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2012年浙江省杭州市高三第一次质量检测数学(理科)试题2012.1.11 (1)_图文

2012 年杭州市高三教学质量检测数学理科卷 评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 2 3 4 5 6 题号 B C B D A A 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 7 C 8 B 9 D 14. 120? . 17. [ 10 A

3 10 10

12. 16. ?

70 3
?k k 为偶数 k 为奇数 ??k ? 2

13. 3

15. (0,??)

5? 17? , ) 3 6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 18.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ?1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)

π π π 则 g ( x) ?| 2sin(2 x ? ) | ,由 kπ ? ? 2 x ? ? kπ ? π 6 2 6 kπ π kπ 5π kπ π kπ 5π ,则 g ( x) 的单调递减区间为[ ? , ? ] (k ? Z) . 6 分 ? ?x? ? 2 6 2 12 2 6 2 12 ? 2 2 ? 1 ? 5? (Ⅱ) 由题得: sin(2 A ? ) ? ,得 2 A ? ? ( , ? ) ,所以 cos(2 A ? ) ? ? 6 6 6 3 6 3
sin 2 A ? sin[(2 A ?
?

?

6

)?

?

6

] ? sin(2 A ?

?

6

) cos

?

6

? cos(2 A ?

?

6

) sin

?

6

1 3 2 2 1 3?2 2 ? ? ? ? 3 2 3 2 6 3?2 2 . 6

即 sin 2 A ?

8分

19.(本题满分 14 分) 2 1 4 1 (Ⅰ) ∵ a1 , a2 , a3 依次成等差数列,∴ a2 ? a1 ? a3 ,即: 4a2 ? 3a1 ? a3 . 3 3 3 3 2 设等比数列 {an } 公比为 q ,则 4a1q ? 3a1 ? a1q ,∴ q 2 ? 4q ? 3 ? 0 . ∴ q ? 1 (舍去),或 q ? 3 . 又 S3 ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? 13a1 ? 39 ,故 a1 ? 3 ,从而 an ? 3n . 6分

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 1 3 ? [3n ? 3] . (Ⅱ) 当 n ? 2 时, bn ? 3n ? ( ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 3n ? 3 1 3 3 3 2 1? 3 ?3 n ?1 ? 则 bn ? ? 1 n , [3 ? 3] n ? 2 ? ?2

1 9(1 ? 3n ?1 ) 1 3 9 ∴ Tn ? 3 ? [ ? 3(n ? 1)] ? ? 3n ?1 ? n ? . 2 1? 3 4 2 4
20.(本题满分 15 分)

8分

??? ? ??? ? ??? ? ? (Ⅰ) 设外接圆半径为 R,由 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 得: ??? ? ???? ??? ? 4OB ? 5OC ? ?3OA ,

??? ? ???? 平方得: 16R2 ? 40OB ? OC ? 25R 2 ? 9R 2 . ??? ? ???? 4 4 即: OB ? OC = ? R 2 ,则 cos ?BOC ? ? . 5 5 (Ⅱ) 解 1 设 AB 的中点为 D, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 则 CO ? AB ? (CD ? DO) ? AB ? CD ? AB ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 ??? ? (CA ? CB) ? (CB ? CA) ? (a 2 ? b 2 ) . 2 2 ??? ? ??? ? 1 2 b2 ? c 2 同理: BO ? CA ? (c ? a 2 ) ,从而 a2 ? b2 ? c2 ? a2 ,∴ =2. a2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解 2 ∵ CO ? AB ? BO ? CA ∴ CO ? (OB ? OA) ? BO(OA ? OC ) . ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 即: ?OC ? OB ? OC ? OA ? ?OB ? OA ? OB ? OC . 从而: ?R2 cos 2 A ? R2 cos 2B ? ?R2 cos 2C ? R2 cos 2 A . ∴ 2cos2 A ? cos2C ? cos2B . 即: 2(1 ? 2sin 2 A) ? 2 ? (2sin 2 B ? 2sin 2 C ) .
∴ 2sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,即 2a2 ? b2 ? c2 , b2 ? c 2 ∴ =2. a2 21.(本题满分 15 分) 2a ? 1 3 (Ⅰ) 当 ? ? 1 ,即: a ? ? 时, f ( x)max ? f (2) ? a 2 ? 7a ? 6 ? 0 . 2 2 故 a ? ?6 (舍去),或 a ? ?1 ; 2a ? 1 3 当? ? 1 ,即: a ? ? 时, f ( x)max ? f (0) ? a 2 ? 3a ? 0 . 2 2 故 a ? 0 (舍去)或 a ? ?3 . 综上得: a 的取值为: a ? ?1 或 a ? ?3 . (Ⅱ) 若 f ( x) 在 [? , ? ] 上递增,则满足:

7分

8分

8分

5分

? f (? ) ? ? 2a ? 1 , ? ? ;(2) ? 2 ? f (? ) ? ? 2a ? 1 即方程 f ( x) ? x 在 [? , ??) 上有两个不相等的实根. 2 方程可化为 x2 ? 2ax ? a 2 ? 3a ? 0 ,设 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3a ,
(1) ?

? 2a ? 1 ?? 2 ? ?a ? 1 则 ?? ? 0 ,解得: ? ? a ? 0 . 12 ? 2a ? 1 ? g (? )?0 2 ? 若 f ( x) 在 [? , ? ] 上递减,则满足:
(1) ?

5分

? f (? ) ? ? 2a ? 1 . ? ? ;(2) ? 2 ? f (? ) ? ?

?? 2 ? (2a ? 1)? ? a 2 ? 3a ? ? 由? 2 得,两式相减得 2 ? ? ? (2a ? 1) ? ? a ? 3a ? ? ,即 (? ? ? ) (?? ? )? a ( 2 ? 1? ) (? ? ?) ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 1 ? ?1 . 即 ? ? ?? ? 2a ? 2 .
∴ ? 2 ? (2a ? 1)? ? a 2 ? 3a ? ?? ? 2a ? 2 ,即 ? 2 ? (2a ? 2)? ? a 2 ? 5a ? 2 ? 0 .

同理: ? 2 ? (2a ? 2) ? ? a 2 ? 5a ? 2 ? 0 . 即方程 x2 ? (2a ? 2) x ? a 2 ? 5a ? 2 ? 0 在 (??, ? 设 h( x) ? x 2 ? (2a ? 2) x ? a 2 ? 5a ? 2 ,

2a ? 1 ] 上有两个不相等的实根. 2

? 2a ? 1 ?? 2 ? ?a ? 1 ? 5 1 则 ?? ? 0 ,解得: ? ? a ? ? . 12 3 ? 2a ? 1 ? h( ? )?0 2 ? 5 1 1 综上所述: a ?[? , ? ) ? [? ,0) . 12 3 12
22.(本题满分 14 分) (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x 2 ? p , g '( x) ? 30 x ?

5分

q , x ? f ?(1) ? g ?(1) ?6 ? p ? 30 ? q ? p ? 48 由题意得: ? ,故 ? ,解得: ? . ? f (1) ? g (1) ?2 ? p ? 35 ? 15 ? q ? 24

5分

(Ⅱ) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x3 ? px ? r ? 15 x 2 ? q ln x ,

q . x ? h?(1) ? 0 ?6 ? p ? 30 ? q ? 0 ? q ? p ? 24 由? 得: ? ,得 ? . ? h(1) ? ?13 ?2 ? p ? r ? 15 ? ?13 ?r ? ? p p ? 24 6 x3 ? 30 x 2 ? px ? p ? 24 ∴ h?( x) ? 6 x 2 ? p ? 30 x ? ? x x 2 6 x3 ? 6 x 2 ? 2 4x 2? p? x ?p 2 4 ?( x 1 ) ? (x 6 ? 2x4 ? 2 4p . ? ? x x 由题意知 h( x) 在 x ? x1 和 x ? x2 处取得极小值,则 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,
∴ h?( x) ? 6 x 2 ? p ? 30 x ?

)

?m(0) ? 0 设 m( x) ? 6 x 2 ? 24 x ? p ? 24 ,则 ? ,从而 24 ? p ? 42 . ? m(1) ? 0 ? x1 ? x2 ? 4 ? 且? p ? 24 ,设 x1 x2 ? t ,则 0 ? t ? 3 . x1 x2 ? ? 6 ?

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 2( x13 ? x23 ) ? p( x1 ? x2 ) ? 2 p ? 15( x12 ? x2 2 ) ? ( p ? 24)ln( x1 x2 )
? 2( x1 ? x2 )[( x1 ? x2 )2 ? 3x1 x2 ] ? 4 p ? 2 p ? 15[( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ] ? ( p ? 24)ln( x1 x2 ) ? ?112 ? 6 ? x1 x2 ? 2 p ? ( p ? 24)ln( x1 x2 ) 6分 ? ?112 ? 6t ? 12t ? 48 ? 6t ln t ? ?64 ? 18t ? 6t ln t . 设 F (t ) ? ?64 ? 18t ? 6t ln t , 则 F ?(t ) ? 18 ? (6ln t ? 6) ? 6(2 ? ln t ) ? 0 ,∴ F ?(t ) 在(0,3)上是增函数, ∴ h( x1 ) ? h( x2 ) ? F (3) ? ?10 ? 18ln3 . 则 k ln3 ?10 ? ?10 ?18ln3 ,从而 k ? ?18 . 即:所求的 k 的最小值为 ?18 . 3分