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山东省临沂市2013届高三5月高考模拟 文科数学 Word版含答案


2013 年高考模拟试题文科数学

2013.5

第Ⅰ卷

(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i

2 2 ? z 等于 z
(C) ?i (D) ? 1 ? i
x

2.已知集合 A ? y y≥0 ,A ? B=B, 则集合 B 可能是 ∣

?

(B) ? 1 ? i

?

∣ (A) y y = ?

?

x,x≥0

?

(B) ? y y = ? ? ,x ? R? ∣ (D)R (D) y ? 2x

?1? ?2?

(C) y y=ln x,x> ∣ 0 (A) y ? x3

?

?

( +? 上单调递增的函数是 3.下列函数中既是偶函数,又在区间 0, )
(B) y ? |x| ? 1 (C) y ? ? x2 ? 1 4.某班共有 52 人 , 现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已 知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是 (A)10 (B)11 (C)12 (D)16

5.将函数 y ? sin x 的图象向右平移 对应的解析式为 (A) y ? 1 ? sin x
?1 (A) ?1, e

π 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,则所得的图象 2
(C) y ? 1 ? cos x (C) ?1,e ? (C)2600 (D)2650 (D) y ? 1 ? cos x (D) ? 0, 2 ?

(B) y ? 1 ? sin x (B) ? 0,1?

6.曲线 y ? e x 在点 A 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,则点 A 的坐标为

?

?

7.阅读如图所示的程序框图,若输入变量 n 为 100,则输出变量 S 为 (A)2500 (B)2550 8.给出如下四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a> b ,则 2a>2b ? 1 ”的否命题为“若 a≤ b ,则 2a ≤2b ? 1 ”; ③命题“任意 x ? R, x2 ? 1 0 ”的否定是“存在 x0 ? R, x02 ? 1 0 ”; ≥ < ④在△ABC 中,“ A>B ”是“ sin A>sin B ”的充要条件. 其中不正确命题的个数是 ... (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
第 7 题图

9.设第一象限内的点( x, y )满足 ? 大值是 4,则

?2 x ? y ? 4 ≤ 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a>0, b>0) 的最 x ? y ≥ 0, ?

1 1 ? 的最小值为 a b

(A)3

(B)4

(C)8

(D)9

10.函数 y ? ln sin x (? <x<π, 且x ? 0) 的图象大致是 ∣ ∣π

(A) (B) (C) (D) 11.多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正(主)视图和侧 (左) 视图如图,其中正(主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长 M N 2 2 4
正(主)视图

D A (A) 3 12.已知 f ( x) ? x ?
3

C B (B) 5
侧(左)视图

2

(C) 6

(D) 2 2

9 2 x ? 6 x ? abc, a<b<c, 且f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下 2 0 0 0 结论:① f (0) f (1)>0 ;② f (0) f(1) < ;③ f (0) f(2) > ;④ f (0) f(2) < .其中正确
结论的序号为: (B)①④ (C)②④ (D)②③

(A)①③

第Ⅱ 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 2 2 2 13.若△AB C 的边 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 4, C=60°,则 ab 的值为 且 . 2 2 14.已知圆 C: x ? y ? 18 ,直线 l: 4 x ? 3 y ? 25, 则圆 C 上任一点到直线 l 的距离小 于 2 的概率为 . 15.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y (万元)有如下的统计资料: 2 3 4 5 6 使用年限 x

? ? ? 由资料可 知 y 和 x 呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程 y ? bx ? a 中的 ? 万元. b ? 1. 23, 据此估计,使用年限为 10 年时的维修费用是
16.已知双曲线

维修费用 y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p>0) 的焦点的距 a 2 b2

离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为( ?2, ?1 ) ,则双曲线的焦距 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 x ? R, ?>0,u ? (1, sin( x ? ? 小正周期为π .

? 2 )), ? (cos x v ? 2

, 3 sin 函数 f ( x) ? u ? v ? ? x ),

1 的最 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的值域.

π 2

18. (本小题满分 12 分) 已知点(1,2)是函数 f ( x) ? a x (a>0且a ? 1) 的图象上一点,数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn ? f ( n) ? 1.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)将数列 ?an ? 前 2013 项中的第 3 项,第 6 项,…,第 3k 项删去,求数列 ?an ? 前 2013 项中剩余项的和. 19. (本小题满分 12 分) 如图,AD ? 平面 ABC,AD∥CE,AC=AD=AB=1,∠BAC=90°,凸多 面体 ABCED 的体积为
E D

1 ,F 为 BC 的中点. 2
B

(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE. 20. (本小题满分 12 分)

A

F 第 19 题图

C

某高校组织的自主招生考试,共有 1000 名同学参加笔 频率/组距 试,成绩均介于 60 分到 100 分之间,从中随机抽取 50 名 同学的成绩进行统计, 将统计结果按如下方式分为 4 组: 第 0.036 1 组[60,70) 第 2 组[70,80) 第 3 组[80,90) 第 4 组[90,100]. 0.03 , , , 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图, 且笔试成绩 0.014 在 85 分(含 85 分)以上的同学有面试资格. (Ⅰ) 估计所有参加笔试的 1000 名同学中, 有面试资格 o 6 70 8 90 100 的人数; 0 0 第 20 题图 (Ⅱ)已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格,且甲 的笔试比乙的高; 面试时, 要求每人回答两个问题, 假设甲、 乙两人对每一个问题答对的概率均为 率. 若甲答对题的个数不少于乙, 则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概

得分



1 2

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) a ? 若 的值. y 22. (本小题满分 14 分)
A Q M F1 O F2 N

1 ,g (x) ?x(f (x) 1,( x1 > , g ( x) 在区间 (k, k ?1) 内存在极值, ) ) ? 且 求整数 k 2

l

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) a 2 b2

x

第 22 题图

如图,已知椭圆 C:

的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为

3 , 2

点 A 是椭圆上任一点,△AF1F2 的周长为 4+2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 Q 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,记 MQ ? ?QN ,若在线段 (-4,0) MN 上取一点 R,使得 MR ? ?? RN ,则当直线 l 转动时,点 R 在某一定直线上运动,求该定 直线的方程.

???? ?

????

????

??? ?

2013 年高考模拟试题

文科数学参考答案及评分标准
2013.5 说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主 要考查内容参照评分标准酌 情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(B) 8.(D) 9.(B) 10.(C) 11.(C) 12.(D) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. 4 14.

1 4

15. 12.38

16. 2 5

三、解答题:

v 17.解: (Ⅰ)依据题意, f ( x) ? u? ?

1 π 1 ? (1,sin(? x ? )) ? (cos 2 ? x, 3 sin ? x) ? 2 2 2 1 ? cos 2 ? x ? 3 sin ? x ? cos ? x ? … … … … … … … … … … … … ( 1 分 ) 2

1 ? cos 2? x 3 1 ? sin 2? x ? 2 2 2 1 3 ? cos 2? x ? sin 2? x 2 2 ?
π ? sin(2? x ? ) . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 4 6 ? ?>0, 函数的最小正周期 T=π , 2 π 2 π ? 2? ? ? ? 2,? ? ? 1. … … … … … … … … … … … … … … … ( 6 T π π x )… … … … … … … … … … … … ( 7 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? s i n ( 2? 6 π π π 7 当 0≤ x≤ 时 , 可 得 ≤2 x ? ≤ π … … … … … … … … … ( 8 2 6 6 6 1 π 有 ? ≤ sin(2 x ? )≤1 … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 1 2 6 π 1 所 以 函 数 y ? f ( x) 在 [0, ] 上 的 值 域 是 [ ? ,1] … … … … … … ( 1 2 2 2
分)

分) 分) 分) 分) 分)

18.解: (Ⅰ)把点(1,2)代入函数 f ( x) ? a x ,得 a ? 2 .……………………(1 分)

? Sn ? f (n) ?1 ? 2n ?1, … … … … … … … … … … … … … … … … ( 2 分 )
当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? 21 ?1 ? 1; … … … … … … … … … … … … … ( 3 分 ) 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1

? (2n ?1) ? (2n?1 ?1)
? 2n?1 … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 5 分 )
经验证可知 n ? 1 时,也适合上式,

? an ? 2n?1 . ……………… ………… ……………… ………… ……( 6 分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,…,第 2013 项 也 为 等 比 数 列 , 首 项 a3 ? 23?1 ? 4, 公 比 23 ? 8, a2013 ? 2 2 0 1 2为 其 第 6 7 1 项………………………………………………………………(8 分)

4 (1 87 1 ) 4 ( 2 0 1? ? 6 2 3 ? ∴此数列 的和为 1? 8 7
又数列 ?an ? 的前 2013 项和为

1)

……………………(10 分)

S2013 ?

1? (1 ? 22013 ) ? 22013 ? 1, … … … … … … … … … … … … … ( 1 1 分 ) 1? 2
2013

∴ 所 求 剩 余 项 的 和 为 (2

? 1) ?

4(22013 ? 1) 3(22013 ? 1) ? …(12 分) 7 7

19. (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABC,AC ? 面 ABC,AB ? 面 ABC, ∴AD⊥AC,AD⊥AB, ∵AD ∥CE,∴CE⊥AC[来源:学,科,网] ∴四边形 ACED 为直角梯形.……………(1 分) 又∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,∴AB⊥面 ACED.
B G A F 第 19 题图 D

E

C

………………(2 分) ∴凸多面体 ABCE D 的体积 V ?

1 ? S ACED ? AB 3

1 1 1 ? ? ? ( 1? CE ? ? ? ) 1 1 , 3 2 2
求得 CE=2.……………………………………………………(3 分) 取 BE 的中点 G,连结 GF,GD, 则 GF∥EC,GF ?

1 CE=1, 2

∴GF∥AD,GF=AD,四边形 ADGF 为平行四边形, ∴ A F∥ D G . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 5 分 ) 又∵GD ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.………………………………………………(7 分) (Ⅱ)证明:∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC.………………………………………………………( 8 分) 由(Ⅰ)知 AD⊥平面 ABC,AD∥GF,∴GF⊥面 ABC. ∵ A F ? 面 A B C , ∴ A F⊥ G F . … … … … … … … … … … … … … … ( 9 分 ) 又 BC ? GF=F,∴AF⊥面 BCE.…………………………………(10 分) 又∵DG∥AF,∴DG⊥面 BCE.……………………………(11 分) ∵DG ? 面 BDE,∴面 BDE⊥面 BCE.……………………(12 分) 20.解: (Ⅰ)设第 i(i ? 1, 2,3, 4) 组的频率为 f i ,则由频率分布直方图知

f4 ? 1 ? (0.014 ? 0.03 ? 0.036) ?10 ? 0.2 … … … … … … … … … … ( 2 分 )
所以成绩在 85 分以上的同学的概 率 P≈

f3 0.036 ?10 +f 4 ? ? 0.2 ? 0.38, 2 2

…………………………………(5 分) 故这 1000 名同学中,取得面试资格的约有 1000×0.38=380 人.…(6 分) (Ⅱ)设答对记为 1,打错记为 0,则所有可能的情况有: 甲 00 乙 00,甲 00 乙 10,甲 00 乙 01,甲 00 乙 11,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01, 甲 10 乙 11,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01,甲 01 乙 11,甲 11 乙 00,甲 11 乙 10, 甲
11



01 ,甲 11



11 ,共

16 个………………………………………(9 分)

甲答对题的个数不少于乙的情况有: 甲 00 乙 00,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01, 甲
11



00,甲 11



01,甲 11



10,甲 11



11,共

11 个……………(11 分)

故甲比乙优先获得高考加分资 格的概率为 2 1 . 解 : Ⅰ ) 由 已 知 x>0, f ?( x) ? (

11 .…… …………………( 12 分) 16

1 1 ? ax ?a ? .…………………………(1 分) x x

> 当 a≤0 时 , f ?( x ) 0 ,函 数 f ( x ) 在 (0, ??) 内 单 调 递 增 ; … … … ( 2 分 )
当 a>0 时 , 由 f ?( x)>0, 得 1 ? ax>0, ∴ 0< x<

1 ;……………(3 分) a

由 f ?( x)<0, 得 1 ? ax<0, ∴ x>

1 .……………………(4 分) a

∴ f ( x ) 在 (0, ) 内 单 调 递 增 , 在 ( , ??) 内 单 调 递 减 . … … … … ( 5 分 ) (Ⅱ)当 a ?

1 a

1 a

1 1 1 2 1) 时, g ( x) ? x( f ( x) ? 1) ? x(ln x ? x ? 1) ? x ln x ? x ? x ( x> 2 2 2

∴ g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> … … … … … … … … … … … … … … … ( 6 分 ) 1), 令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> , 1) 则 F ?( x) ?

1 ? 1<0, ∴ F ( x) 在 (1, ??) 内 单 调 递 减 . … …… … … … …… ( 8 分) x

> ∵ F (1) ? 1 0, F (2) ? ln 2>0,

F ( 3 ) g? ( 3 ) ? ?

ln 3 ? ? ? 3

2? > 3 1 0 , ln

F (4) ? g ?(4) ? ln 4 ? 4 ? 2 ? ln 4 ? 2<0. … … … … … … … … … … ( 9 分 )
∴ F ( x) 即 g ?( x ) 在(3,4)内有零点,即 g ?( x ) 在(3,4)内存在极值. …………………………………(11 分) 又 ∵ g ( x) 在 (k , k ? 1) 上 存 在 极 值 , 且 k ? z , ∴ k = 3 . … … … … … ( 1 2 分 ) 22.解(Ⅰ)∵△AF1F2 的周长为 4 ? 2 3 , ∴ 2a ? 2c ? 4 ? 2 3, 即 a ? c ? 2 ? 3 . 又e ? 科 。 ……………………(1 分)

c 3 ? , 解得 a ? 2, c ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 1. ………………(3 分)[来源:学。 a 2
网 Z 。 X 。 X 。 K ]

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. … … … … … … … … … … … … ( 4 分 ) 4

(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 4), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ).

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 , ? y ? k ( x ? 4) ?
得 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 4 ? 0. … … … … … … … … … … … … … ( 6 分 )
2 2 2 2

则 x1 ? x2 ?

?32k 2 64k 2 ? 4 , x1 x2 ? ……………………………………(7 分) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

由 MQ ? ?QN ,得 (?4 ? x1 , ? y1 ,) ? ?( x2 ? 4, y2 ) ∴ ?4 ? x1 ? ? ( x2 ? 4), ∴ ? ? ?

???? ?

????

x1 ? 4 .……………………………………(8 分) x2 ? 4

设点 R 的坐标为( x0 , y0 ) ,由 MR ? ? RN , 得 ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), ∴ x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 ),

????

??? ?

解 得 x0 ?

x1 ? ? x2 ? 1? ?

x1 ?

x1 ? 4 ? x2 x2 ? 4 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) ? 1 2 . ………………(10 分) x1 ? 4 ( x1 ? x2 ) ? 8 1? x2 ? 4
64k 2 ? 4 ?32k 2 8 ? 4? ?? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

而 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2 ?

?32k 2 8 ( x1 ? x2 ) ? 8 ? ?8 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

8 2 ∴ x0 ? 1 ? 4k ? ?1, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 3 分 ) 8 1 ? 4k 2 故点 R 在定直线 x ? ?1 上. ………………………………………………(14 分) ?


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