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河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理数试题Word版含答案.doc


理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? 1,2,3,4,5?,且 A ? ? 1,2,3? ? ? 1,2? ,则满足条件的集合 A 的个数是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

2.已知复数 z 满足 (1 ? 3i) z ? 3i ,则 z ? ( )

A.

3 3 ? i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 ? i 4 4

D.

3 3 ? i 4 4

3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为

[70,90),[90,110),[110,130),[130,150] ,若成绩大于等于 90 分的人数为 36 ,则成绩在 [110,130) 的人数为( )
A. 12 B. 9 C. 15 D. 18

4.设函数 y ? f ( x), x ? R , “ y ? f ( x) 是偶函数”是“ y ? f ( x) 的图像关于原点对称”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.设 F1 , F2 是双曲线 的面积为( ) A. 1

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 90? ,则 ?F1 PF2 4

B. 2

C.

5 2

D. 5

6.要得到函数 f ( x) ? 2 sin x cos x, x ? R ,只需将函数 g ( x) ? 2 cos2 x ?1, x ? R 的图像( )

? 个单位 2 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移

? 个单位 2 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移

7.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 x ? ( ) A. 1.25 B. 1.375 C. 1.4375 D. 1.40625

8.设 x0 是方程 ( ) ?
x

1 3

x 的解,则 x0 所在的范围是( )
B. ( , )

A. ( 0 , )

1 3

1 1 3 2

C. ( , )

1 2 2 3

D. ( ,1)

2 3

9.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( ) A. 6 ? 2 2 ? 6 B. 6 ? 2 2 C. 3 D.

8 3

10.把长为 80 cm 的铁丝随机截成三段,则每段铁丝长度都不小于 20cm 的概率是( ) A.

1 16

B.

1 8

C.

1 4

D.

3 16

11.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 4, E, F , H 分别是棱 PB, BC, PD 的中点,则过 E, F , H 的平面截四棱锥
P ? ABCD 所得截面面积为( )
A. 2 6 B. 4 6 C. 5 6 D. 2 3 ? 4 6

12.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? 3x 2 ? (8 ? a) x ? 5 ? a ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 , 3
1 1 , ] 15 4 1 1 6 4 1 8 ] 4 15

则 a 的取值范围是( ) A. (

1 1 , ] 15 6

B. (

C. ( , ]

D. ( ,

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a ? (cos15? , sin 15? ),b ? (cos75? , sin 75? ) ,则 a ? 2b ? _______. 14.在 (2 x ?
3

1 n ) 的展开式中,各二项式系数的和为 128 ,则常数项是_______. x
2

15.已知抛物线 x ? 4 y 与圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 有公共点 P ,若抛物线在 P
2 2 2

点处的切线与圆 C 也相切,则 r ? ______. 16.一艘海监船在某海域实施巡航监视,由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处,然后沿东 偏南 30 方向行驶 50 海里至 N 处,再沿南偏东 30 方向行驶 30 3 海里至 B 岛,则 A, B 两 岛之间距离是_____海里. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
? ?

17.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为等差数列 ?an ?的前 n 项和, S10 ? 110 , S15 ? 240. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)令 bn ?

an ?1 an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . ? an an ?1

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , BC ? PB , ?BCD 为等边三角形,

PA ? BD ? 3 , AB ? AD , E 为 PC 的中点.
(1)求 AB ; (2)求平面 BDE 与平面 ABP 所成二面角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分) 甲将要参加某决赛,赛前 A, B, C , D 四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已 知 A, B 选择甲的概率均为 m , C , D 选择甲的概率均为 n(m ? n) ,且四人同时选择甲的概

9 1 ,四人均未选择甲的概率为 . 100 25 (1)求 m, n 的值;
率为 (2)设四位同学中选择甲的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 如图, 过椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足为左焦点 F ,A, B 分 a b
别为 E 的右顶点,上顶点,且 AB ∥ OP , AF ? (1)求椭圆 E 的方程;

2 ?1 .

(2)过原点 O 做斜率为 k (k ? 0) 的直线,交 E 于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积 S 的最 大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ?2. x

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若函数 y ? f ( x) 的两个零点为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 2a . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, O 为线段 AB 上一点, BD 平分

?ABC ,且 OD ∥ BC .
(1)证明: A, B, C , D 四点共圆,且 O 为圆心; (2) AC 与 BD 相交于点 F ,若 BC ? 2CF ? 6 ,求 C , D 之间的距离.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 2 .矩形

? 5? ABCD 内接于曲线 C1 , A, B 两点的极坐标分别为 ( 2, ) 和 ( 2, ) .将曲线 C1 上所有点的 6 6
横坐标不变,纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线 C2 .

(1)写出 C , D 的直角坐标及曲线 C2 的参数方程; (2)设 M 为 C2 上任意一点,求 MA ? MB ? MC ? MD 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? mx?1 . (1)若 m ? 1 ,求 f ( x) 的最小值,并指出此时 x 的取值范围; (2)若 f ( x) ? 2 x ,求 m 的取值范围.
2 2 2 2

2016-2017 学年度高三年级摸底考试 理科数学参考答案
一、选择题 BCABA 二、填空题 13. 3 三、解答题 17.解: (1)设公差为 d ,依题意有 14. 14 15. 2 16. 70 DCBDA CA

10? 9 ? 10 a ? d ? 110, 1 ? 2 ? 15?14 ?15a1 ? d ? 240. 2 ?

18.解: (1)连接 AC ,因为 PA ? 底面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC . 又因为 BC ? PB , PA ? PB ? P ,所以 BC ? 平面 PAB .
? 因为 AB ? 平面 PAB ,所以 AB ? BC .因为 ?BCD 为等边三角形,所以 ?ABD ? 30 .

又已知 AB ? AD , BD ? 3 ,可得 AB ? 1 . (2)分别以 BC, BA 所在直线为 x , y 轴,过 B 且平行 PA 的直线为 z 轴建立空间直角坐标 系,

P(0,1, 3 ), C ( 3,0,0), E (

3 1 3 3 3 , , ), D( , ,0) . 2 2 2 2 2

由题意可知平面 PAB 的法向量为 m ? (1,0,0) . 设平面 BDE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? 3 1 3 x? y? z ? 0, ? ? 2 ? BE ? n ? 0, ? 2 2 则? 即? 则 n ? (3,? 3,?2) , 3 3 ? ? BD ? n ? 0, ? x ? y ? 0, ? 2 2 ?
cos ? m, n ?? 3 ?1 ? 3 ? 0 ? 2 ? 0 32 ? (? 3 ) 2 ? (?2) 2 ? 3 . 4

所以平面 BDE 与平面 ABP 所成二面角的正弦值为

7 . 4

9 ? m2n2 ? , ? 3 ? 100 m? , ? ? 1 ? 2 2 5 , 解得 ? 19.解: (1)由已知可得: ?(1 ? m) (1 ? n) ? 1 25 ? ?n ? . m ? n, 2 ? ? ? ?
(2) X 可取 0,1,2,3,4 .

P( X ? 0) ?

1 3 3 1 2 3 2 1 1 1 1 1 , P( X ? 1) ? C2 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C2 ? ? (1 ? ) ? , 25 5 5 2 5 2 2 5 3 3 1 1 3 1 3 1 37 1 1 P( X ? 2) ? C2 ? ? (1 ? ) ? C2 ? ? (1 ? ) ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 2 ? , 5 5 2 2 5 2 5 2 100 3 3 1 3 1 1 3 9 1 1 P( X ? 3) ? C2 ? ? (1 ? ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? C2 ? ? (1 ? ) ? , P ( X ? 4) ? . 5 5 2 5 2 2 10 100
X 的分布列为
X P 0 1 2 3 4

1 25

1 5

37 100

3 10

9 100

E( X ) ? 0 ?

1 1 37 3 9 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 2.2 . 25 5 100 10 100

20.解: (1)设焦距为 2c ,则 P(?c,

b2 b2 b ) ,由 AB ∥ OP 得 ? ,则 b ? c, a ? 2c , a ac a

则 AF ? a ? c ? ( 2 ? 1)c ,又 AF ?

2 ? 1 ,则 c ? 1, b ? 1, a ? 2 ,

椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2) CD : y ? kx ,设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,到 AB 的距离分别为 d1 , d 2 ,

2 x2 2 2 ? y2 ? 1 得 x2 ? 将 y ? kx 代入 ,则 x1 ? , , x2 ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
由 A( 2 ,0), B(0,1) 得 AB ? 3 ,且 AB : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,

d1 ?
S?

x1 ? 2 y1 ? 2 x ? 2 y2 ? 2 , , d2 ? 2 3 3
1 1 1 2 ? 2k AB (d1 ? d 2 ) ? [( x1 ? x2 ) ? 2 ( y1 ? y2 )] ? (1 ? 2k )(x1 ? x2 ) ? , 2 2 2 1 ? 2k 2

S 2 ? 2(1 ?

2 2k ) ,因为 1 ? 2k 2 ? 2 2k ,当且仅当 2k 2 ? 1时取等号, 2 1 ? 2k 2 时,四边形 ACBD 的面积 S 取得最大值 2 . 2
1 a x?a ? ? 2 , ( x ? 0) , x x2 x

所以当 k ?

21.解: (1) f ?( x) ?

所以当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a,??) 上单调递增. (2)若函数 y ? f ( x) 的两个零点为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,由(1)可得 0 ? x1 ? a ? x2 , 令 g ( x) ? f ( x) ? f (2a ? x), (0 ? x ? a) , 则 g ?( x) ? f ?( x) ? f ?(2a ? x) ? ( x ? a)[

1 1 ? ]? 0, 2 x ( 2a ? x ) 2

所以 g ( x) 在 (0, a ) 上单调递减, g ( x) ? g (a) ? 0 ,即 f ( x) ? f (2a ? x) . 令 x ? x1 ? a ,则 f ( x1 ) ? f (2a ? x1 ) ,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (2a ? x1 ) , 由(1)可得 f ( x) 在 ( a,??) 上单调递增,所以 x2 ? 2a ? x1 ,故 x1 ? x2 ? 2a . 22.解: (1)因为 ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形,

所以 A, B, C , D 四点都在以 AB 为直径的圆上. 因为 BD 平分 ?ABC ,且 OD ∥ BC ,所以 ?OBD ? ?CBD ? ?ODB, OB ? OD . 又 ?OAD ? ?OBD ? 90? , ?ODA? ?ODB ? 90? ,所以 ?OAD ? ?ODA, OA ? OD . 所以 OA ? OB , O 是 AB 的中点, O 为圆心. (2)由 BC ? 2CF ? 6 ,得 BF ? 3 5 , 由 RT ?ADF ~ RT ?BCF 得

AD BC ? ? 2. DF CF BD BC ? ? 2, DA CF

设 AD ? 2 DF ? 2 x ,则 AF ? 5 x ,由 BD 平分 ?ABC 得

所以

3 5?x ? 2 ,解得 x ? 5 ,即 AD ? 2 5 , 2x

连接 CD ,由(1) , CD ? AD ? 2 5 . 23.解: (1)由 A( 3,1), B(? 3,1) 得 C(? 3,?1), D( 3,?1) , 曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , (? 为参数). ? y ? sin ?

(2)设 M (2 cos? , sin ? ) ,则

MA ? MB ? MC ? MD

2

2

2

2

? (2 cos? ? 3)2 ? (sin? ?1)2 ? (2 cos? ? 3)2 ? (sin? ?1)2 ? (2 cos? ? 3)2 ? (sin? ?1)2 ? ?(2 cos? ? 3)
? 16cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? 16 ? 12cos2 ? ? 20 ,
则所求的取值范围是 [ 20,32] . 24.解: (1) f ( x) ? x ?1 ? x ?1 ? ( x ?1) ? ( x ?1) ? 2 , 当且仅当 ( x ? 1)(x ? 1) ? 0 时取等号, 故 f ( x) 的最小值为 2 ,此时 x 的取值范围是 [ ?1,1] . (2) x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 显然成立,所以此时 m ? R ;

x ? 0 时,由 f ( x) ? x ?1 ? mx?1 ? 2x ,得 mx?1 ? x ?1 .

由 y ? mx?1 及 y ? x ? 1 的图象可得 m ? 1且

1 ?1, m

解得 m ? 1 或 m ? ?1 .综上所述, m 的取值范围是 (??,?1] ? [1,??) .


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