∩B=B∩A; (2)A∩A=A; (3)A∩ ? = ? ∩A= ? ; (4)若 A ? B,则 A∩B=A. 要点提示 注意此处空半格(1)交集是由集合的公共元素组成的集合,能正确使用集合 符号表示一些简单集合非常关键. (2)用韦恩图表示集合使集合间关系非常明确,因此常用韦恩图或数轴表示集合,来解决 综合性题目,往往起到事半功倍的效果. (3)交集满足交换律;任

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