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安徽省示范高中2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)


安徽省示范高中 2015 届高三第一次联考

数学(理科)
第一卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 【题文】 (1)设是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数, z + z =2, z ? z ? 2 则 z 的虚部是

B. ? i C. ? 1 A.1 【知识点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 . L4
【答案解析】C

D. ? 1

解 析 : 设 z ? a ? bi , 则 z ? a ? bi , z ? z ? 2a , 所 以 a=1 ;

z ? z ? a 2 ? b2 ? 2 ,则 b ? ?1 ,所以 z ? 1 ? i ,虚部为 ?1 ,故选 C.
【思路点拨】利 用 复 数 的 除 法 运 算 化 简 给 出 的 复 数 , 由 共 轭 复 数 的 概 念 求 解 . 【题文】(2)双曲线 x - 3 y 2 ? -1 的渐近线的倾斜角为
2

A.

? 6

B.

5? 6

C.

2? ? 或 3 3

D.

5? ? 或 6 6

【知识点】双 曲 线 的 简 单 性 质 . H6 【答案解析】 D 解析: 双曲线 x - 3 y 2 ? -1 的渐近线为 y ? ?
2

5? ? 3 或 , 所以倾斜角为 x, 6 6 3

故选 D. 【思路点拨】求 出 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 , 再 利 用 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 , 即 可 得 出 结论.

? x? y?2?0 ? 【题文】 (3)若 x、 y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 则 z ? y ? x 的最大值为 ? y?0 ?
A.2 B.-2 【知识点】简 单 线 性 规 划 . E5 【答案解析】A C.1 D.-1

解析:线性可行域如图所示,

三个顶点坐标分别为(0,2) , (2,0) , (-1,0) ,通过上顶点时 Z 值最大。故选 A. 【思路点拨】作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 , 利 用 线 性 规 划 的 知 识 , 通 过 平 移 即 可 求 z 的最大值. 【题文】 (4)已知 m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,则下列说法正确的是 A. m ? ? , n / / m ? n / /? B. m ? ? , n ? m ? n ? ? C. m ? ? , n ? ? , m / / n ? ? / / ? D. n ? ? , n ? ? ? ? ? ? 【知识点】空 间 中 直 线 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系 . G4 G5 【答案解析】D 相交,故选 D. 【思路点拨】分 别 根 据 线 面 平 行 和 线 面 垂 直 的 性 质 和 定 义 进 行 判 断 即 可 . 【题文】(5)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为 解析:A 选项可能有 n ? ? ,B 选项也可能有 n ? ? ,C 选项两平面可能

A.2 B.3 【知识点】程 序 框 图 .L1 【答案解析】C

C.4

D.5

解析:k=0 时, cos A ? sin A ? 1 ;k=1 时, cos A ? sin A ;k=2 时,

cos A ? sin A ;k=3 时, cos A ? sin A ;k=4 时, cos A ? sin A ;故选 C.
【思路点拨】本 题 考 查 了 程 序 框 图 中 的 当 型 循 环 结 构 , 当 型 循 环 结 构 是 先 判 断 再 执行,满足条件进入循环体,不满足条件算法结束. 【题文】 (6)“ 0 ? k ? 9 ”是“曲线 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

x2 y2 x2 y2 ? =1 与曲线 ? =1 的焦距相同”的 25 9 ? k 25-k 9
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【知识点】充分必要条件。A2

x2 y2 x2 y2 ? =1 与曲线 ? =1 的焦距都 【答案解析】A 解析:当 0 ? k ? 9 时,曲线 25 9 ? k 25-k 9
是 2 34 ? k ,当 k=0 时,曲线

x2 y2 x2 y2 ? =1 与曲线 ? =1 的焦距相同,故选 A. 25 9 ? k 25-k 9

【思路点拨】进行双向判断即可. 【题文】 (7)函数 y ? f '( x) 的图像如图所示,则关于函数 y ? f '( x) 的说法正确的是

A.函数 y ? f ( x) 又 3 个极值点 B.函数 y ? f ( x) 在区间 (??, ?4) 单调递增 C.函数 y ? f ( x) 在区间 (?2, ??) 单调递减 D.x=1 时函数 y ? f ( x) 取最大值 【知识点】函数的单调性;函数的极值.B12 B3 【答案解析】C 解析:极值点有两个,A 错误。 ? ??, ?5 ? 单调递增,B 错误; x ? 1 不是极

值点,D 错误. 故选 C. 【思路点拨】利用函数的单调性与极值依次判断即可。 【题文】 (8)某产品的广告费用 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表

? ? bx ? a 中的 b 为 9.4 据此模型预报广告费用为 6 万元是, 根据上表可得回归方程 y 销售额
为 65.5 则 a, m 为 A. a ? 9.1, m ? 54 C. B. a ? 9.1, m ? 53 D. a ? 9.2, m ? 54

a ? 9.4, m ? 52

【知识点】回归直线方程.I4 【答案解析】A 解析: y ? bx ? a 过点 ? 6, 65.5 ? 得 a ? 9.1 , y ? 9.4 x ? 9.1

因直线过均值点所以 x ? , y ? 42 ,得 m ? 54 .故选 A. 【思路点拨】利用回归直线方程必过样本的中心点坐标即可. 【题文】 (9)为了得到函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

7 2

?
4

) 的图像,只要把函数 g ? x ? ?

1 f ?( x) 的图像 2

? 个单位长度 4 ? B. 向右平行移动 个单位长度 4 ? C. 向左平行移动 个单位长度 2 ? D. 向右平行移动 个单位长度 2
A.向左平行移动 【知识点】三角函数的图像与性质. C3 【答案解析】B
? ? ? ? 3? y ? cos ? 2 ? x ? ? ? 4? 4 ? ?

解 析 : g ? x? ?

1 ?? 3? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? 得 ? ,右移 4 2 4 4 ? ? ? ?

? ?? ? ? ? cos ? 2 x ? ? .故选 B. 4? ? ?

1 f ?( x) 化简,然后利用平移的方法即可. 2 【题文】 (10)已知集合 M ? ?? x, y ? | f ? x, y? ? 0? ,若对任意 P 1 ? x1 , y1 ? ? M ,均不存在
【思路点拨】先把 g ? x ? ? 则称集合 M 为 “好集合” , 下列集合为 “好集合” P 2 ? x2 , y2 ? ? M 使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立, 的是 A. M ?

?? x, y ? | y? lnx ? 0?
? ? 1 2 ? x ? 1 ? 0? 4 ?
2 2

B. M ? ?? x, y ? | y? C. M ? D. M ?

?? x, y ? | ? x ? 2? ? y
?? x, y ? | x
2

?2 ? 0

?

? 2 y 2 ? 1 ? 0?

【知识点】向量垂直的充要条件;渐近线方程;F3 H6 【答案解析】D
?? ? ???? ?? ? ???? 解析: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? op1 ?op2 ? 0 ? op1 ? op2 ,即存在两点与原点连线互

相垂直。A 存在 B 切线方程为 y ? ? x 互相垂直,存在;C 切线方程为 y ? ? x 互相垂直,存
2 x ,倾斜角小于 450 所以不存在. 故选 D. 2 ?? ? ???? ?? ? ???? 【思路点拨】对于 A: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? op1 ?op2 ? 0 ? op1 ? op2 ,即存在两点与原点连线互相垂

在 ; D x 2 ? 2 y 2 ? 1 渐近线方程为 y ? ?

直。A 存在 ;

对于 B: B 切线方程为 y ? ? x 互相垂直,存在; 对于 C:C 切线方程为 y ? ? x 互相垂直,存在 ;
2 x ,倾斜角小于 450 所以不存在. 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的

对于 D: D x 2 ? 2 y 2 ? 1 渐近线方程为 y ? ?

横线上. 【题文】 (11)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位,直线的参数方程为 ? 坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则与 C 公共点的个数为 【知识点】参数方程、极坐标方程与普通方程的互化;点到直线的距离公式.N3 H2 【答案解析】2
0 ? ? x ? 1 ? t cos135 解析: ? ? t为参数 ? ? x ? y ? 2 , 0 ? ? y ? 1 ? t sin135

? x ? 1 ? t cos1350
0 ? y ? 1 ? t sin135

(为参数) ,曲线 C 的极

? ? 2 cos ? ? ? x ? 1? ? y 2 ? 1 , d ?
2

1? 2 2

?

2 ? 1 所以有两个交点. 2

【思路点拨】 先把参数方程、 极坐标方程转化为普通方程, 再利用点到直线的距离公式即可.

1? ? 【题文】 (12)二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中,常数项为 x? ?
【知识点】二 项 式 定 理 . J3 【答案解析】15 解析:第 r ? 1 项 C6r x 2? 6 ? r ? ? ? ? C6r x12 ?3r ,当 r ? 4 时 C6r x12 ?3r ? 15 . x
?1? ? ?
r

6

【思路点拨】二 项 式 定 理 的 运 用 , 要 求 展 开 式 的 特 征 项 , 需 要 求 出 通 项 , 从 字 母 的指数入手. 【题文】 (13)直线 x ? 1 与抛物线 y ? 4 x 围成图形的面积是
2

【知识点】定 积 分 的 几 何 意 义 ; 微 积 分 基 本 定 理 .B13 【答案解析】C
4 3 解析:当 y ? 0 时, y ? 2 x 。 ? 2 x ? x 2 0 3
1 1

?
0

4 8 ,S ? . 3 3

【思路点拨】先 计 算 直线 x ? 1 与抛物线 y ? 4 x 的 交 点 纵 坐 标 ,确 定 积 分 上 下 限 ,再
2

由 定 积 分 的 几 何 意 义 ,将 图 形 面 积 问 题 转 化 为 上 下 两 函 数 差 的 定 积 分 问 题 ,最 后 利用微积分基本定理求值即可 【题文】 (14)在 ? ABC 中,已知

?2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? tan A AB ? CA ? CB ? AB ,则 ? 3 tan B

?

?

【知识点】正余弦定理;向量的数量积的运算.C8 F3

【答案解析】

8 解析: 3 ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? 2 ??? 2 2 AB ? CA ? CB ?AB ? AB ? CA ? CB ? CB ? CA ? c ? a 2 ? b 2 , 3 3 3

?

?

?

??

?

a 2 ? c2 ? b2 tan A sin A cos B a 2 ? c2 ? b2 2ac ? ? ? 2 ? 5. 2 2 2 tan B sin B cos A b ?c ?a b ? c2 ? a2 b 2bc a

【思路点拨】先利用向量的数量积的运算,把 三边的关系,再结合正余弦定理即可.

?2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? AB ? CA ? CB ? AB 化简,找到 ? ABC 3

?

?

【题文】 (15)已知数列 A : a1 , a2 , a3 ,..., an (0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an , n ? 3, n ? N * ) 具有性
* 质 P:对任意 i , j 1 ? i ? j ? n, i, j ? N , ai ? a j 与 a j ? ai 两个数中至少有一个是数列 A 中

?

?

的项,则下列命题正确的是

(写出所有正确答案的序号)

① 数列 A:0,1,3 与数列 B:0,2,4,6 都具有性质 P; ② a1 ? 0 ③ 2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? ? nan ④ 当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等差数列。 【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 . A2 【答案解析】②③④ 解析:①?1 ? 3 ? 4,3 ? 1 ? 2 都不是数列 A 中的项,命题错误 ②? A 具有性质 P ? an ? an 显然不是数列 A 中的项,则? an ? an ? 0 必然是数列 A 中 的项 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an 所以成立。 ③? A 具有性质 ai ? an 1 ? i ? n, i ? N ? ,不在 A 中,则 an ? ai 是数列 A 中的项

?

?

an ? an ? an ? an?1 ? an ? an? 2 ? ? an ? a2 ? an ? a1

?an ? an ? a1 ?a ? a ? a n n ?1 2 ? ? ?an ? an ? 2 ? a3 ? nan ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? nan ? ? ? ?an ? a1 ? an
命题成立 ④当 n ? 5 时

? a1 ? 0, a2 ? a1 ? a2

?a5 ? a4 ? a2 ?a5 ? a4 ? a2 ? ? 2a3 ? a4 ? a2 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ?a5 ? a3 ? a3 ? ? ?a5 ? 2a3 ?a ? a ? a 4 ? 5 2
? a4 ? a3 ? 2a3 ? a5 不是数列 A 中的项,则 a4 ? a3 是数列 A 中的项 ? a1 ? a4 ? a3 ? a5 ? a3 ? a3 ? a4 ? a3 ? a2 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? a5 ? a4 命题成立.
【思路点拨】根 据 数列 A : a1 , a2 , a3 ,...,an (0? a1 ? a 2 ? a 3 ? ...? an ,n ? 3, n ? N * )具有性
* 质 P:对任意 i , j 1 ? i ? j ? n, i, j ? N , ai ? a j 与 a j ? ai 两个数中至少有一个是数列 A 中

?

?

的项, , 逐 一 验 证 , 可 知 ①错 误 , 其 余 都 正 确 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】 (16) (本小题满分 12 分) 一档电视闯关节目规定:三人参加,三人同时闯关成功为一等奖,奖金为 2000 元,三人中 有两人闯关成功为二等奖,奖金为 1000 元,三人中有一人闯关成功为三等奖,奖金为 400 元,其它情况不得奖。现有甲乙丙三人参加此活动,甲乙闯关成功的概率都为 成功的概率为

1 ,丙闯关 2

3 ,三人闯关相互独立。 4

(1)求得一等奖的概率; (2)求得奖金的数学期望 【知识点】概率;数学期望.K6 K7 【答案解析】(1)

3 (2) 937.5 16
1 1 3 2 2 4 3 16 1 1 3 2 2 4 1 1 1 2 2 4

解析:(1)获得一等奖的概率 P ? ? ? 1 ?
1 1 3 2 2 4

--------------------4 分
7 16

(2)二等奖的概率 P2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三等奖的概率 P3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不得奖的概率 P4 ? ? ? ? X P 1 3/16 奖金的数学期望 Ex ? 2000 ? 【思路点拨】 【题文】 (17) (本小题满分 12 分) 2 7/16
1 1 1 2 2 4 1 16 1 1 3 2 2 4 1 1 1 2 2 4 1 1 1 2 2 4

----------6 分 ----------8 分 ----------10 分

5 16

3 5/16

4 1/16 ----------12 分

3 7 5 1 ? 1000 ? ? 400 ? ? 0 ? ? 937.5 16 16 16 16

如图,直角三角形 ABC 中, ?ACB=900 , AB ? 2BC ? 4, D, E, 分别为 AC , AB 边的中点。 将 ?ADE 沿折 DE 起,使二面角 A ? DE ? C 的余弦值为

1 ,求: 3

(1)四棱锥 A ? BCDE 的体积; (2)二面角 A ? BE ? C 的余弦值. 【知识点】线面垂直、面面垂直的判定;棱锥的体积;二面角.G5 G7 G11

【答案解析】(1)

2 (2)

3 3

(1)因为D, E是边AC , AB中点,即DE是? ABC中位线,所以DE ? AC 解析: ,
DE ? AD DE ? DC ? ? ? ? DE ? 面ADC ? 面ADC ? 面CBED AD ? DC ? D ? ?

过点 A 作 AM ? CD ? AM ? 面CBED , 因为 ?ADC 为二面角 A ? DE ? C 的平面角,所以 cos ?ADC ?
AM ? 2 6 3 , DM ? . 3 3 1 2 6 3 3 VA ? BCDE ? ? ? ? 2 3 3 2
1 3

----------3 分 ----------6 分

A D
M

E

C
DE ? 1

B

? ? (2) 3 ? ? EM ? DM ? ? 3 ?

4 , 3

MC ?

2 3? 16 ? , BE ? 2 3 ? ? BM ? 3 ? BC ? 2 ?

BM 2 ? EM 2 ? BE 2 ? ME ? BE , AM ? BE , AM ? ME ? M ? BE ? 面AME ? BE ? AE

.----------10 分
ME 3 .----------12 分 ? AE 3

所以 ?AEM 为二面角 A ? BE ? C 的平面角, cos ?AEM ?

【思路点拨】本 题 考 查 线 面 平 行 ,线 面 垂 直 ,考 查 面 面 角 ,考 查 向 量 知 识 的 运 用 ,

考查学生分析解决问题的能力,综合性强. 【题文】 (18) (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c 且

b cos C c cos B ? ?2 a cos A a cos A

(1)求 A (2)若 a ? 2 求三角形 ABC 周长的最大值。 【知识点】正余弦定理;辅助角公式;解三角形;函数的最值.C7 C8 【答案解析】(1) 60 (2)6 解析:(1)
b cos C c cos B ? ? 2 ? 2a cos A ? b cos C ? c cos B ? sin 2 A ? sin ? B ? C ? ? B ? C ? 2 A a cos A a cos A
0

得 A ? 600 (2)
a b c 4 3 4 3 ? ? ?b? sin B, c ? sin C sin A sin B sin C 3 3

---------------4 分 ----------------6 分

l ? 2?

?1 ? 4 3 4 3 3 sin ?1200 ? C ? ? sin C ? 2 ? 4 ? cos C ? sin C ? ? sin B ? sin C ? ? 2 ? ? ? 3 3 2 ?2 ?

?

?

?? ? = 2 ? 4sin ? C ? ? 6? ?
当C ?
?
3

----------------10 分 ----------------12 分

时最大值为 6 .

【思路点拨】(1)利用正余弦定理化简即可; (2)先利用正弦定理转化,在求出周长的解析 式,最后求出最大值. 【题文】 (19) (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 是公比为

1 的等比数列,且 1 ? a2 是 a1 与 1 ? a3 的等比中项,前 n 项和为 Sn .数列 2
? 1 ).

?bn ? 是等差数列, b1 ? 8 前 n 项和 Tn 满足 Tn ? n? ? bn?1 ( ? 为常数,且 ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及 ? 的值; (2)令 Cn ?

1 1 1 1 ? ? ... ? , 求证: Cn ? Sn . 4 T1 T2 Tn

【知识点】等差数列的通项公式;不等式的证明;数列求和。D2 D4

1 ?1? 【答案解析】(1) an ? ? ? , ? ? (2)见解析 2 ?2?
解析: (1) ?1 ? a2 ? ? a1 ?1 ? a3 ? ? a1 ?
2

n

1 ?1? ? an ? ? ? 2 ?2?

n

---------------2 分

? ?T1 ? ? b2 1 ?8 ? ? ? 8 ? d ? ?? ? ? ? , d ? 8 ? bn ? 8n ? 2 ?T2 ? 2? b3 ? ?16 ? d ? 2? ? 8 ? 2d ?

----------------4 分

(2) Cn ?

1 1 1 1? 1 1 1 1 ? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? T1 T2 Tn 4 ? 2 2 3 n ?1 ? 4 ? n ?1 ?

n 1 1? ?1? ? Sn ? ?1 ? ? ? ? ? 4 4? ? ?2? ?

----------------8 分
1? ?1? ?1 ? ? ? 4? ? ?2? ? ? n ? 1 ? 2n ? ? ?

Cn ?

1 1? 1 ? Sn ? ?1 ? ?? 4 4 ? n ?1?

n

----------------9 分 ----------------10 分

当 n ? 1 时 2n ? n ? 1 当 n ?1时
0 1 n 2n ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 1? n ?? ?1 ? n ?1 n

----------------12 分

【思路点拨】(1)根据题意列出方程组解出 l , d 即可; (2)先利用裂项法求出 Cn ,再利用二 项展开式证明. 【题文】 (20) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 x2 y 2 E2 : 2 ? 2 ? 2 , 已知椭圆 E1 : 2 ? 2 ? 1 , 过 E1 上第一象限上一点 P 作 E1 的切线, 交 E2 a b a b
于 A,B 两点。

(1) 已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 P ? x0 , y0 ? , 则过点 P ? x0 , y0 ? 的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 ,

类比此结论,写出椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在其上一点 P ? x0 , y0 ? 的切线方程,并证明. a 2 b2

(2)求证:|AP|=|BP|. 【知识点】椭圆的性质;根与系数的关系.H5 H8

x0 x y0 y ? 2 ? 1 (2) 见解析 a2 b xx y y 解析:(1) 切线方程 02 ? 02 ? 1 a b
【答案解析】(1)

在第一象限内,由

x2 y 2 b 2 b 2 ? 2 ? 1 可得 y ? a ? x 2 , y0 ? a ? x0 2 , -------------2 分 2 a b a a
bx0 a a 2 ? x0 2 ?? b 2 x0 a 2 y0
----------------4 分

椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y?( x0 ) ? ?

b 2 x0 xx y y 切线方程为 y ? ? 2 ( x ? x0 ) ? y0 , 即 02 ? 02 ? 1 。 a y0 a b
(2)证明:设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
? x0 x y0 y ? 2 ?1 ? ? 2 x0 2 b 4 ? 2 2 x0 b 4 a 2b4 ? a2 b ? b ? x ? x ? ? 2a 2 b 2 ? 0 ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 y a y y x y 0 0 0 ? ? ? ? ?2 ? ? a 2 b2
2 x0 b 4 y0 2 x0 a 2 b 2 x0 a 2 b 2 x1 ? x2 1 ? ? ? ? x0 2 2 2 x0 2 b 4 y0 2 a 2 ? b 2 x0 2 ? x0 2 ? 2 2 2 2 b ? 2 2 ?1 ? 2 ? a b ? b x0 y0 a a ? ?

----------------6 分

---------------9 分

所以 P 为 A, B 中点, AP ? BP

---------------13 分

【思路点拨】(1)利用导数求出斜率后即可求得切线方程; (2)结合根与系数的关系以及中 点坐标公式可证明. 【题文】 (21) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 2 。 2

(1)当 a>0 时,求单调区间; (2)若 0<x<1,求证:f(1+x)<f(1-x); (3) 若 Ax , ?y ?x y? 1, 1 B 2, 2 求证: f ? ? x0 ? ? k 。 【知识点】函数的单调性;函数的单调区间;利用导数证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) 当 0 ? x ? 1
时f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减,当 x ? 1 时f ? ? x ? ? 0 , f ? x ?

x0 ? 记 k 为直线 AB 的斜率, ? 为函数 f(x)的图像上两点,

x1 ? x2 , 2

单调递增(2) 见解析(3)见解析

? ax ? 1?? x ? 1? 1 解析: (1) f ? ? x ? ? ? ? ax ? ?1 ? a ? ? x x
当0 ? x ?1 当 x ?1
时f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 时f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增

----------------1 分 ----------------2 分 ----------------3 分

(2) f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 2 x 令 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 2 x ? g ? ? x ? ?
2x2 x2 ? 1

---------------4 分 ----------------5 分

? 0 ? x ? 1, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减,所以 g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0

所以 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? (3) k ?
f ? ? x0 ? ? ?
?

----------------7 分 ----------------8 分

y1 ? y2 ln x2 ? ln x1 1 ? ? a ? x2 ? x1 ? ? 1 ? a x1 ? x2 x2 ? x1 2 1 ? ax0 ? 1 ? a x0

2 ? x2 ? x ? ln x2 ? ln x1 1 ln x2 ? ln x1 1 2 ? ax0 ? 1 ? a ? ? a ? x2 ? x1 ? ? 1 ? a ? ? ? ln x2 ? ln x1 ? x0 x2 ? x1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

? x2 ? ? ? 1? 2 ? x2 ? x ? x x x ? ln 2 ? ? ln 2 ? 2 ? 1 x2 x1 x2 ? x1 x1 ?1 x1 ? x2 ? ? ? 1? x x 1? t 设 x2 ? x1 ? 0 令 ? 1 ? ? t ? 0 ? t ? 1? ? 2 ? x2 x1 1 ? t ?1 x1

----------------11 分

----------------12 分

? x2 ? ? ? 1? x x2 ? ? ln 1 ? t ? 2t ? ln 1 ? t ? ln 1 ? t ? 2t ? ln 1 ? t ? ln 1 ? t ? 2t ? 0 ln ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 x1 1? t ?1 x1

由第二小题结论 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 2 x ? 0 可得。

----------------14 分

【思路点拨】本 题 考 查 导 数 的 应 用 , 涉 及 斜 率 , 最 大 值 、 最 小 值 的 求 法 , 是 综 合 题 ;关 键 是 理 解 导 数 的 符 号 与 单 调 性 的 关 系 ,并 能 正 确 求 出 函 数 的 导 数 ,属 于 难 题.


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