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2010--2016年全国卷(I)三角函数与数列题汇总


2010 至 2016 年三角函数、解三角形与数列高考题汇总

文科数学全国卷(I)
一、选择题 (2016 年)1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? (A)

2 ,则 b=( ) 3

2

(B) 3

(C)2

(D)3

π 1 )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为( ) 6 4 π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) 4 3 π π (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 1 (2016 年)3.若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 单调递增,则 a 的取值范围是( ) 3
(2016 年)2.将函数 y=2sin(2x+ (A) ??1,1? (B) ? ?1, ? 3

? ?

1? ?

(C) ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

(D) ? ?1, ? ? 3

? ?

1? ?

(2015 年)4.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

(2015 年)5.函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( )

1 3 1 3 , k? ? ), k ? Z (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4 tan ? ? 0 (2014 年)6.若 ,则 A. sin ? ? 0 B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0
(A) ( k? ?

D. cos 2? ? 0

(2014 年)7.在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ? 周期为 ? 的所有函数为 A.①②③ B. ①③④

?
6

) ,④ y ? tan( 2 x ?

?
4

) 中,最小正

C. ②④

D. ①③

试卷第 1 页,总 6 页

(2013 年)8.设首项为 1 ,公比为 (A) Sn ? 2an ?1

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则( 3
(C) Sn ? 4 ? 3an



(B) Sn ? 3an ? 2

(D) Sn ? 3 ? 2an )

(2013 年)9.函数 f ( x) ? (1 ? cos x)sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为(

(2013 年)10.已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

23cos2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ? (
(A) 10 (B) 9 (C) 8

) (D) 5 和x ?

(2012 年)11.已知 ω >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 对称轴,则 φ =( ) (A)

?
4

5? 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的 4

? ?

(B)

? ?

(C)

? ?
n

(D)

?? ?

(2012 年)12.数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为( ) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 (2011 年)13.设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 原图像重合,则 ? 的最小值等于( ) (A)

? 个单位长度后,所得的图像与 3

1 3

(B) 3 )

(C) 6

(D) 9

(2010 年)14. cos 300? ? ( (A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

(2010 年)15.已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 二、填空题 (2016 年)16.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ + (B)7 (C)6 (D) 4 2

a4a5a6 =( )

π 3 π )= ,则 tan(θ – )= 4 5 4

.

试卷第 2 页,总 6 页

(2015 年)17.数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ?

.

(2014 年)18.如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的 仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

(2013 年)19.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______. (2012 年)20.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______

3? ) , tan ? ? 2 ,则 cos? ? . 2 3 (2010 年)22.已知 ? 为第三象限的角, sin a ? ,则 tan 2? ? 5
(2011 年)21.已知 ? ? (? , 三、解答题



(2016 年)23.已知 ?an ? 是公差为 3 的等差数列,数列 ?bn ? 满足 b1 =1,b2 = ,anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?bn ? 的前 n 项和.

1 3

试卷第 3 页,总 6 页

(2015 年)24. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (Ⅰ)若 a ? b ,求 cos B; (Ⅱ)若 B ? 90? ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

2 (2014 年)25.已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(2013 年)26.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和。 a2 n?1a2 n?1

试卷第 4 页,总 6 页

(2012 年)27.已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, c ? 3a sin C ? c sin A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c .

(2011 年)28.(本小题满分 l0 分) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 Sn .

(2011 年)29.(本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? bsin B . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

试卷第 5 页,总 6 页

(2010 年)30. (本小题满分 10 分)记等差数列 ?an ? 的前 n 的和为 Sn ,设 S3 ? 12 ,且 2a1, a2, a3 ?1 成等比 数列,求 Sn .

试卷第 6 页,总 6 页

2010 至 2016 年三角函数、解三角形与数列高考题汇总

文科数学全国卷(I)参考答案
1.D 【解析】 试题分析:由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?
2

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去) ,选 D. 3 3

【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记! 2.D 【解析】 试题分析:函数 y ? 2sin(2 x ?

? ? 1 ? ) 的周期为 ? ,将函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图像向右平移 个周期即 个 6 6 4 4 ? 4 ? ? )] ? 2sin(2 x ? ) ,故选 D. 6 3

单位,所得图像对应的函数为 y ? 2sin[2( x ? ) ?

【考点】三角函数图像的平移 【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减” ;二是平移多少个单位是 对 x 而言的,不要忘记乘以系数. 3.C 【解析】 试题分析: f ? ? x ? ? 1 ?

2 cos 2 x ? a cos x… 0 对 x ? R 恒成立, 3

故1 ?

2 4 5 2 cos2 x ? 1? ? a cos x… 0 ,即 a cos x ? cos 2 x ? … 0 恒成立, ? 3 3 3

即?

4 2 5 4 5 t ? at ? … 0 对 t ???1,1? 恒成立,构造 f ? t ? ? ? t 2 ? at ? ,开口向下的二次函数 f ? t ? 的最小 3 3 3 3

1 ? f ? ?1? ? ? a… 0 ? 1 1 ? 3 a 值的可能值为端点值,故只需保证 ? ,解得 ? 剟 .故选 C. 1 3 3 ? f ?1? ? ? a… 0 ? 3 ?
【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不 等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题 ,注意与三角函数值域或最值有关的问题 ,即 注意正、余弦函数的有界性.

答案第 1 页,总 8 页

4.B 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 公 差 d ? 1 , S8 ? 4S4 , ∴ 8a1 ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) , 解 得 a1 = ,∴ 2 2 2

a1 0 ? a 1 ? 9d ?

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

考点:等差数列通项公式及前 n 项和公式 5.D 【解析】

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 ?( x? ) 令 试题分析:由五点作图知, ? , 解 得 ?=? , ? = , 所 以 f ( x) ? c o s , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
2 k? ? ? x ?

?
4

? 2 k? ? ? , k ? Z , 解得 2 k ?

1 3 1 3 k ?Z , 2k ? ) < x < 2k ? , 故单调减区间为 ( 2k ? , , 4 4 4 4

k ? Z ,故选 D.
考点:三角函数图像与性质 6.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 tan ? ?

sin ? ? 0 , 可 得 : sin ? ,cos ? 同 正 或 同 负 , 即 可 排 除 A 和 B , 又 由 cos ? sin 2? ? 2sin ? ? cos ? ,故 sin 2? ? 0 .

考点:同角三角函数的关系 7.A 【解析】 试题分析:①中函数是一个偶函数,其周期与 y ? cos 2 x 相同, T ? 是函数 y ? cos x 周期的一半,即 T ? ? ; ③ T ? 考点:三角函数的图象和性质 8.D;

2? ? ? ? ; ④ T ? ,则选 A. 2 2

2? ? ? ;②中函数 y ?| cos x | 的周期 2

?2? 1? ? ? n n ?1 2 n ?1 ?2? ?2? ? 3 ? ? 3 ? 3? ? 3 ? 2 ? 【解析】解法一:由等比数列公式可知, S n ? ? ? ? ? , an ? ( ) ,对照 2 3 ?3? ?3? 1? 3
两式可知选 D; 解法二:若 Sn ? 3 ? 2an ,当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, Sn ? 3 ? 2an , Sn?1 ? 3 ? 2an?1 ,两式对减, 得

n

an 2 ? ,故选 D. an ?1 3

【考点定位】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查学生的基本运算能力以及转化与化归能
答案第 2 页,总 8 页

力. 9.C; 【解析】f ( ) ? 1 ? 0 , 排除 A;f (? x) ? ? f ( x) , 奇函数, 排除 B;f ' ( x) ? cos x ? cos 2 x , 分别作出 y ? cos x

?

2

与 y ? cos 2 x 的图像,可知极值点在 (

?
2

, ? ) 上,故选择 C.

【考点定位】本题考查函数图像的判定,考查学生的数形结合的能力以及逻辑推理能力. 10.D; 【解析】因为 25cos 2 A ? 1 ? 0 ,且锐角△ABC,故 cos A ?

1 ,故 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,解得 b ? 5 . 5

【考点定位】本题考查二倍角公式以及余弦定理的基本应用,考查学生的基本运算能力以及转化与化归的 能力 11.A 【解析】因为 x ?

?
4

和x?

T?

2?

5? 5? ? T T ? ? ,即 ? ? , T ? 2? . 又 是函数图象中相邻的对称轴,所以 4 4 4 2 2

?

? 2? ,所以 ? ? 1,所以 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,因为 x ?

?

所以 ? ? 12.D

?
4

? k? ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
4

4

是函数的对称轴所以

?

,检验知此时 x ?

5? 也为对称轴,所以选 A. 4

4

?? ?

?

2

? k? ,

【解析】由 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1得,

an?2 ? (?1) n an?1 ? 2n ? 1 ? (?1) n [(?1) n?1 an ? 2n ? 1] ? 2n ? 1 ? ?an ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1,
n n 即 an?2 ? an ? (?1)( 2n ? 1 ) ? 2n ? 1 , 也 有 an?3 ? an?1 ? ?(?1)( 2n ? 1 ) ? 2n ? 3 , 两 式 相 加 得

an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 ,设 k 为整数,
则 a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ? ?2(?1) 4k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16k ?` 10 , 于是 S 60 ? 13.C 【解析】由题意将 y ? f ( x) 的图像向右平移 数周期的整数倍,得

K ?0

? (a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ) ? ? (16k ?`10) ? 1830
K ?0

14

14

2?

?

?k ?

?
3

? ? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 是此函 3 3

(k ? Z ) ,解得 ? ? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ?min ? 6 .

14.C 【解析】本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值.

cos 3000 ? cos(3600 ? 600 ) ? cos 600 ?
15.A

1 ,故选 C. 2

【解析】 本试题主要考查等比数列的性质及指数幂的运算. 由已知得 a23 ? 5, a83 ? 10,? a2 ? 3 5, a8 ? 3 10 ,
答案第 3 页,总 8 页

∵ a2 a8 ? a52 ? 3 5 ? 3 10 ? 3 50, 且 a5 ? 0 ,∴ a5 ? 6 50 ,∴ a4a5a6 ? a5 ? 50 ? 5 2 ,故选 A.
3

16. ?

4 3
π 3 π 4 ) ? , cos(? ? ) ? , 4 5 4 5

【解析】 试题分析:由题意, sin(? ?

1 ? π π 3 ? sin ? ? , sin ? sin ? cos ? cos ? , ? ? ? ?5 2 ? 4 4 5 ?? 解得 ? π π 4 ?cos ? cos ? sin ? sin ? , ?cos ? ? 7 , ? ? 4 4 5 ? 5 2 ?

1 π ? ?1 π 4 1 4 ? 7 ?? . 所以 tan ? ? ? , tan(? ? ) ? 7 4 1 ? tan ? tan π 1 ? 1 ?1 3 4 7 tan ? ? tan
【考点】三角变换 【名师点睛】三角函数求值,若涉及开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换. 17.6 【解析】 试题分析:∵ a1 ? 2, an?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

考点:等比数列定义与前 n 项和公式 18.150 【解析】
0 0 试题分析:根据题意,在 ?ABC 中,已知 ?CAB ? 45 , ?ABC ? 90 , BC ? 100 ,易得: AC ? 100 2 ;

在 ?AMC 中, 已知 ?MAC ? 750 , ?MCA ? 600 , AC ? 100 2 , 易得:?AMC ? 45 , 由正弦定理可解得:
0

AC AM ? sin ?AMC sin ?ACM

, 即 :

AM ?

100 2 3 ? ? 100 3 ; 在 ?AMN 2 2 2

中 , 已 知

?MAN ? 600 , ?MNA ? 900 , AM ? 100 3 ,易得: MN ? 150m .
考点:1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用 19. ?

2 5 ; 5

答案第 4 页,总 8 页

【解析】 cos ? ?

?2 2 5 . ?? 5 5

【考点定位】本题考查三角恒等变换,考查学生对概念的理解 20. ? 2

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 2 ) 【 解 析 】 显 然 公 比 q ? 1 , 设 首 项 为 a1 , 则 由 S 3 ? 3S 2 ? 0 , 得 ,即 ? ?3 ? 1? q 1? q
q 3 ? 3q 2 ? 4 ? 0 ,即 q 3 ? q 2 ? 4q 2 ? 4 ? q 2 (q ? 1) ? 4(q 2 ? 1) ? 0 ,即 (q ? 1)(q 2 ? 4q ? 4) ? 0 ,所以 q 2 ? 4q ? 4 ? (q ? 2) 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 .
21. ?

5 5

【解析】 ? ? (? , 22. ?

3? 5 ) , tan ? ? 2 ,则 cos? ? ? . 2 5

24 7

【解析】本试题主要考查同角三角函数的基本关系式和正切的二倍角公式.由已知得

4 sin ? 4 2 tan ? 24 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ,? tan ? ? ? ? ,∴ tan 2? ? ?? . 2 5 cos ? 3 1 ? tan ? 7

. 23. (Ⅰ) an ? 3n ? 1 (Ⅱ) ? ; 2 2 ? 3n ?1
【解析】 试题分析: (Ⅰ)用等差数列通项公式求; (Ⅱ)求出通项,再利用等比数列求和公式来求. 试题解析: (Ⅰ)由已知, a1b2 ? b2 ? b1 , b1 ? 1, b2 ? 差数列,通项公式为 an ? 3n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)和 anbn?1 ? bn?1 ? nbn 得 bn ?1 ?

3

1

1 , 得 a1 ? 2 ,所以数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 3 的等 3

bn 1 ,因此 ?bn ? 是首项为 1,公比为 的等比数列.记 ?bn ? 的 3 3

1 1 ? ( )n 3 ? 3? 1 . 前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? 1 2 2 ? 3n ?1 1? 3
【考点】等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程 可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题 可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

答案第 5 页,总 8 页

24. (Ⅰ) 【解析】

1 (Ⅱ)1 4

试题分析: (Ⅰ)先由正弦定理将 sin 2 B ? 2sin A sin C 化为变得关系,结合条件 a ? b ,用其中一边把另外 两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 b 2 = 2ac ,根据勾股定理和即可求 出 c,从而求出 ?ABC 的面积. 试题解析: (Ⅰ)由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B =

a 2 + c 2 - b2 1 = . 2ac 4

(Ⅱ)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b2 .
2 2 故 a + c = 2ac ,得 c = a = 2 .

所以 D ABC 的面积为 1. 考点:正弦定理;余弦定理;运算求解能力 25. (1) an ? 【解析】
2 试题分析: (1)根据题中所给一元二次方程 x ? 5x ? 6 ? 0 ,可运用因式分解的方法求出它的两根为 2,3,

1 n?4 n ? 1 ;(2) S n ? 2 ? n ?1 . 2 2

即可得出等差数列中的 a2 ? 2, a4 ? 3 ,运用等差数列的定义求出公差为 d,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d ? 而 a1 ?

1 ,从 2

a 3 n?2 ? n ?1 ,写出它的前 n 项 .即可求出通项公式;(2)由第(1)小题中已求出通项,易求出: n n 2 2 2 3 4 n ?1 n ? 2 的形式: S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,观察此式特征,发现它是一个差比数列,故可采用错位相减的 2 2 2 2 1 1 3 4 n? 1 n? 2 方 法 进 行 数 列 求 和 , 即 两 边 同 乘 , 即 : Sn ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? n ? 2 , 将 两 式 相 减 可 得 : 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 n?2 3 1 1 n?2 n?4 Sn ? 2 ? ( 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ) ? n ? 2 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 ,所以 S n ? 2 ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
2 试题解析: (1)方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 ? 2, a4 ? 3 .

设数列 {an } 的公差为 d,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d ? 所以 {an } 的通项公式为 an ?

1 3 ,从而 a1 ? . 2 2

1 n ?1 . 2

答案第 6 页,总 8 页

a an n?2 ? n ?1 ,则 } 的前 n 项和为 Sn ,由(1)知 n n n 2 2 2 3 4 n ?1 n ? 2 S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 1 3 4 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 n?2 两式相减得 Sn ? 2 ? ( 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ) ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 n?2 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 4 4 2 2 n?4 所以 S n ? 2 ? n ?1 . 2
(2)设 { 考点:1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和 26.依题意, 3a2 ? 0 , 5a3 ? ?5 ,故 d ? ?1 ,所以 a1 ? 1 ,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ,即 an ? 2 ? n ; (2)

1 1 1? 1 1 ? 1 1 ?n ? ? ? ? )? ; ? ? (?1 ? a2n?1 ?a2 n?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 2 n ? 1

【解析】(1)利用等差数列的前 n 项和公式构造二元一次方程组进行求解;(2)使用裂项法求和. 【考点定位】本题考查等差数列定义以及数列求和的方法,考查学生对定义的理解以及逻辑思维能力. 27.1。 A ?

?
3

2。 b ? c =2

【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin A sin C ? sin C
由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?
6

)?

?
3

1 , 2

.

(Ⅱ) ?ABC 的面积 S =

1 bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2

2 2 2 2 2 而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2

28.设 ?an ? 的公比为 q,由题设得

? a1q ? 6 ? ?6a1 ? a1q ? 30
解得 ?

?????????????3 分

? a1 ? 3 ? a1 ? 2 或? , ?q ? 2 ? q ? 3

?????????????6 分

当 a1 ? 3, q ? 2 时, an ? 3? 2n?1, Sn ? 3? (2n ?1) ;

答案第 7 页,总 8 页

当 a1 ? 2, q ? 3 时, an ? 2 ? 3n?1 , Sn ? 3n ?1 【解析】

???????????10 分

29.(I)由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b ??????????3 分
2 2 2

由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B . 故 cos B ?

2 ,因此 B ? 45? 2

.?????????????6 分

(II) sin A ? sin(30? ? 45? )

? sin 30? cos 45? ? cos30? sin 45?

?

2? 6 4

?????????????8 分



a ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1? 3 sin B 2

c ? b?

sin C sin 60? ? 2? ? 6 .?????????????12 分 sin B sin 45?

【解析】 30. S n ?

1 n ? 3n ? 1? , 或 Sn ? 2n ?5 ? n? 2

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式,以及等比数列的性质,考查考生用方程组的 思想解决数列问题的能力. 设数列 ?an ? 的公差为 d.依题设有
2 ? 2a1 ? a3 ? 1? ? a2 , ? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? 12,

?a12 ? 2a1d ? d 2 ? 2a1 ? 0, ? ?a1 ? d ? 4,
a1 ? 1, d ? 3, 或 a1 ? 8, d ? ?4.
Sn ? 1 n ? 3n ? 1? , 或 Sn ? 2n ?5 ? n? . 2

点评:数列问题属于高考的传统题型,近两年全国Ⅰ文科卷,对于数列解答题的难度有所降低,旨在考查 考生对数列的基本公式、性质的掌握,显然降低了对综合能力的要求.
答案第 8 页,总 8 页


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