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江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(四) Word版含答案


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南昌市 10 所省重点中学命制 2013 届高三第二次模拟突破冲刺 (四) 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x x ? 1 ? 0} , B ? { x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) ? B ? A. { x ? 1 ? x ? 3} C. { x x ? ? 1} 2.设 a , b 为实数,若复数 A. a ? 1, b ? 3 3.直线 x ? B. { x ? 1 ? x ? 3} D. { x x ? 3}

1 ? 2i a ? bi

? 1 ? i ,则
C. a ?

B. a ? 3, b ? 1
2

1 2

,b ?

3 2

D. a ?

3 2

,b ?

1 2

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
B.

A.

? 6

? 3
2

C.

? 2

D.

2? 3

4.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆”的
2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C.

2 3

D.

1 3

6.函数 y ? ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x ? 是 A.奇函数且在 ? 0,

? ?

??

? 上单调递增 2?

B.奇函数且在 ?

??

? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

C.偶函数且在 ? 0,

? ?

??

? 上单调递增 2?

D.偶函数且在 ?

7.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中

B ?

? A

水流方向

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 的速度大小为 A. 8 km/h C. 2 34 km/h 8.已知函数 f ( x ) ? B. 6 2 km/h D. 10 km/h 图

1 5

x 5 ? x 3 ? 4 x ( x ? R ), 数列{an } 是等差数列,

a3 ? 0, 则 f ( a1 ) ? f ( a3 ) ? f ( a5 ) 的值
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 O D.可正可负

9. 已知两定点 A( ?1, 0) 和 B (1, 0) , 动点 P ( x, y ) 在直线 l : y ? x ? 2 上移动, 椭圆 C 以 A, B 为 焦点且经过点 P ,记椭圆 C 的离心率为 e( x ) ,则函数 y ? e( x ) 的大致图像是( )

10.已知方程

sin x x

,则下面结论正确的是: ? k 在 (0, ?? ) 有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? )

A. tan(? ? C. tan( ? ?

?
4

)?

1? ? 1??

B. tan(? ? D. tan( ? ?

?
4
?
4

)?
)?

1?? 1? ?
1? ? 1? ?

?
4

)?

1? ? 1? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上.) 11.运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为 .

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12.若二项式 ( x ? 系数为

1 2 x

) n 的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式系数相等,则展开式中 x 6 的

.(用数字作答)

13.已知函数 f ( x ) ? ? 的面积是__________。

? 2x ? x2 , 0 ? x ? 1 ? ?? x ?
2

, ?1 ? x ? 0

,则函数 f ( x ) 图像与直线 y ? x 围成的封闭图形

14.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对任意的 x1 、 x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为“非减函数”.设函数 g ( x ) 在 [0,1] 上为“非减函数”,且满足以下三个 条件: (1) g (0) ? 0 ; (2) g ( ) ?

x

1 2

3

(3) g (1 ? x ) ? 1 ? g ( x ) ,则 g (1) ? g ( x) ;



g(

5 12

)?



三.选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共 5 分. 15. ( 1 ) 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 定 点 A ? 2, ? ? , 点 B 在 直 线 (
? 2 ? ? 3 ?

? c o s? ?

3? s i n ? ?

上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为 0 .



15.(2) (不等式选做题)不等式 x ? 1 ? x 的解集是

四、解答题(本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B , C 的对边, C ? 2 A , cos A ? (1)求 cos B, cos C 的值; (2)若 BA ? BC ?

3 4

.

??? ??? ? ?

27 2

,求边 AC 的长.

17. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形△ ABCD 中,AB//CD,AD=DC-=CB=1, ? ABC=60。 ,四边形 ACFE 为矩形,

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 平面 ACFE 上平面 ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)若 M 为线段 EF 的中点,设平面 MAB 与平面 FCB 所成角为 ? ,求 cos ? .

18.(本小题满分12分) 在平面 xoy 内, 不等式 x ? y ? 4 确定的平面区域为 U , 不等式组 ?
2 2

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 3y ? 0

确定的平面

区域为 V . (1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域 U 中任取3个“整点”,求这些“整点”中恰 好有2个“整点”落在区域 V 中的概率; (2)在区域 U 中每次任取一个点,连续取3次,得到3个点,记这3个点落在区域 V 中的个 数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 满足: a1 ?

a2

?

?

a3

?

2

? ... ?

an

?

n ?1

? n 2 ? 2 n (其中常数 ? ? 0, n ? N * ) .

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)当 ? ? 4 时,数列 ? a n ? 中是否存在不同的三项组成一个等比数列;若存在,求出满足 条件的三项,若不存在,说明理由。

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 20.(本题满分 13 分)

已知椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1),其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且

???? ???? ? F1 P ? F2 P ? ?6 .
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1 M ? F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否过定 点?请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 对于定义在实数集 R 上的两个函数 f ( x ), g ( x ) ,若存在一次函数 h( x ) ? kx ? b 使得,对任 意的 x ? R , 都有 f ( x ) ? h( x ) ? g ( x ) , 则把函数 h( x ) 的图像叫函数 f ( x ), g ( x ) 的“分界线”。 现已知 f ( x ) ? ( ax ? 2 x ? 2)e ( a ? 0 , e 为自然对数的底数) g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 1 ,
2 x 2

(1)求 f ( x ) 的递增区间; (2)当 a ? 0 时,函数 f ( x ), g ( x ) 是否存在过点 (0,1) 的“分界线”?若存在,求出函数 h( x ) 的解析式,若不存在,请说明理由。

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 参考答案 一、选择题:ADDCA CBAAC

(2)∵ BA ? BC ? ca cos B ?

??? ??? ? ?

9 16

ac ?

27 2

,∴ ac ? 24 ;又由正弦定理

a sin A

?

c sin C

,得

c?

3 2

a ,解得 a ? 4 , c ? 6 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 25 , b ? 5 ,

即边 AC 的长为 5. 17. (1)证明:在梯形 ABCD 中,

? AB // CD, AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60?,? AB ? 2 ,
? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60? ? 3,? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,

? BC ? AC ,

?平面 ACFE ? 平面 ABCD ,平面 ACEF ? 平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD , ? BC ? 平面 ACFE 。
(2)由(1)可建立分别以直线 CA, CB , CF 为 x 轴, y 轴, z 轴的空间直角坐标系,则

C ? 0, 0, 0 ? , A

?

3, 0, 0 , B ? 0,1, 0 ? , M (

?

3 2

, 0,1)

??? ? ???? ? 3 ? AB ? ( ? 3,1, 0), BM ? ( , ?1,1) , 2
设 n1 ? ? x , y , z ? 是平面 MAB 的一个法向量,

??

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?? ??? ? ?? 3x ? y ? 0 ?? ? n1 ? AB ? 0 3 ? ? 由 ? ?? ???? ,得 ? 3 ,取 x ? 1 ,得 n1 ? (1, 3, ), ? 2 x? y?z ?0 ? ? n1 ? BM ? 0 ? ? 2 ?? ? ? n2 ? ?1, 0, 0 ? 是平面 FCB 的一个法向量,
?? ?? ? | n1 ? n2 | 2 19 ? ? cos ? ? ?? ?? ? . 19 | n1 | ? | n2 |
18.解: (1) 依题可知平面区域 U 的整点为:(0, 0), (0, ?1), (0, ?2), ( ?1, 0), ( ?2, 0), ( ?1, ?1) 共 有13个,上述整点在平面区域 V 内的为: (0, 0), (1, 0), (2, 0) 共有3个, ∴P ?
1 C32 C10

C

3 13

?

15 143

.

1 1 ? (2) 依题可得, 平面区域 U 的面积为 4? , 设扇形区域中心角为 ? , tan ? ? 2 3 ? 1 则 1 1 1? ? 2 3 ? 1 ? 得 ? ? ,平面区域 V 与平面区域 U 相交部分的面积为 ? 4? ? . 4 8 2 1 在区域 U 任取1个点, 则该点在区域 V V 的概率为 , 随机变量 X 的可能取值为:0,1, 2, 3 . 8
1 343 P ( X ? 0) ? (1 ? ) 3 ? 8 512 , 1 1 21 P ( X ? 2) ? C 32 ? ( ) 2 (1 ? ) ? 8 8 512 ,
∴ X 的分布列为

1 1 147 1 P ( X ? 1) ? C 3 ? ( )(1 ? ) 2 ? 8 8 512 , 1 1 P ( X ? 3) ? C 33 ? ( ) 3 ? 8 512 ,

X P

0

1

2

3

343 512

147 512

21 512

1 512

∴ X 的数学期望: EX ?

3 8

.

(或: X ~ B (3, ) ,故 EX ? 3 ?

1 8

1 8

?

3 8



19.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 3 , 当 n ? 2 时,因为 a1 ?

a2

?

?

a3

?

2

?? ?

an ?1

?

n?2

?

an

?

n

? n 2 ? 2n

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com 所以: a1 ?

a2

?

?

a3

?

2

?? ?

an ?1

?

n?2

? ( n ? 1) 2 ? 2( n ? 1)

两式相减得到:

an

? n ?1

? 2 n ? 1 ,即 an ? (2 n ? 1) ? n ?1 ,又 a1 ? 3 ? (2 ? 1 ? 1)? 1?1 ,
n ?1

所以数列 ? a n ? 的通项公式是 an ? (2 n ? 1) ? (2)当 ? ? 4 时, an ? (2 n ? 1) ? 4
n ?1



,假设存在 a r , a s , at 成等比数列,

则 (2 r ? 1) ? 4 r ?1 ? (2t ? 1) ? 4 t ?1 ? (2 s ? 1) 2 ? 4 2 s ? 2 . 整理得 (2 r ? 1) ? (2t ? 1) ? 4 r ? t ? 2 s ? (2 s ? 1) 2 . 由奇偶性知 r ? t ? 2s ? 0 r+t-2s=0. 所以 (2 r ? 1) ? (2t ? 1) ? ( r ? t ? 1) 2 ,即 ( r ? t ) 2 ? 0 ,这与 r ? t 矛盾, 故不存在这样的正整数 r , s , t ,使得 ar , a s , at 成等比数列. 20. 解 : ( 1 ) 设 点 F1 , F2 的 坐 标 分 别 为 ( ?c, 0), (c, 0)(c ? 0) , 则

???? ???? ? ???? ???? ? F1 P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1) , 故 F1 P ? F2 P ? (3 ? c )(3 ? c ) ? 1 ? 10 ? c 2 ? ?6 , 可 得

c ? 4,
所以 2 a ?| PF1 | ? | PF2 |?

(3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 , a ? 3 2 ,

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 18 ? 16 ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为

x2 18

?

y2 2

? 1.

(2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m ), (5, n) ,则 F1 M ? (9, m ) , F2 N ? (1, n ) . 由

?????

???? ?

????? ???? ? ????? ???? ? F1 M ? F2 N ,可得 F1 M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 ,
又圆 C 的圆心为 (5,

m?n

( x ? 5) 2 ? ( y ?

m?n 2

)2 ? (

2 |m?n| 2

), 半径为

|m?n| 2

,故圆 C 的方程为

) 2 ,即 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( m ? n ) y ? mn ? 0 ,也就是

( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( m ? n ) y ? 9 ? 0 ,令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2 ,
故圆 C 必过定点 (8, 0) 和 (2, 0) . 21.解: (1) f '( x ) ? (2 a ? 2)e ? ( ax ? 2 x ? 2)e ? ( x ? 2)( ax ? 2)e ,
x 2 x x

由 f '( x ) ? 0 得 ( x ? 2)( ax ? 2) ? 0

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com ①若 a ? 0 ,则 x ? ?2 ,此时 f ( x ) 的递增区间为 ( ?2, ?? ) ; ②若 0 ? a ? 1 ,则 x ? ?

2 a

或 x ? ?2 ,此时 f ( x ) 的递增区间为 ( ?? , ? ), ( ?2, ?? ) ;

2

a

③若 a ? 1 ,则 f ( x ) 的递增区间为 ( ??, ?? ) ; ④若 a ? 1 ,则 x ? ?2 或 x ? ?

2 a

,此时 f ( x ) 的递增区间为 ( ?? , ?2), ( ?

2 a

, ?? ) 。

( 2 ) 当 a ? 0 时 , f (x ) ?

(? x2

ex 2, 假 设 存 在 实 数 k , 使 不 等 式 )

f ( x ) ? kx ? 1 ? ? x 2 ? 4 x ? 1 对 x ? R 恒成立,
由 kx ? 1 ? ? x ? 4 x ? 1 得到 x ? ( k ? 4) x ? 0 对 x ? R 恒成立,
2
2

则 ( k ? 4) ? 0 ,得 k ? 4 ,
2

下面证明 (2 x ? 2)e ? 4 x ? 1 对 x ? R 恒成立。
x

设 ? ( x ) ? (2 x ? 2)e ? 4 x ? 1 , ? '( x ) ? (2 x ? 4)e ? 4 , ? '(0) ? 0 ,
x x

且 x ? 0 时, (2 x ? 4)e ? 4 ? 1 ? 4 , ? '( x ) ? 0 ,
x

x ? 0 时, (2 x ? 4)e x ? 4e x ? 4, ? '( x ) ? 0 ,
所以 ? ( x ) min ? ? (0) ? 1 ? 0 ,即 (2 x ? 2)e ? 4 x ? 1 对 x ? R 恒成立。
x

综上,存在函数 h( x ) ? 4 x ? 1 的图像是函数 f ( x ), g ( x ) 过点 (0,1) 的“分界线”。


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