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高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离素材2新人教B版选修2_1

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3.2.5 距离
课堂导学 三点剖析 一、由定义求距离 【例 1】 棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,侧面是 PAB,PAC 都垂直于底面,另两侧面与底 面成 45°角,M、N 分别为 BC、CD 的中点,最长的侧棱为 15 cm.求: (1)棱锥的高; (2)底面中心 O 到平面 PMN 的距离. 解析:棱锥的概念在本题求解中并无作用,重点应分析和利用好给出的面面关系.

(1)设高为 h,由平面 PAB,平面 PAC 都垂直于底面,得 PA⊥底面 AC.又∠PBA=45°, ∴PA=AB=h,AC= 2 h. 由 PA +AC =PC 及 PC=15,得 PA=5 3 (cm);
2 2 2

(2)∵BD⊥AC,BD⊥PA,z ∴BD⊥平面 PAQ. 又 MN∥BD, ∴MN⊥平面 PAQ, ∴平面 PAQ⊥平面 PMN. 做 OH⊥PQ 于 H,则 OH 之长即为所求. 做 AG⊥PQ 于 G. 在 Rt△PAQ 中,AQ=

3 3 2 AC= h, 4 4

PQ= PA ? AQ ?
2 2

34 . 3

∴AG=

PA ? AQ 3 17 h. ? PQ 17

再由

OH OQ 1 ? ? ,得 AG QA 3

1

OH=

1 17 5 51 AG= h= (cm). 3 17 17

温馨提示 由于在棱锥中, 随处可以找到解题必需的三角形, 因此平面几何知识和解三角形的知识 往往成为正确解题的关键. 二、通过转化求距离 【例 2】如左下图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求平面 AB1D1 与平面 C1BD 的距 离.

解:如右上图,可证得 A1C⊥平面 AB1D1,A1C⊥面 C1BD.设 A1C 和平面 AB1D1 及平面 C1BD 分别交 于 P、Q 两点.则 PQ 就是两平行平面 AB1D1 和平面 C1BD 的公垂线段.连结 A1C1 交 B1D1 于点 O1, 连结 AC 交 BD 于点 O,由对角面 A1C1CA 与两平行平面 AB1D1 和平面 C1BD 分别相交于 AO1 和 C1O 知 AO1∥OC1.由正方体的特性易计算对角面 A1C1CA 中,O1A1=

2 a,A1A=a,A1C= 3 a,于是在 2

Rt△AA1O1 中,AO1= 由面积关系得

6 a. 2

2 a?a O1 A1 ? A1 A 3 2 ? A1P= . AO1 3 6 2
同理可求得 CQ=

3 a, 3 2 3 3 a= a. 3 3

∴PQ=A1C-2A1P= 3 a-

温馨提示 本例应用两方面的转化,其一是空间距离的转化,其二是空间问题转化为平面问题,转 化为平面问题后,为使思路清晰,可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方 法,注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后,也可以用三角形的中位线 的性质得 A1P=PQ,CQ=PQ 知 A1P=PQ=QC,即先证明 P、Q 两点三等分对角线 A1C 后再计算.该例 还有多种解法. 三、利用向量求距离 【例 3】如下图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a.

2

(1)求证:平面 B1AD1∥平面 BC1D; (2)求平面 B1AD1 与平面 BC1D 间的距离. (1) 证明:由正棱柱的性质知 B1BDD1 与 AB1C1D 分别为矩形,∴AB1∥DC1 , D1B1∥DB,故面 B1AD1∥BC1D. (2)解: 由两平行平面间距离的定义知, 面 B1AD1 与面 BC1D 间的距离等于 B1 到面 BC1D 的距离. 设 B1M⊥面 BC1D,M 为垂足,且 B1M 延长后交面 ABCD 于 N,以 AB , AD , AA 1 分别为 x,y,z 轴的非负轴建立空间直角坐标系,则 B1(a,0,a),设 N(x,y,0),

B1 N =(x-a,y,-a), BD =(-a,a,0), BC1 =(0,a,a).
由 B1 N ⊥ BD ,得

B1 N · BD =-a(x-a)+ay=0.
由 B1 N ⊥ BC1 ,得 B1 N · BC1 =ay-a =0. 解①②得 y=a,x=2a.于是
2

① ②

B1 N =(a,a,-a).
记〈 B1 B , B1 N 〉=θ ,则| B1 M B1M|=| B1 B |·cosθ . 由 B1B· B1 N =| B1 B |·| B1 N |·cosθ , ∴| B1 M |=

B1 B ? B1 N (0,0a) ? (a, a,?a) | B1 N |
=

a2 ? a2 ? a2

=

3 33a. 3

故点 B1 到面 BDC1 的距离为

3 3 a,亦即所求距离为 a. 3 3

温馨提示 利用向量方法求解的思路有两个: 一是设公垂线段的向量坐标, 借助于垂直将此向量坐 标确定出来;二是求与公垂线平行的向量 n,然后求端点在两异面直线上的向量在 n 上的射 影即可. 各个击破 类题演练 1 设 AC、BD 分别是夹在两个平行平面 α 、β 间的两条线段,且 AC=13 cm,BD=15 cm, AC、BD 在平面 β 上的射影长的和是 14 cm,求 AC、BD 分别在平面 β 上的射影长以及平面 α 和平面 β 间的距离.

3

解:过 A、B 分别作 AA1⊥β ,BB1⊥β ,A1、B1 为垂足,连结 A1C、B1D,则 A1C、B1D 为 AC 和 BD 在平面 β 内的射影,且∠AA1C、∠BB1D 均为直角.∵α ∥β , ∴AA1⊥α ,BB1⊥α ,AA1(或 BB1)就是 α 与 β 的公垂线段.设 AA1=BB1=z,A1C=x,B1D=y.

? x 2 ? z 2 ? 132 , ? x ? 5, ? 2 ? 2 2 由题意得 ? y ? z ? 15 , 解得 ? y ? 9, ? z ? 12. ? x ? y ? 14, ? ?
∴AC、BD 在 β 的射影长分别是 5 cm、9 cm;两平面 α 、β 间距离为 12 cm. 变式提升 1 如下图,已知长方体 ABCD-A′B′C′D′中,棱 AA′=5,AB=12,求直线 B′C′和平面 A′BCD′的距离.

解:∵B′C′∥BC,BC 平面 A′BCD′,∴B′C′∥平面 A′BCD′.于是 B′C′到平面 A′BCD′ 的 距 离 等于 点 B′ 到 平 面 A′BCD′ 的距 离 . 过 点 B′在 平 面 A′B′BA 中 作 B′E⊥A′B 于点 E. ∵BC⊥平面 A′B′BA,B′E 平面 A′B′BA, ∴B′E⊥BC.又 B′E⊥A′B,而 A′B∩BC=B, ∴B′E⊥平面 A′BCD′.即 B′E 为 B′点到平面 A′BCD′的距离.在 Rt△A′B′B 中, BB′=5,A′B′=12, ∴A′B=13.由面积关系 A′B′·B′B=B′E·A′B, ∴B′E=

A' B '? B ' B 5 ? 12 60 ? ? .所以 B′C′和平面 A′BCD′的距离为 6013. A' B 13 13

类题演练 2 如右图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点. 求点 D 到平面 B1EF 的距离.

解:由于平面 B1EF 的法向量 n1=(2,2,-1),又 DB1=(a,a,a). ∴点 D 到平面 B1EF 的距离 d=

| DB1 ? n1 | 2a ? 2a ? a = =a. | n1 | 3

∴点 D 到平面 B1EF 的距离为 a.
4

变式提升 2 如右图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠B=60°,PC⊥面 ABCD,PC=a,E 是 PA 的中点.

求 E 到面 PBC 的距离. 解:EO∥PC,PC ? 面 PBC,EO∥面 PBC, 所以点 O 到面 PBC 的距离等于 E 的面 PBC 的距离, 作 OF⊥BC 于 F. 因为 PC⊥面 ABCD,PC ? 面 PBC, 所以面 PBC⊥面 ABCD, 于是 OF⊥面 PBC,OF 的长等于 O 到面 PBC 的距离. 由条件可得 OB=

3 a, 2

OF=

1 3 3 a× = a, 2 4 2

所以 E 到面 PBC 的距离为

3 a. 4

类题演练 3 如下图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,AD=b,AA1=c,求顶点 C 到体对角线 AC1 的距 离.

解:分别以 AB、AD、AA1 为 x、y、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,记点 C 在直线 AC1 的 射 影 为 G , 则 AC1 = ( a,b,c ) , CC1 =(0,0,c). 由 数 量 积 的 几 何 意 义 得 | C1G

1 c2 |=| CC1 · |= ·| CC1 · AC1 |= . | AC1 | | AC1 | a2 ? b2 ? c2
AC1
2 2 2 在 Rt△GCC1 中,| CG |= | CC1 | ? | C1G | = c ?

c4 a2 ? b2 =c· ,这 a 2 ? b2 ? c 2 a2 ? b2 ? c2

就是顶点 C 到对角线 AC1 的距离. 变式提升 3 如右图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=4,AA1=6,E 是 BC 的中点,F 是 CC1 的中
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点,建立空间坐标系,求:异面直线 B1E 与 D1F 的距离.

解 : 设 B1E 与 D1 F 的 公 垂 向 量 为 m=(1,λ ′,μ ′). 则 由 B1E ·m=0, D1 F ·m=0, 得 m=(1,2,23). 又 EF =(0,2,3),所求 B1E 与 D1 F 的距离 d=

| EF ? m | 18 ? . |m| 7

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