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【步步高】届高三数学大一轮复习 曲线与方程学案 理 新人教A版


学案 55

曲线与方程

导学目标: 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系.

自主梳理 1.曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一 个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)__________________都是这个方程的______. (2)以这个方程的解为坐标的点都是________________, 那么, 这个方程叫做曲线的方程, 这条曲线叫做方程的曲线. 2.平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质. 3.求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示________________________; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P=____________; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为________; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________. 自我检测 2 1.(2011?湛江月考)已知动点 P 在曲线 2x -y=0 上移动,则点 A(0,-1)与点 P 连线 中点的轨迹方程是( ) 2 2 A.y=2x B.y=8x 2 2 C.2y=8x -1 D.2y=8x +1 2 2 2 2 2.一动圆与圆 O:x +y =1 外切,而与圆 C:x +y -6x+8=0 内切,那么动圆的圆心 P 的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 3.(2011?佛山模拟)已知直线 l 的方程是 f(x,y)=0,点 M(x0,y0)不在 l 上,则方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示的曲线是( ) A.直线 l B.与 l 垂直的一条直线 C.与 l 平行的一条直线 D.与 l 平行的两条直线 → → 4.若 M、N 为两个定点且|MN|=6,动点 P 满足PM?PN=0,则 P 点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2 2 5.(2011?江西)若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交 点,则实数 m 的取值范围是( ) 3 3 3 3 A.(- , ) B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 C.[- 3 3 , ] 3 3 D.(-∞,- 3 3 )∪( ,+∞) 3 3

探究点一 直接法求轨迹方程 例 1 动点 P 与两定点 A(a,0), B(-a,0)连线的斜率的乘积为 k, 试求点 P 的轨迹方程,
1

并讨论轨迹是什么曲线.

→ → 变式迁移 1 已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN||MP|+ → → MN?NP=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为______________. 探究点二 定义法求轨迹方程 例 2 (2011?包头模拟)已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|= 4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说 明轨迹是何种曲线.

? ? ? ? 变式迁移 2 在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?- ,0?,C? ,0?,且满足条件 ? 2 ? ?2 ? 1 sin C-sin B= sin A,则动点 A 的轨迹方程是( ) 2 2 2 16x 16y A. 2 - 2=1 (y≠0) a 15a 2 2 16y 16x B. 2 - 2 =1 (x≠0) a 3a 2 2 16x 16y C. 2 - 2=1 (y≠0)的左支 a 15a 2 2 16x 16y D. 2 - 2 =1 (y≠0)的右支 a 3a 探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程 2 2 例 3 如图所示,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N.求线 段 QN 的中点 P 的轨迹方程.
a a

2

变式迁移 3 已知长为 1+ 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,P 是 2→ → AB 上一点,且AP= PB.求点 P 的轨迹 C 的方程. 2

分类讨论思想的应用 例 (12 分)

过定点 A(a, b)任作互相垂直的两直线 l1 与 l2, 且 l1 与 x 轴交于点 M, l2 与 y 轴交于点 N, 如图所示,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程. 多角度审题 要求点 P 坐标,必须先求 M、N 两点,这样就要求直线 l1、l2,又 l1、l2 过定点且垂直,只要 l1 的斜率存在,设一参数 k1 即可求出 P 点坐标,再消去 k1 即得点 P 轨迹 方程. 【答题模板】 解 (1)当 l1 不平行于 y 轴时,设 l1 的斜率为 k1,则 k1≠0.因为 l1⊥l2, 1 所以 l2 的斜率为- ,

k1 l1 的方程为 y-b=k1(x-a),①
1

l2 的方程为 y-b=- (x-a),② k1 b k1 a 在②中令 x=0,得 N 点的纵坐标为 y1=b+ ,[6 分] k1
在①中令 y=0,得 M 点的横坐标为 x1=a- ,[4 分]

a b ? ?x=2-2k , 设 MN 中点 P 的坐标为(x,y),则有? b a ? ?y=2+2k ,
1 1

3

消去 k1,得 2ax+2by-a -b =0 (x≠ ).③[8 分] 2

2

2

a

? ? (2)当 l1 平行于 y 轴时,MN 中点为? , ?,其坐标满足方程③. ?2 2? 2 2 综合(1)(2)知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax+2by-a -b =0.[12 分] 【突破思维障碍】 引进 l1 的斜率 k1 作参数,写出 l1、l2 的直线方程,求出 M、N 的坐标,求出点 P 的坐标, 得参数方程,消参化为普通方程,本题还要注意直线 l1 的斜率是否存在. 【易错点剖析】
a b

? ? 当 AM⊥x 轴时,AM 的斜率不存在,此时 MN 中点为? , ?,易错点是把斜率不存在的情 ?2 2?
a b

? ? 况忽略,因而丢掉点? , ?. ?2 2?
a b
1.求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系,这些条件简单明确,易于表达成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为 直接法.用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个步 骤,但最后的证明可以省略.(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线 的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求 出轨迹方程.(3)代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点 P(x, y)却随另一动点 Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容易求 得,则可先将 x′,y′表示为 x、y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然后整理得 P 的轨 迹方程, 代入法也称相关点法. (4)参数法: 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、 纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使 x、y 之间建立起联系,然后再从所求 式子中消去参数,得出动点的轨迹方程. 2.本节易错点:(1)容易忽略直线斜率不存在的情况;(2)利用定义求曲线方程时,应考 虑是否符合曲线的定义.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点,则动点 M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.(2011?唐山模拟)已知 A、B 是两个定点,且|AB|=3,|CB|-|CA|=2,则点 C 的轨 迹为( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.椭圆 D.线段 → → 3. 长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上移动, AC=2CB, 则点 C 的轨迹是( ) A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

4

4.(2011?银川模拟)如图,圆 O:x +y =16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线 l 是圆 O 的一条切线,若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是 ( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 5.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足|MF1|-|MF2|=2, 4 3 则动点 M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一个分支 C.两条射线 D.一条射线 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围 的图形的面积等于______. 7.(2011?泰安月考)已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则 顶点 A 的轨迹方程为______________. → → ? y? 8.平面上有三点 A(-2,y),B?0, ?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 ? 2? __________. 三、解答题(共 38 分) 2 9.(12 分)已知抛物线 y =4px (p>0),O 为顶点,A,B 为抛物线上的两动点,且满足 OA⊥OB,如果 OM⊥AB 于点 M,求点 M 的轨迹方程.

2

2

x2 y2

10.(12 分)(2009?宁夏,海南)已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点,焦点 在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, =λ ,求点 M |OM| 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

11. (14 分)(2011?石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以 F1(0, - 3)和 F2(0, 3 3)为焦点、离心率为 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在 2 → → → 点 P 处的切线与 x 轴,y 轴的交点分别为 A,B,且OM=OA+OB.求:
5

(1)点 M 的轨迹方程; → (2)|OM|的最小值.

学案 55 曲线与方程 自主梳理 1 . (1) 曲线上的点的坐标 解 (2) 曲线上的点 3.(1) 曲线上任意一点 M 的坐标 (2){M|p(M)} (4)最简形式 (5)曲线上 自我检测 1.C 2.A 3.C 4.A 5.B [

C1:(x-1)2+y2=1, C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+1). 当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点; 2 2 当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1) +y =1 与直线 y=m(x+1)有两交点,当圆与直
线相切时,m=± 3 , 3 即直线处于两切线之间时满足题意, 3 3 则- <m<0 或 0<m< . 3 3 综上知-

3 3 <m<0 或 0<m< .] 3 3 课堂活动区 例 1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时, 不能仅仅根据方程的外 表草率地作出判断; ②由于已知条件中,直线 PA、PB 的斜率存在,因此轨迹曲线应除去 A、B 两点; ③一般地,方程 + =1 所表示的曲线有以下几种情况:

x2 y2 A B

A>B>0,表示焦点在 x 轴上的椭圆; A=B>0,表示圆; 0<A<B,表示焦点在 y 轴上的椭圆; A>0>B,表示焦点在 x 轴上的双曲线; A<0<B,表示焦点在 y 轴上的双曲线; A,B<0,无轨迹. y y 解 设点 P(x,y),则 kAP= ,kBP= . x-a x+a y y 2 2 2 由题意得 ? =k,即 kx -y =ka . x-a x+a 2 2 2 ∴点 P 的轨迹方程为 kx -y =ka (x≠±a).(*)
1° 2° 3° 4° 5° 6°
6

(1)当 k=0 时,(*)式即 y=0,点 P 的轨迹是直线 AB(除去 A、B 两点).

x2 y2 =1, a ka2 ①若 k>0,点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(除去 A、B 两点). x2 y2 ②若 k<0,(*)式可化为 2+ =1. a ? -ka2? 1° 当-1<k<0 时,点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去 A、B 两点); 2 2 2 2° 当 k=-1 时, (*)式即 x +y =a , 点 P 的轨迹是以原点为圆心, |a|为半径的圆(除 去 A、B 两点); 3° 当 k<-1 时,点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去 A、B 两点). 2 变式迁移 1 y =-8x
(2)当 k≠0 时,(*)式即 2- → → → 解析 由题意:MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP=(x-2,y), → → → → ∵|MN||MP|+MN?NP=0, 2 2 2 2 ∴ 4 +0 ? ? x+2? +y +(x-2)?4+y?0=0, 2 移项两边平方,化简得 y =-8x. 例 2 解题导引 (1)由于动点 M 到两定点 O1、O2 的距离的差为常数,故应考虑是否符 合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出其 方程,而不需再将几何等式借助坐标转化; (2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意: “轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念, 前 者要指出曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围). 解

如图所示,以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.由|O1O2| =4, 得 O1(-2,0)、O2(2,0). 设动圆 M 的半径为 r,则 由动圆 M 与圆 O1 内切,有|MO1|=r-1; 由动圆 M 与圆 O2 外切,有|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=3<4. 3 2 ∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点,实轴长为 3 的双曲线的左支.∴a= ,c=2,∴b = 2 7 c2-a2= . 4 2 2 4x 4y ∴点 M 的轨迹方程为 - =1 (x<0). 9 7 1 变式迁移 2 D [∵sin C-sin B= sin A,由正弦定理得到 2 1 1 |AB|-|AC|= |BC|= a(定值). 2 2 ∴A 点轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线右支,其中实半轴长为 ,焦距为|BC|=a. 4 ∴虚半轴长为
2 2 ?a?2-?a?2= 3a,由双曲线标准方程得为16x -16y =1 (y≠0)的右 ?2? ?4? 4 2 a2 3a ? ? ? ?

a

支.] 例 3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法,是求轨迹方程常用的方法.其题目 特征是:点 A 的运动与点 B 的运动相关,且点 B 的运动有规律(有方程),只需将 A 的坐标转
7

移到 B 的坐标中,整理即可得点 A 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(x, y), 点 Q 的坐标为(x1, y1),则点 N 的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2.① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2, y-y1 ∴ =1,即 x-y+y1-x1=0.② x-x1 3 1 x = x+ y-1, ? ? 2 2 联立①②解得? 1 3 y = x+ y-1. ? ? 2 2
1 1 2 2



又点 Q 在双曲线 x -y =1 上, 2 2 ∴x1-y1=1.④ ③代入④,得动点 P 的轨迹方程是 2 2 2x -2y -2x+2y-1=0. 变式迁移 3 解 设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y), 2→ → → → AP= PB,又AP=(x-x0,y),PB=(-x,y0-y), 2 所以 x-x0=- 得 x0=?1+ 2 2 x,y= (y0-y) 2 2

? ?

2? ?x,y0=(1+ 2)y. 2?
2 2 2

因为|AB|=1+ 2,即 x0+y0=(1+ 2) , 2? ?2 ?? 2 2 所以??1+ ?x? +[(1+ 2)y] =(1+ 2) , 2 ? ? ?? 化简得 +y =1.∴点 P 的轨迹方程为 +y =1. 2 2 课后练习区 1.B [

x2

2

x2

2

x2 y2 如图所示,由题知|PF1|+|PF2|=2a(设椭圆方程为 2+ 2=1,其中 a>b>0). a b 连接 MO,由三角形的中位线可得 |F1M|+|MO|=a (a>|F1O|),则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆.] 2.B [A、B 是两个定点,|CB|-|CA|=2<|AB|,所以点 C 轨迹为双曲线的一支.] 2 2 3.C [设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a +b =9,①
→ → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),

a=3x, ? ? 即? 3 b= y, ? ? 2



代入①式整理可得 x + =1.] 4 4.B [

2

y2

8

设抛物线的焦点为 F,因为 A、B 在抛物线上, 所以由抛物线的定义知, A、 B 到 F 的距离 AF、 BF 分别等于 A、 B 到准线 l 的距离 AM、 BN(如 图所示), 于是|AF|+|BF|=|AM|+|BN|. 过 O 作 OR⊥l,由于 l 是圆 O 的一条切线,所以四边形 AMNB 是直角梯形,OR 是中位线, 故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN| =2|OR|=8>4=|AB|. 根据椭圆的定义知,焦点 F 的轨迹是一个椭圆.] 5.D [因为|F1F2|=2,|MF1|-|MF2|=2, 所以轨迹为一条射线.] 6.4π 2 2 2 2 2 2 解析 设 P(x,y),由题知有:(x+2) +y =4[(x-1) +y ],整理得 x -4x+y =0, 2 2 配方得(x-2) +y =4,可知圆的面积为 4π . 2 2 7.(x-10) +y =36 (y≠0) 解析 方法一 直接法.

? ? 设 A(x,y),y≠0,则 D? , ?, ?2 2?
x y
∴|CD|=

?x-5?2+y =3. ?2 ? 4 ? ?
2 2

2

化简得(x-10) +y =36, ∵A、B、C 三点构成三角形, ∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0. 方法二

定义法.如图所示, 设 A(x,y),D 为 AB 的中点,过 A 作 AE∥CD 交 x 轴于 E, 则 E(10,0). ∵|CD|=3,∴|AE|=6, ∴A 到 E 的距离为常数 6. ∴A 的轨迹为以 E 为圆心,6 为半径的圆, 2 2 即(x-10) +y =36. 又 A、B、C 不共线,故 A 点纵坐标 y≠0. 2 2 故 A 点轨迹方程为(x-10) +y =36 (y≠0). 2 8.y =8x y? → ? y? → ? 解析 AB=?2,- ?,BC=?x, ?. 2? ? ? 2? → → → → ∵AB⊥BC,∴AB?BC=0, 得 2?x- ? =0,得 y =8x. 2 2 9.解 设 M(x,y),直线 AB 斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+b.
9

y y

2

由 OM⊥AB 得 k=- . 设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 2 由 y =4px 及 y=kx+b 消去 y, 得 k x +x(2kb-4p)+b =0,所以 x1x2= 2. 消去 x,得 ky -4py+4pb=0, 4pb 所以 y1y2= .(4 分)
2 2 2 2

x y

b2 k

k

由 OA⊥OB,得 y1y2=-x1x2, 4pb b2 所以 =- 2,b=-4kp.

k k 故 y=kx+b=k(x-4p).(8 分) x 用 k=- 代入, y 2 2 得 x +y -4px=0 (x≠0).(10 分) AB 斜率不存在时,经验证也符合上式. 2 2 故 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0 (x≠0).(12 分)
10 .解
? ?a=4, ? ? ?c=3,

(1) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a 、 c ,由已知得 ?
2 2 2

? ?a-c=1, ?a+c=7, ?

解得

又∵b =a -c ,∴b= 7,

所以椭圆 C 的方程为 + =1.(4 分) 16 7 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4], 2 2 |OP| 9x +112 2 2 由已知 及点 P 在椭圆 C 上可得 =λ , 2=λ 2 2 |OM| 16? x +y ? 2 2 2 2 整理得(16λ -9)x +16λ y =112, 其中 x∈[-4,4].(5 分) 3 2 ①当 λ = 时,化简得 9y =112, 4 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4). 3 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.(7 分) 3 x2 y2 ②当 λ ≠ 时,方程变形为 + =1, 4 112 112 2 2 16λ -9 16λ 其中 x∈[-4,4]. 3 当 0<λ < 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分. 4 3 当 <λ <1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分; 4 当 λ ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆.(12 分) 11.解 (1)椭圆的方程可写为 2+ 2=1,其中 a>b>0,

x2

y2

y2 x2 a b

10

a -b =3 ? ? 由? 3 3 = ? a 2 ?

2

2

得?

?a =4 ? ? ?b =1
2

2

,所以曲线 C 的方程为 x + =1(0<x<1,0<y<2).(3 分) 4 2x

2

y2

y=2 1-x2(0<x<1),y′=-

. 2 1-x 设 P(x0,y0),因为 P 在 C 上,有 0<x0<1, 4x0 y0=2 1-x2 , 0,y′|x=x0=-

y0 4x0 得切线 AB 的方程为 y=- (x-x0)+y0. y0
(6 分)

1 4 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x= ,y= .

x0

y0

→ → → 由OM=OA+OB得点 M 的坐标为(x,y), 1 4 由 x0,y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方程为 2+ 2=1(x>1,y>2).(10 分)

x

y

→ 2 2 2 2 (2)|OM| =x +y ,y = 1-

4

4 =4+ 2 , 1 x -1

x2

4 → 2 2 所以|OM| =x -1+ 2 +5≥4+5=9, x -1 4 2 当且仅当 x -1= 2 ,即 x= 3时,上式取等号. x -1 → 故|OM|的最小值为 3.(14 分)

11


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2010 年高考数学轮复习精品学案(人教版 A 版) 圆锥曲线方程及性质一. 【课标要求】 1. 了解圆锥曲线的实际背景, 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中...

2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――圆锥曲...

2014 年高考数学轮复习精品学案(人教版 A 版) 圆锥曲线方程及性质一. 【课标要求】 1. 了解圆锥曲线的实际背景, 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中...

2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――曲线方...

2010年高考数学轮复习精品学案(人教版A版)――...三. 【要点精讲】 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)...(2009 辽宁卷)以知 F 是双曲线 支上的动点,...